Статья «Дополнительные построения при решении геометрических задач»

Балганова О. И.

ГБОУ РХ «Хакасская национальная гимназия – интернат имени Н. Ф. Катанова», г. Абакан.

 

Дополнительные построения при решении геометрических задач.

 

"Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,

а если хотите научиться решать задачи, то решайте их!»

Д.Пойа 

При решении геометрических задач традиционные методы иногда приводят к громозким решениям, поэтому важной составной частью геометрических методов решения являются дополнительные построения.

Дополнительные построения используются для:

- появления новых фигур и возможность использовать формулы, свойства и теоремы, связанные с ними;

- появление подобных или равновеликих фигур;

- появление пропорциональных отрезков.

Наиболее распространненые дополнительные построения:

Если в треугольнике задана медиана, то достраиваем до параллелограмма с центром в основании этой медианы.

Задача 1.

Определить площадь треугольника, если две стороны и медиана, выходящая из общей вершины этих сторон, имеют длины 3, 7 и 4 (соответственно).

Дано: АВС, , , , ВО – медиана.

Найти: .

Решение.

Достроим АВС до параллелограмма ABCD (рис. 1).

Найдем площадь АВD по формуле Герона: S=; где , SАВD = = 6 , так как , то = = 6 . .

Ответ: 6

Если в треугольнике задан отрезок прямой, проведенный через его вершину, заключенный внутри треугольника, то через ее основание внутрь треугольника проводится луч, параллельный стороне, до его пересечения с другой стороной.

Задача 2.

В треугольнике ABC проведена высота ВВ1 и медиана СС1. Известно, что их точка пересечения О отстоит от стороны АС на расстоянии 1см. Определите АВ, если ВВ1 =6; СС1 = 5.

Дано: АВС, ВВ1 – высота, СС1 –медиана, ВВ1 СС1 = О, ОВ1 = 1см, ВВ1 = 6см,

СС1 = 5см.

Найти: АВ

Решение: Построим С1С2║АС ВВ2 = В2В1 т.к. ОВ1 = 1, то ОВ2 = 2,

ОВ1С ОВ2С1 = CC1 = 3х = 5 х =; ∆ОВ1С: В1С = = ; АВ1 = 4В1С = 4 =

∆АВВ1: АВ = = =

Ответ:

Если в треугольнике заданы медиана и высота или биссектриса или вторая медиана, проведенные из разных вершин, то через основание медианы внутрь треугольника проводится луч, параллельный данной высоте, биссектрисе или медиане, до его пересечения со стороной треугольника.

Задача 3.

В треугольнике MNK высота MM1 равна медиане NN1. Найти величину угла N1NK

Дано: MNK, MM1 – высота, NN1 – медиана, MM1 = NN1.

Найти:N

Решение:

Построим N1N2 II MM1 (рис.3), тогда M1N1 = N1т.е. N1N2 - средняя линия ∆MM1K N1N2 = MM1 ; MM1 = NN1 N1N2= NN1 = 300

Ответ: 300

Если в треугольнике заданы два отезока прямых проведенные из разных вершин, то через начало одной из них (вершину треугольника) проводится прямая, параллельная стороне треугольника, до пересечения с продолжением другой прямой.

Задача 4.

Точка В1 взята на стороне АС треугольника АВС так, что = n. В каком отношении медиана АА1 делит отрезок ВВ1?

Дано: АВС, В1 АС, = n.

Найти:

Решение:

Построим ВА2 параллельно АС (рис.4), продолжим АА1 до пересечения с прямой ВА2 . ∆АОВ1 ∆А2ОВ = = = = (B =

Ответ:

Если в треугольнике заданы отрезок с концами на двух сторонах треугольника и высота (медиана, биссектриса), пересекающий эту высоту (медиану, биссектрису), и не параллельный третьей стороне, то данный отрезок продолжается в обе стороны до пересечения с продолжением третьей стороны и с прямой, параллельной этой стороне и проходящей через вершину, из которой выходит высота (медиана, биссектриса).

Задача 5.

Точки R и L лежат на боковых сторонах АВ и ВС равнобедренного треугольника АВС так, что АR = АВ; CL = BC. Определите, в каком отношении отрезок RL делит высоту ВВ1

Дано: АВС, АВ = ВС, R АВ, L BC, АR = АВ; CL = BC.

Найти:

Решение:

Построим ВR1 АС (рис. 5), продолжим RL до пересечения с BR1 и АС в точках R1 и L1 ∆ВRR1 ∆АRL1 = = == = ;

∆BLK1 ∆CLL1 = = = 3;

AL1 = 3СL1 AL1 = 6CL1 АС = 5CL1 B1C = AC = CL1; B1L1 = CL1 + CL1 = CL1 = AL1 ∆BGR1 ∆В1GL1 = = = .

Ответ: =

Есди дана трапеция, то ее диагональ или боковая сторона переносится на вектор, определяемый одним из оснований

Задача 6. Основание AD трапеции ABCD вдвое длиннее боковой стороны АВ и верхнего основания ВС. Диагональ АС = a, CD = b. Найти площадь трапеции.

Дано: ABCD – трапеция, AD = 2AB=2BC, АС = a, CD = b

Найти:

Решение:

Построим СМ и соединим точки В и М (рис. 6); АВСМ – ромб (АВ СМ,

АМ ВС, АВ = ВС); SABCD = SACD + SABC = AC CD + AC BM = + ab = =

Ответ: SABCD =

 

Задачи для самостоятельного решения.

Найти площадь треугольника, медианы которого равны 12, 15 и 21.

Точки А1 и В1 делят стороны ВС и АС треугольника АВС в отношениях ВА1 А1С = 1 р и АВ1 В1С = 1 ԛ. В каком отношении точка пересечения АА1 и ВВ1 делит каждую из них.

Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит ее на части длиной 9 см. и 16см. Из вершины большего острого угла треугольника проведена прямая, проходящая через середину высоты. Найлите длину отрезка этой прямой, заключенной внутри данного треугольника.

Равнобедренный треугольник АВС вписан в окружность и его медиана АА1 продолжена до пересечения с окружностью в точке А2. Определите стороны треугольника, если АА1 = 27, А1А2 = .

Докажите, что сумма медиан в любом треугольнике меньше его периметра.

 

Литература:

М. А. Иванов Математика без репетитора. Москва, «Вентана – Граф», 2002

ж. Математика № 39, 2001