Авторское домашнее задание на тему «Математическое моделирование» (Алгебра, 9 класс)

Пушкарева Наталья Никодимовна,

учитель математики

МБОУ г. Иркутска Лицей № 1.

Авторское домашнее задание по математике.

Тема: «Математическое моделирование». 9 класс.

УМК: Мерзляк А.Г., углубленное изучение математики.

 

Математическое моделирование - исследование объекта или явления путем создания его математической модели и оперирования этой моделью с целью получения полезной информации. Последовательное и систематическое применение математического моделирования позволяет сблизить методологию учебной деятельности с методологией научно-исследовательской работы, позволяет приобретать умения ставить проблемы и задачи, прогнозировать результаты исследования. Использование компьютера как инструмента при работе с математическими моделями дает возможность усилить экспериментальную и исследовательскую деятельность учащихся.

Анализ модели позволяет выделить наиболее существенные свойства моделируемого объекта, на которые надо обратить особое внимание при принятии решений. Компьютерный эксперимент позволяет более глубоко изучить поставленную задачу.

На представленных фрагментах двух уроков предлагается моделирование задач, связанных с экономическими понятиями и законами: спрос, предложение, равновесие рынка, дефицит и резерв.

По основной дидактической цели данные уроки относятся к комбинированным урокам. На них присутствует: ознакомление с новым материалом (вводятся понятия, устанавливаются правила, строятся алгоритмы), закрепление изученного материала (формирование определенных умений), применение знаний и умений (воспроизведение, коррекция необходимых знаний и умений, самостоятельное выполнение заданий), обобщение и систематизация знаний. По основному способу проведения они сочетают различные формы занятий: лекцию, на которой рассматривается сложный для самостоятельного изучения материал и практическую работу, способствующую прочному неформальному его усвоению. По основным этапам учебного процесса это образование понятий, установление законов и правил, применение полученных правил на практике. Окончательное конструирование этих уроков произошло в практике обучения.

Обучающие цели уроков: актуализация прежних знаний и способов действий, формирование новых знаний и способов действий, формирование умений работать с информацией, формирование алгоритмической культуры, расширение оптимального темпа обучения.

Воспитательные цели уроков: формирование личности человека «информационного общества», создание мотивации к учебному материалу, воспитание необходимости связывать учение нового материала с уже известными фактами, воспитание ответственности за выполняемую работу, аккуратности при выполнении вычислений, умений работы в коллективе.

Развивающие цели уроков: фасилитация понимания учебного материала, развитие познавательных интересов, коммуникативных, интеллектуальных и творческих способностей, внимания, строгости мышления, грамотной речи, умений рассуждать, принимать оптимальные решения, планировать свою деятельность и анализировать результаты выполненной работы.

Урок 1

Графический способ задания функций широко используется в экономической теории как один из элементов наглядной иллюстрации моделей. Модель рыночного равновесия объясняется через кривые спроса и предложения, точка пересечения которых определяет равновесную цену и соответствующие объемы спроса и предложения.

Простейшей зависимостью между переменными является линейная. Соответственно, графики линейных зависимостей - это наиболее простые линии на плоскости - прямые. Поэтому они находят широкое применение в экономике, особенно на первоначальной стадии построения экономико - математических моделей.

Пример. Требуется построить прямую предложения для линейной функции предложения Q = 3 + 9P

Решение:

Находим сначала обратную функцию цены предложения, выражая P через Q: .

Теперь определяем точки пересечения искомой прямой:

 с вертикальной осью цены OP – Q = 0 P = -1\3  точка (Q = 0; P = - 1\3);

с горизонтальной осью объёмов OQ – P = 0  Q = 3 точка (Q = 3; P = 0).

По найденным точкам строим прямую предложения. При Q<3 цена предложения становится отрицательной, что лишено смысла. Это можно интерпретировать, как отказ предпринимателей продавать данный товар в объёмах, меньших 3 единиц измерения товара.

Угловой коэффициент (или наклон) линейной функции имеет ясную экономическую интерпретацию, которая делает это понятие одним из важнейших в математической экономике. Угловой коэффициент показывает, на какую величину изменяется функция (показатель р), если аргумент Q изменяется на единицу. Для линейной функции средний прирост равен наклону и является постоянной величиной.

Законы предложения и спроса

Количество товара, которое покупатели приобретут на рынке, зависит от цены на этот товар. Соотношение между ценой и количеством купленного товара называется функцией или законом спроса. Кривая спроса показывает зависимость между величиной спроса и ценой блага при прочих равных условиях. Она может быть изображена графически в виде кривой спроса.

Количество товара, которое производители выставят на продажу, также зависит от цены на этот товар. Соотношение между ценой и количеством товара, выставленного на продажу, называется функцией или законом предложения. Кривая предложения показывает зависимость между величиной блага, которое производители хотят продать, и ценой блага. При повышении цены величина предложения увеличивается.

Закон отрицательного наклона кривой спроса – величина (количество или объем) спроса падает с ростом цены товара. Изменение факторов, лежащих в основе кривой спроса, влияющих на рынок в целом приводит к сдвигу кривой спроса.

В простейшем случае эти функции линейны. Закон спроса обозначен через D, закон предложения – через S; Q - количество товара, р - цена на этот товар.

Уравнение спроса можно составить, если заданы две точки лежащие на его графике. Для этого нужно использовать уравнение прямой, проходящей через заданные точки:

р - р1 = (Q-Q1).

Точка пересечения кривых спроса и предложения называется точкой рыночного равновесия.

Равновесная цена – это цена, при которой величина спроса полностью соответствует величине предложения, графически – это точка пересечения кривых спроса и предложения. При цене выше равновесной производители захотят произвести больше товара, чем захотят приобрести покупатели, что приведет к излишку товара и давлению на цену, ведущему к ее снижению. Слишком низкая цена ведет к появлению дефицита товара, и поэтому активность покупателей сместит цену ближе к состоянию равновесия.

Задача

ООО «Хлеб» выпускает хлебобулочные изделия, количество которых в зависимости от установленной цены на них зависит от спроса потребителя. Все необходимые данные представлены в таблице. Необходимо по этим данным построить кривые спроса и предложения, определить равновесную цену и равновесное количество, найти точку рыночного равновесия:

Алгоритм решения задачи.

Откроем EXCEL, создадим таблицу, заполним ячейки таблицы исходными данными. Отформатируем исходные данные. На основе исходных данных построим графики кривых спроса и предложения. На первом шаге построения укажем блок ячеек C4:D8 с исходными данными для графика и выберем тип диаграммы. В данном случае больше всего подходит график с маркерами, помечающими точки данных (в разделе Стандартные), так как он отображает взаимосвязь между двумя рядами числовых значений в виде одного ряда точек в координатах (x, y).

На втором шаге, при корректировке источника данных во вкладке Ряд, введем имя первого ряда – D (спрос), второго ряда – S (предложение); для подписей значений оси Х выделим диапазон D4:D8.

На третьем шаге установим те параметры диаграммы, которые мы сочтем необходимыми. Например, введем заголовок диаграммы, названия осей X – Q и Y –P.

Для того, чтобы определить равновесную цену и равновесное количество, воспользуемся полученными графиками. Для этого подведем указатель мыши к точке пересечения, появится окошко с сообщением имени ряда и параметров точки.

Ответ:

Равновесное количество равно 30 штук и равновесная цена равна 30 руб. Точка рыночного равновесия – (30; 30).

Домашнее задание: На основе анализа полученных графиков необходимо ответить, к чему приведет:

установление цены равной 35 руб.?

договоренность между продавцами на продажу хлебобулочных изделий дороже 15 руб.?

Также необходимо определить размеры образовавшихся излишка и дефицита.

На следующем уроке проверка домашнего задания. Для того, чтобы ответить на поставленные вопросы, построим на графике прямые, соответствующие уровням цен в 35 руб. и 15 руб. Для этого добавим в нашу таблицу два столбца – высокий уровень и низкий уровень.

Блок ячеек с исходными данными для графика E4:F8.

Ответ: Цена, равная 35 руб. вызовет избыток хлебобулочных изделий в 10 штук, а установление цены ниже равновесной (15 руб.) приведет к появлению дефицита в 30 штук.

Урок 2

Увеличение спроса приводит к сдвигу кривой спроса вправо и увеличивает как равновесную цену, так и равновесный объем. Увеличение предложения также сдвигает кривую предложения вправо, при этом происходит снижение цены товара и увеличение объема предложения.

Если известен закон спроса р(Q), то совокупный доход R = Qр можно выразить через Q. Очень часто правительство вводит налог t на товар или предоставляет субсидию s, чтобы население могло приобрести этот товар по разумной цене.

При использовании линейных моделей предполагается, что спрос определяется только ценой товара на рынке рс , а предложение – только ценой рs, получаемой поставщиками. Эти цены связаны между собой следующими уравнениями: pc = ps + t, рс = рs - s, где t, с и s – соответственно налог и субсидия на единицу товара. Таким образом, при введении налога или субсидии уравнение спроса D не изменится. График функции предложения поднимается на t единиц вверх (S’)

Вместо субсидии иногда вводится минимальная цена. В этом случае правительство скупает излишек продукции, равный QS - QD .

Некоторые налоги, например НДС (налог на добавленную стоимость), пропорциональны цене. В этом случае остаётся той же точка пересечения графика предложения с осью ОQ и меняется угол наклона графика к оси ОQ.

Устойчивость рыночного равновесия

Проблема устойчивости или, как ещё говорят, стабильности рыноч­ного равновесия, имеет важное экономическое значение. Если рыночное равновесие устойчиво под влиянием лишь своих внутренних сил, т.е. за счёт саморегуляции, то это означает, что дополнительное внешнее регу­лирование рынка не требуется: рынок сам поддерживает свою сбалан­сированность. Если же равновесие неустойчиво, то регулирование рынка становится настоятельно необходимым.

Очень часто правительство вводит налог t на товар или предоставляет субсидию s , чтобы население могло приобрести этот товар по разумной цене.

При использовании линейных моделей предполагается, что спрос определяется только ценой товара на рынке рс , а предложение – только ценой рs, получаемой поставщиками. Эти цены связаны между собой следующими уравнениями: pc=ps+ t, рс=рs-s, где t с и s – соответственно налог и субсидия на единицу товара.

Таким образом, при введении налога или субсидии уравнение спроса D не изменится. График функции предложения поднимается на t единиц вверх.

Вместо субсидии иногда вводится минимальная цена. В этом случае правительство скупает излишек продукции, равный QS - QD .

Некоторые налоги, например НДС (налог на добавленную стоимость), пропорциональны цене. В этом случае остаётся той же точка пересечения графика предложения с осью ОQ и меняется угол наклона графика к оси ОQ.

Задача

Законы спроса и предложения на некоторый товар определяются уравнениями

а) Найти точку рыночного равновесия.

б) Найти новую точку рыночного равновесия после введения налога, равного 3 единицам. Найти увеличение цены и уменьшение равновесного объёма продаж.

Алгоритм решения задачи.

а) Построим кривые спроса и предложения. Найдем точку равновесия, как точку пересечения построенных кривых - M(6;3). Т.е. объем продаж равен 3 единицы по цене 6 единиц.

б

P

) Если введён налог t = 3 единицам, то соотношение между ценой на рынке Pс и ценой Ps получаемой поставщиками, имеет вид: Pc = Ps + 3.

 

Используя заданную систему

и данное соотношение, имеем следующую систему для определения новой точки равновесия:

Построив кривые спроса и нового предложения, получаем новую точку равновесия M'(8;2). Следовательно, после введения налога равновесная цена увеличилась на 2 единицы, а равновесный объём уменьшился на 1 единицу.

Ответ:

- Точка рыночного равновесия M(6; 3).

- Новая точка рыночного равновесия после введения налога, равного 3 - M'(8; 2). После введения налога равновесная цена увеличилась на 2 единицы, а равновесный объём уменьшился на 1единицу.

Домашнее задание: Усложним поставленную задачу. На основе анализа полученных графиков необходимо ответить на следующие вопросы:

а) Какая субсидия приведёт к увеличению объёма продаж на 2 единицы?

б) Вводится пропорциональный налог, равный 20%. Найти новую точку рыночного равновесия и доход государства.

в) Государство установило минимальную цену, равную 7 единицам. Сколько денег будет израсходовано на скупку излишка?

На следующем уроке проверка домашнего задания.

а) Если предоставлена субсидия, то ее размер можно вычислить по формуле

s = Ps – Pc = Q + 3 - (- 2Q + 12) = 3Q - 9 = 6 (единиц),

т.к. по условию задачи после предоставления субсидии объём продаж Q увеличился на 2 единицы и стал равен 5 единицам (3 + 2).

б) Если налог составляет 20%, то вся рыночная цена составляет 120%, из них 100% получают поставщики товара, 20% - государство. Итак, поставщики получают

, а государство имеет доход .

Уравнение спроса остаётся неизменным, а в уравнение предложения подставляем :

Решив эту систему, или построив новый график предложения, находим новую точку равновесия M'':

Очевидно, что доход государства R равен площади заштрихованного прямоугольника:

 3 (единицы).

в) Если установлена минимальная цена, то из уравнений спроса и предложения можно найти объёмы спроса и предложения. Разницу между ними скупает государство. Так как, минимальная цена P = 7 единиц, то

Затраты государства составят единиц.

Ответ:

- Субсидия равная 6 единицам приведет к увеличению объёма продаж на 2 единицы.

- Новая точка рыночного равновесия после введения пропорционального налога, равного 20% - M''( 7; 2,8). Доход государства составил » 3 единицы.

- При установлении государством минимальной цены равной 7 единицам затраты государства на скупку излишка составят 10,5 единиц.