Лапина Надежда Александровна

Дидактический материал по геометрии в 8–9 классе по теме «Квадрат. Площадь квадрата»

Участник педагогического конкурса ‒ Всероссийский дистанционный конкурс для учителей математики на лучший дидактический материал к уроку

Материал опубликован 19 November 2021 в группе

УРОК.РФ: группа для участников конкурсов

47023

221711

Дидактический материал по геометрии по теме «Квадрат. Площадь квадрата»

Пояснительная записка

Предмет	Геометрия
Класс	8-9 класс
Темы	Четырехугольники. Квадрат. Площадь квадрата. Описанная и вписанная окружности четырехугольника

Требуемые для работы знания и умения обучающегося:

– распознавать квадрат и его элементы;

– применять свойства квадрата при решении задач;

– применять теорему Пифагора при решении задач;

– применять формулу площади квадрата при решении задач;

– выполнять действия с иррациональными числами.

Ожидаемые результаты:

Использовать при решении математических задач, их обосновании и проверке найденного решения знание о:

– определении квадрата, его свойствах и признаках;

– определении окружности, круга и их элементов;

– определении вписанной и описанной окружностей, их свойствах;

– теореме Пифагора.

Уметь:

– применять признаки и свойства квадрата при решении задач;

– решать задачи на вписанную и описанную окружность;

– применять теорему Пифагора при решении задач.

Задания предназначены для обучающихся восьмых классов, испытывающих трудности в изучении геометрии, а также девятиклассников при подготовке к ОГЭ.

Дидактический материал включает в себя задания-образцы типовых задач по данной теме, входящие в структуру контрольно-измерительных материалов ОГЭ по математике, а также задания для закрепления. К заданиям приводятся ответы. Задания могут быть использованы как на уроке для индивидуальной или групповой работы, так и для домашнего задания.

КВАДРАТ. ЧАСТЬ 1

№ 1. Периметр квадрата равен 80. Найдите площадь этого квадрата.

Решение:

Периметр квадрата равен сумме длин всех его сторон. Все стороны квадрата равны, поэтому длина стороны квадрата равна 80 : 4 = 20.

Найдём площадь квадрата как квадрат его стороны: S = 202 = 400.

Ответ: 400.

№ 2. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

Решение:

Площадь получившейся фигуры равна разности площадей квадрата и прямоугольника:

S = 6 · 6 − 4 · 2 = 28.

Ответ: 28.

№ 3. Сторона квадрата равна Найдите площадь этого квадрата.

Решение:

Найдём площадь квадрата как квадрат его стороны:

S =

Ответ: 48.

№ 4. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 3 и 75.

Решение:

Площадь прямоугольника равна произведению длины на ширину:

S = 3 · 75 = 225.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны. Таким образом, сторона квадрата, площадь которого равна 225, равна .

Ответ: 15.

№ 5. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 4.

Решение:

Диагонали квадрата равны. Площадь квадрата равна половине произведения его диагоналей: S = 4 · 4 : 2 = 8.

Ответ: 8.

№ 6. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС. По теореме Пифагора: АВ2 + ВС2 = АС2. Стороны квадрата равны.

Пусть АВ = ВС = а. Тогда: а 2 + а 2 =

2а 2 = 25 · 2

а 2 = 25

Ответ: 5.

№ 7. Сторона квадрата равна Найдите диагональ этого квадрата.

Решение:

Рассмотрим треугольник АВС. По теореме Пифагора: АВ2 + ВС2 = АС2.

Тогда:

Ответ: 8.

ЗАДАЧИ ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ

1. Периметр квадрата равен 100. Найдите площадь этого квадрата.

2. Периметр квадрата равен 64. Найдите площадь этого квадрата.

3. Периметр квадрата равен 48. Найдите площадь этого квадрата.

4–6. Из квадрата вырезали прямоугольник (см. рисунок). Найдите площадь получившейся фигуры.

7. Сторона квадрата равна Найдите площадь этого квадрата.

8. Сторона квадрата равна Найдите площадь этого квадрата.

9. Сторона квадрата равна Найдите площадь этого квадрата.

10. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 13 и 52.

11. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 4 и 9.

12. Найдите сторону квадрата, площадь которого равна площади прямоугольника со сторонами 1 и 961.

13. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 8.

14. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 14.

15. Найдите площадь квадрата, если его диагональ равна 20.

16. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна

17. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна

18. Найдите сторону квадрата, диагональ которого равна

19. Сторона квадрата равна Найдите диагональ этого квадрата.

20. Сторона квадрата равна Найдите диагональ этого квадрата.

21. Сторона квадрата равна Найдите диагональ этого квадрата.

ОТВЕТЫ

№	Ответ	№	Ответ	№	Ответ
1	625	8	500	15	200
2	256	9	28	16	18
3	1144	10	26	17	10
4	60	11	6	18	11
5	34	12	31	19	10
6	52	13	32	20	26
7	128	14	98	21	42

КВАДРАТ. ЧАСТЬ 2

№ 1. Сторона квадрата равна 16. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине стороны квадрата: 16 : 2 = 8.

Ответ: 8.

№ 2. Найдите сторону квадрата, если радиус окружности, вписанной в этот квадрат, равен 19.

Решение:

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанной в этот квадрат окружности: 19 ∙ 2 = 38.

Ответ: 38.

№ 3. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 7.

Решение:

Сторона квадрата в два раза больше радиуса вписанной в этот квадрат окружности: 7 ∙ 2 = 14. Значит, сторона квадрата равна 14.

Найдём площадь квадрата как квадрат его стороны: S = 142 = 196.

Ответ: 196.

№ 4. Сторона квадрата равна Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Радиус (R) окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата: R = OD.

Так как диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, то треугольник СОD является прямоугольным. Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, значит, ОС = ОD = R. Задача сводится к нахождению катета (OD) прямоугольного треугольника.

По теореме Пифагора: OC2 + OD2 = CD2. По условию CD = Получаем:

R 2 + R 2 =

2R 2 = 100 · 2

R 2 = 100

R =

Ответ: 10.

№ 5. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса .

Решение:

Аналогично задаче 4 рассмотрим прямоугольный треугольник СОD.

По теореме Пифагора: OC2 + OD2 = CD2.

По условию R = . Задача сводится к нахождению гипотенузы прямоугольного треугольника (СD):

CD2 = R 2 + R 2

CD2 = 2R 2

CD2 = 2 ∙ = 2 ∙ 202 ∙ 2 = 4 ∙ 400 = 1600 CD =

Ответ: 40.

№ 6. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

Решение:

Сторона квадрата вдвое больше радиуса вписанной в него окружности.

Поэтому AВ = .

Радиус описанной вокруг квадрата окружности равен половине его диагонали. Найдём диагональ АС по теореме Пифагора: АС2 = АD2 + DC2

AC2 =

AC2 = =

AC = 2 ∙ 44 = 88 R = 88 : 2 = 44.

Ответ: 44.

ЗАДАЧИ ДЛЯ ЗАКРЕПЛЕНИЯ

1. Сторона квадрата равна 30. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

2. Сторона квадрата равна 42. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

3. Сторона квадрата равна 25. Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

4. Найдите сторону квадрата, если радиус окружности, вписанной в этот квадрат, равен 26.

5. Найдите сторону квадрата, если радиус окружности, вписанной в этот квадрат, равен 64.

6. Найдите сторону квадрата, если радиус окружности, вписанной в этот квадрат, равен 49.

7. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 11.

8. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 4.

9. Найдите площадь квадрата, описанного вокруг окружности радиуса 23.

10. Сторона квадрата равна Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

11. Сторона квадрата равна Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

12. Сторона квадрата равна Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

13. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса .

14. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса .

15. Найдите сторону квадрата, вписанного в окружность радиуса .

16. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

17. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

18. Радиус вписанной в квадрат окружности равен . Найдите радиус окружности, описанной около этого квадрата.

ОТВЕТЫ

№	Ответ	№	Ответ	№	Ответ
1	15	7	484	13	34
2	21	8	64	14	84
3	12,5	9	2116	15	114
4	52	10	19	16	36
5	128	11	33	17	48
6	98	12	50	18	84

ЛИТЕРАТУРА

Решу ОГЭ. Образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс]. URL: http://math.oge.sdamgia.ru/test.

Федеральный институт педагогических измерений [Электронный ресурс]. URL: http://www.fipi.ru/oge-i-gve-9/demoversii-specifikacii-kodifikatory.