12+  Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917
Лицензия на образовательную деятельность №0001058
Пользовательское соглашение     Контактная и правовая информация
 
Педагогическое сообщество
УРОК.РФУРОК
Материал опубликовала
Владимирова Регина Валерьевна1485
учитель математики МБОУ "Гимназия № 94" Московского района г.Казани
Россия, Татарстан респ., Казань
5

Статья на тему «Решение текстовых задач с использованием таблиц»

Решение текстовых задач с использованием таблиц.

Владимирова Р.В.

учитель математики МБОУ «Гимназия № 94»

Московского района города Казани

Не секрет, что при решении текстовых задач, в которых вводится неизвестная переменная и составляется уравнение (или система уравнений), многие учащиеся испытывают затруднения. Часто возникают вопросы: что взять за неизвестную переменную, какое условие взять за основу уравнения при решении задачи, как правильно осмыслить те данные, которые приведены в задаче.

При решении задач удобно использовать таблицы, в которые вносятся условия. Информация, размещенная в таблице, позволяет конкретизировать иногда витиеватые условия задачи, более четко в них разобраться. И на основании заполненных ячеек таблицы составить уравнение для решения.

Рассмотрим следующие типы задач:

Задачи на движение.

Задачи на движение по воде.

Задачи на нахождение средней скорости.

Задачи на производительность труда и совместную работу.

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.


 

Задачи на движение

Основной формулой, используемой в задачах, является формула расстояния S=V*t.

V -скорость - км/ч (м/сек).

t- время - ч(сек).

S - пройденный путь - км(м).

Рассмотрим случай, когда решение текстовой задачи сводится к решению дробно-рационального уравнения.

В большинстве случаев за х(неизвестную переменную) берется скорость. Совет: Лучше брать за х то, о чем спрашивается в задаче.

Таблица, для заполнения условий задачи имеет вид:


 

 

V

t

S

I условие

V1

t1

S1

II условие

V2

t2

S2


 

Очень часто, при составлении уравнения, используется условие, которое накладывается на время. Для удобства это условие можно записать в виде неравенства. Например, t1>t2 на к часов.

Получаем формулу для составления уравнения: t1-t2= к.(1)

(От большего вычитаем меньшее получаем разницу).

Используя таблицу подставляем в уравнение (1) выражения для t1 и t2 (t1=S1:V1 ; t2 =S2:V2). Получаем дробно-рациональное уравнение. Уравнение обычно сводится к решению квадратного уравнения, при решении которого получаем два корня. Отбрасываем корень, который не удовлетворяет условию задачи.

Совет: при решении уравнения часто получаются большие коэффициенты. Не старайтесь сразу умножать числа, возможно их можно будет сократить.


 

Пример № 1.

Из пунк­тов А и В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 27 км, вышли од­но­вре­мен­но нав­стре­чу друг другу два пе­ше­хо­да и встре­ти­лись в 15 км от А. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, шед­ше­го из А, если из­вест­но, что он шёл со ско­ро­стью, на 2 км/ч боль­шей, чем вто­рой пе­ше­ход, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку.

Решение:

Пусть скоростьпе­ше­хо­да, шед­ше­го из А равна х км/ч, тогда скорость пешехода шедшего из В равна (х-2)км/ч.

Пешеход из А прошел 15 км, а расстояние между пунктами 27 км, следовательно пешеход их В прошел 12 км.

27-15=12.

Заполняем таблицу.

 

V

t

S

Пешеход из А

х

t1

15

Пешеход из Б

х-2

t2

12


 

По условию пешеход из А сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку, значит он шел меньше времени на 0,5 ч . Это условие можно записать так: t1<t2 на 0,5 ч.

Формула для составления уравнения имеет вид: t2-t1= 0,5.

Получаем уравнение t1585822130aa.gif- t1585822130ab.gif=0,5.

Решаем его: t1585822130ac.gif =0.

t1585822130ad.gif


 

t1585822130ae.gif

t1585822130af.gif

Корень х=-10 не удовлетворяет условию задачи. Получаем, что скорость пешехода из А равна 6 км/ч.

Ответ : скорость пешехода из А равна 6 км/ч.


 

Задачи для самостоятельного решения.

Из пунк­та А в пункт В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми 13 км, вышел пе­ше­ход. Од­но­вре­мен­но с ним из В в А вы­ехал ве­ло­си­пе­дист. Ве­ло­си­пе­дист ехал со ско­ро­стью, на 11 км/ч боль­шей ско­ро­сти пе­ше­хо­да, и сде­лал в пути по­лу­ча­со­вую оста­нов­ку. Най­ди­те ско­рость пе­ше­хо­да, если из­вест­но, что они встре­ти­лись в 8 км от пунк­та В.

Ответ: 5 км/ч.

Два ав­то­мо­би­ля од­но­вре­мен­но от­прав­ля­ют­ся в 240-ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый едет со ско­ро­стью, на 20 км/ч боль­шей, чем вто­рой, и при­бы­ва­ет к фи­ни­шу на 1 ч рань­ше вто­ро­го. Най­ди­те ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ля.

Ответ: 80км/ч.

Два ве­ло­си­пе­ди­ста од­но­вре­мен­но от­прав­ля­ют­ся в 60-ки­ло­мет­ро­вый про­бег. Пер­вый едет со ско­ро­стью на 10 км/ч боль­шей, чем вто­рой, и при­бы­ва­ет к фи­ни­шу на 3 часа рань­ше вто­ро­го. Най­ди­те ско­рость ве­ло­си­пе­ди­ста, при­шед­ше­го к фи­ни­шу вто­рым.

Ответ: 10 км/ч.

Из го­ро­дов А и В нав­стре­чу друг другу од­но­вре­мен­но вы­еха­ли мо­то­цик­лист и ве­ло­си­пе­дист. Мо­то­цик­лист при­е­хал в В на 40 минут рань­ше, чем ве­ло­си­пе­дист при­е­хал в А, а встре­ти­лись они через 15 минут после вы­ез­да. Сколь­ко часов за­тра­тил на путь из В в А ве­ло­си­пе­дист?

Ответ: 1 ч.

Из А в В од­но­вре­мен­но вы­еха­ли два ав­то­мо­би­ли­ста. Пер­вый про­ехал с по­сто­ян­ной ско­ро­стью весь путь. Вто­рой про­ехал первую по­ло­ви­ну пути со ско­ро­стью 30 км/ч, а вто­рую по­ло­ви­ну пути про­ехал со ско­ро­стью, боль­шей ско­ро­сти пер­во­го на 9 км/ч, в ре­зуль­та­те чего при­был в В од­но­вре­мен­но с пер­вым ав­то­мо­би­ли­стом. Най­ди­те ско­рость пер­во­го ав­то­мо­би­ли­ста.

Ответ: 36км/ч.

Рас­сто­я­ние между го­ро­да­ми А и В равно 120 км. Из го­ро­да А в город В вы­ехал ав­то­мо­биль, а через 90 минут сле­дом за ним со ско­ро­стью 100 км/ч вы­ехал мо­то­цик­лист. Мо­то­цик­лист до­гнал ав­то­мо­биль в го­ро­де С и по­вер­нул об­рат­но. Когда он про­ехал по­ло­ви­ну пути из С в А, ав­то­мо­биль при­был в В. Най­ди­те рас­сто­я­ние от А до С.

Ответ: 100 км.


 

Задачи на движение по воде.

В задачах при движении по воде используются четыре вида скорости.

Собственная скорость (лодки, катера, теплохода…).

Скорость течения реки.

Скорость по течению реки.

Скорость против течения реки.

Примечание: Скорость по озеру = скорости лодки.

Скорость плота = скорости течения реки.

За неизвестную переменную принимают скорость течения реки или скорость лодки, а именно то, что нужно найти в задаче. Берем за х(ед. из.) скорость лодки, а у – скорость течения реки.

Таблица, для заполнения условий задачи имеет вид:

 

V

t

S

По течению реки

х+ у

t1

S1

Против течения реки

х- у

t2

S2

По озеру

х

t 3

S3

Стоянка

-

t4

-


 

Количество строк зависит от условия конкретной задачи.

Пример № 2.

Моторная лодка прошла 14 км против течения реки, а затем прошла еще 17км по течению реки, затратив на это один час. Найдите скорость моторной лодки в стоячей воде, если скорость течения реки 3 км/ч.

Решение:

Пусть скорость моторной лодкихкм/ч.

 

V

t

S

По течению реки

х+ 3


 

1

17

Против течения реки

х- 3

14


 

Уравнение составляется исходя из условия:t1+t2 =1.

t1585822130ag.gif+t1585822130ah.gif=1,

t1585822130ai.gif=0.

Данное уравнение равносильно системе:

t1585822130aj.gif

Решаем систему:

t1585822130ak.gif

t1585822130al.gif

Корень х=0 не удовлетворяет условию задачи. Получаем, что скорость моторной лодки равна 31 км/ч.

Ответ: скорость моторной лодки 31 км/ч.


 


 

Задачи для самостоятельного решения.

Теп­ло­ход про­хо­дит по те­че­нию реки до пунк­та на­зна­че­ния 280 км и после сто­ян­ки воз­вра­ща­ет­ся в пункт от­прав­ле­ния. Най­ди­те ско­рость теп­ло­хо­да в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния равна 4 км/ч, сто­ян­ка длит­ся 15 часов, а в пункт от­прав­ле­ния теп­ло­ход воз­вра­ща­ет­ся через 39 часов после от­плы­тия из него.

Ответ: 24 км/ч.

Рас­сто­я­ние между при­ста­ня­ми А и В равно 63 км. Из А в В по те­че­нию реки от­пра­вил­ся плот, а через час вслед за ним от­пра­ви­лась мо­тор­ная лодка, ко­то­рая, при­быв в пункт В, тот­час по­вер­ну­ла об­рат­но и воз­вра­ти­лась в А. К этому вре­ме­ни плот про­шел 20 км. Най­ди­те ско­рость яхты в не­по­движ­ной воде, если ско­рость те­че­ния реки равна 4 км/ч.

Ответ: 32км/ч.

От при­ста­ни А к при­ста­ни В, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми равно 70 км, от­пра­вил­ся с по­сто­ян­ной ско­ро­стью пер­вый теп­ло­ход, а через 1 час после этого сле­дом за ним, со ско­ро­стью, на 8 км/ч боль­шей, от­пра­вил­ся вто­рой. Най­ди­те ско­рость пер­во­го теп­ло­хо­да, если в пункт В оба теп­ло­хо­да при­бы­ли од­но­вре­мен­но.

Ответ:20 км/ч.

Мо­тор­ная лодка про­шла от одной при­ста­ни до дру­гой, рас­сто­я­ние между ко­то­ры­ми по реке равно 16 км, сде­ла­ла сто­ян­ку на 40 мин и вер­ну­лась об­рат­но через 3t1585822130am.gif ч. после на­ча­ла по­езд­ки. Най­ди­те ско­рость те­че­ния реки, если из­вест­но, что ско­рость мо­тор­ной лодки в сто­я­чей воде равна 12 км/ч.

Ответ: 4 км/ч.

При­ста­ни А и В рас­по­ло­же­ны на реке, ско­рость те­че­ния ко­то­рой на этом участ­ке равна 3 км/ч. Лодка про­хо­дит туда и об­рат­но без оста­но­вок со сред­ней ско­ро­стью 8 км/ч. Най­ди­те соб­ствен­ную ско­рость лодки.

Ответ: 9 км/ч.

Баржа про­шла по те­че­нию реки 40 км и, по­вер­нув об­рат­но, про­шла ещё 30 км, за­тра­тив на весь путь 5 часов. Най­ди­те соб­ствен­ную ско­рость баржи, если ско­рость те­че­ния реки равна 5 км/ч.

Ответ: 15 км/ч.


 

Задачи на нахождение средней скорости.

Используем формулуVсредняя = t1585822130an.gif.

Таблица, для заполнения условий задачи:

 

V

t

S

I условие

V1

t1

S1

II условие

V2

t2

S2


 

Получаем следующую формулу для решения задачи:

Vсредняя = t1585822130ao.gif(2).

В формулу подставляем или путь (выраженный через время), или время (выраженное через путь). При преобразовании выражения неизвестная S или t сокращается.


 

Пример № 3

Первую половину пути автомобиль проехал со скоростью 36 км/ч, а вторую – со скоростью 99 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение:

Возьмем весь путь равным 2S.

 

V

t

S

I половина

36

t1

S

IIполовина

99

t1

S


 

Vсредняя = t1585822130ap.gif=t1585822130aq.gif=t1585822130ar.gif=52,8(км/ч).

Ответ : 52,8 км/ч.

Задачи для самостоятельного решения.

Пер­вые 300 км ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 60 км/ч, сле­ду­ю­щие 300 км — со ско­ро­стью 100 км/ч, а по­след­ние 300 км — со ско­ро­стью 75 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути.

Ответ: 75 км/ч.

Пер­вые 500 км ав­то­мо­биль ехал со ско­ро­стью 100 км/ч, сле­ду­ю­щие 100 км — со ско­ро­стью 50 км/ч, а по­след­ние 165 км — со ско­ро­стью 55 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути.

Ответ: 76,5 км/ч.

Первую по­ло­ви­ну трас­сы ав­то­мо­биль про­ехал со ско­ро­стью 55 км/ч, а вто­рую — со ско­ро­стью 70 км/ч. Най­ди­те сред­нюю ско­рость ав­то­мо­би­ля на про­тя­же­нии всего пути.

Ответ: 61,6км/ч.


 

Задачи на производительность труда и совместную работу.


 

Используем формулу А=V*t.

Фактически эта формула аналогична формуле S= V*t.

V – производительность труда (единицы измерения - количество продукции в единицу времени) (это тоже-самое, что и скорость).

t - время (единицы измерения - дни, ч, сек…).

А - выполненная работа (единицы измерения - кол-во деталей и т.д.) или вся работа.

Часто, когда речь идет, например, о выполнении плана, о заполнении бассейна, о разгрузке машины и т.п., работу принимают равной 1.

Таблица, для заполнения условий задачи:

 

V

t

А

I условие

V1

t1

А1

II условие

V2

t2

А2


 


 


 

Пример № 4.

Пер­вый ра­бо­чий за час де­ла­ет на 10 де­та­лей боль­ше, чем вто­рой, и вы­пол­ня­ет заказ, со­сто­я­щий из 60 де­та­лей, на 3 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, вы­пол­ня­ю­щий такой же заказ. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий?

Решение:

Пусть х деталей в час делает второй рабочий, тогда первый делает (х+10) деталей в час.

 

V

(деталей в час)

t (часы)

А

(количество деталей)

I рабочий

х+10

t1

60

IIрабочий

х

t2

60


 

По условиюпервый рабочий выполняет заказ на 3 часа быст­рее, чем вто­рой ра­бо­чий, значит затратил меньше времени. Это условие можно записать так: t1<t2 на 3ч.

Формула для составления уравнения имеет вид: t2-t1= 3.

Получаем уравнение:

t1585822130as.gif- t1585822130at.gif= 3.

Приводим к общему знаменателю:

t1585822130au.gif=0.

Данное уравнение равносильно системе:

t1585822130av.gif

Решаем

t1585822130aw.gif

t1585822130ax.gif

Корень х=-20 не удовлетворяет условию задачи. Получаем, что 10 де­та­лей в час де­ла­ет вто­рой ра­бо­чий.

Ответ :10 де­та­лей в час.


 

Рассмотрим, как решаются задачи на совместную работу. Они отличаются тем, что в них работа выполняется одновременно (совместно) несколькими рабочими (трубами и т.д.).

При решении данных задач иногда целесообразно записывать условия в две таблицы.

Пример № 5.

Одна труба может наполнить бассейн за четыре часа. Вторая - за шесть часов. За какое время заполнится бассейн, если обе трубы включить одновременно?

Решение:

Заполняем две таблицы.

Iусловие: одна труба может наполнить бассейн за четыре часа. Вторая - за шесть часов.

 

V

t (ч)

А

1 труба

V1

4

1

2 труба

V2

6

1


 

Получаем:V1=1/4 ; V2=1/6.

II условие:обе трубы работают одновременно – время одинаковое.

 

V

t

А

1 труба

1/4

t

t1585822130ay.png


 

1

2 труба

1/6

t


 

Находим работу по формуле: А=V1t1 +V2t2.

Получаем уравнение:

t1585822130az.gift +t1585822130ba.gift = 1, 3t+2t=12,t=12/5, t=2,4 (ч). Получаем время, за которое заполнится бассейн, если обе трубы включить одновременно.

Ответ: за 2,4 ч заполнится бассейн, если обе трубы включить одновременно.


 

Пример № 6.

Два грузчика, работая совместно, разгружают грузовую фуру за 8 минут. Если второй будет работать в 2 раза медленнее, а первый – в 2 раза быстрее, то фура будет разгружена за 10 минут. Определить время, за которое разгрузят фуру грузчики, работая в одиночестве.

Решение:

В задаче два условия. Для решения используем две таблицы. Из которых получаем два уравнения.

Пусть х (часть полной машины/за 1 минуту) разгружает первый грузчик, у- второй грузчик.

Всю выполненную работу (А) возьмем за единицу (одна машина).

I условие:два грузчика, работая совместно, разгружают грузовую фуру за 8 минут.

 

V

t

А

1 рабочий

х

8

1

2 рабочий

у

8


 

Находим работу А=V1t1 +V2t2.

Получаем уравнениеt1585822130bb.gif.

II условие:если второй будет работать в 2 раза медленнее, а первый – в 2 раза быстрее, то фура будет разгружена за 10 минут.

 

V

t

А

1 рабочий

10

1

2 рабочий

0,5у

10


 

Находим работу А=V1t1 +V2t2.

Получаем уравнениеt1585822130bc.gif

Получаем систему уравнений:

t1585822130bd.gif

Решаем систему. Обе части первого уравнения делим на 4, второе на (-10), получаем:

t1585822130be.gif

Складываем, получаем:

t1585822130bf.gif

t1585822130bg.gif

Значит, чтобы разгрузить машину самостоятельно первому грузчику понадобится 40 минут, а второму 10 минут.

Ответ : 40 минут и 10 минут.


 

Задачи для самостоятельного решения.

На из­го­тов­ле­ние 231 де­та­ли уче­ник тра­тит на 11 часов боль­ше, чем ма­стер на из­го­тов­ле­ние 462 таких же де­та­лей. Из­вест­но, что уче­ник за час де­ла­ет на 4 де­та­ли мень­ше, чем ма­стер. Сколь­ко де­та­лей в час де­ла­ет уче­ник?

Ответ: 3 де­та­ли в час.

Чтобы на­ка­чать в бак 117 л воды, тре­бу­ет­ся на 5 минут боль­ше вре­ме­ни, чем на то, чтобы вы­ка­чать из него 96 л воды. За одну ми­ну­ту можно вы­ка­чать на 3 л воды боль­ше, чем на­ка­чать. Сколь­ко лит­ров воды на­ка­чи­ва­ет­ся в бак за ми­ну­ту?

Ответ: 9 л воды за ми­ну­ту.

Пер­вая труба про­пус­ка­ет на 2 литра воды в ми­ну­ту мень­ше, чем вто­рая. Сколь­ко лит­ров воды в ми­ну­ту про­пус­ка­ет вто­рая труба, если ре­зер­ву­ар объёмом 130 лит­ров она за­пол­ня­ет на 4 ми­ну­ты быст­рее, чем пер­вая труба за­пол­ня­ет ре­зер­ву­ар объёмом 136 лит­ров?

Ответ: 10 лит­ров в ми­ну­ту.

Две трубы на­пол­ня­ют бас­сейн за 8 часов 45 минут, а одна пер­вая труба на­пол­ня­ет бас­сейн за 21 часов. За сколь­ко часов на­пол­ня­ет бас­сейн одна вто­рая труба?

Ответ: 15 часов.

Игорь и Паша кра­сят забор за 18 часов. Паша и Во­ло­дя кра­сят этот же забор за 20 часа, а Во­ло­дя и Игорь — за 30 часов. За сколь­ко минут маль­чи­ки по­кра­сят забор, ра­бо­тая втроём?

Ответ: за 14,4 часа или 864 ми­ну­ты.

Бригада слесарей может выполнить некоторое задание по обработке деталей на 1,5 ч скорее, чем бригада учеников. Если бригада учеников отработает 18 ч, выполняя это задание, а потом бригада слесарей продолжит выполнение задания в течение 6 ч, то и тогда будет выполнено только  0,6  всего задания. Сколько времени требуется бригаде учеников для самостоятельного выполнения данного задания?

Ответ:45 ч.


 

Задачи на концентрацию, смеси и сплавы.

Есть различные методы решения задач этого типа. Посмотрим, как решаются данные задачи с помощью таблицы.

 

1 элемент

2 элемент

сплав

масса

%

масса

%

масса

I сплав/раствор

m1

 

m2

 

МI = m1 + m2

II сплав/ раствор

m3

 

m4

 

МII =m3 + m4

I+II

m5 =

m1 + m3

 

m6 =

m2 + m4

 

M =m5+m6=

m1 + m2+ m3 + m4


 

Рассмотрим подробнее одну строчку.

Она состоит из столбцов – элементов, входящих в сплав(раствор).

Каждый элемент имеет массу и процентное соотношение.


 

 

1 элемент

2 элемент

сплав

масса

%

масса

%

масса

I сплав/раствор

m1

Х

m2

У

МI = m1 + m2


 

При заполнении строчки нужно учитывать следующие равенства:

Масса всего сплава состоит из суммы масс отдельных элементов

МI = m1 + m2.

Сумма процентных отношений элементов в сплаве равна 100%

Х+У = 100%.

Массу одного элемента можно найти умножив массу всего сплава на процентное отношение записанное в виде десятичной дроби

m1= МI* (Х :100), m2= МI* (У :100).

Масса всего сплава находится путем деления массы элемента на его процентное соотношение

МI = m1: (Х :100) или МI = m2: (У:100).


 

Рассмотрим подробнее столбцы.

 

1 элемент

масса

%

I сплав/раствор

m1

х

II сплав/ раствор

m3

Z

I+II

m5 = m1 + m3

 


 

При заполнении столбцов нужно учитывать следующее:

Масса всего сплава состоит из суммы масс отдельных элементов

m5 = m1 + m3.

Процентные соотношения по столбцам складывать нельзя.


 

Таблица заполняется по условию задачи, иногда достаточно заполнить только часть.


 

Пример № 7.

Пер­вый сплав со­дер­жит 5% меди, вто­рой — 13% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 4 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 10% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва.

Решение:

Пусть х кг масса меди содержится в I сплаве, тогда (х+4) кг меди содержится во II сплаве.

 

медь

2 элемент

сплав

масса

%

масса

%

масса

I сплав

0,05х

5

 

 

х

II сплав

0,13(х+4)

13

 

 

х+4

I+II

(х+х+4) *0,1

10

 

 

х+х+4


 

Находим сколько кг меди в содержится в I и во II сплаве:

0,05х + 0,13(х+4) кг.

Пояснение: Чтобы найти сколько кг содержится в 5% сплава нужно проценты представить в виде десятичной дроби 0,05 и умножить на массу сплава, т.е.0,05* х.

С другой стороны, в получившемся растворе содержится (х+х+4) *0,1 кг меди. Приравниваем и получаем уравнение:

0,05х +0,13(х+4)= (х+х+4) *0,1.

Умножаем обе части уравнения на 100 и раскрываем скобки, получаем:

5х+13х+52=20х+40,

2х=12,

х=6.

Получаем, что 6кг масса первого сплава. А масса третьего сплава будет равна 16 кг (6+6+4).

Ответ : 16 кг.


 

Пример № 8.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 10-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 12-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Решение:

Пусть х кг масса растворов.

 

вещество

вода

раствор

масса

%

масса

%

масса

Iраствор

0,1х

10

 

 

х

IIраствор

0,12х

12

 

 

х

I+II

(х+х) *у:100

у

 

 

х+х


 

Находим сколько (ед. изм.) вещества в содержится в I и во II растворе:

0,1х + 0,12х.

С другой стороны, в получившемся растворе содержится (х+х) *у:100 кгвещества. Приравниваем и получаем уравнение:

0,1х + 0,12х = (х+х) *у:100

0,22х=2х*у*0,01,

0,11=0,01у,

у=11.

Получаем, что 11% со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра.

Ответ: 11%.


 

Пример № 9.

Сме­шав 60-про­цент­ный и 30-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 5 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 20-про­цент­ныйрас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 5 кг воды до­ба­ви­ли 5 кг 90-про­цент­ного рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 70-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 60-про­цент­ного рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Решение:

В задачи два условия. Для решения используем две таблицы. Из которых получаем два уравнения.

Пусть х кг масса первого раствора, а у кг масса второго раствора.

Iусловие:сме­шав 60-про­цент­ный и 30-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 5 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 20-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты.

 

кислота

вода

раствор

масса

%

масса

%

масса

Iраствор

0,6х

60

 

 

х

IIраствор

0,3у

30

 

 

у

III раствор

-

-

5

 

5

I+II+III

(х+у+5) *0,2

20

 

 

х+у+5


 

Находим сколько кг кислоты в двух растворах:

В Iрастворе - 0,6х кг, во II растворе - 0,3укг, вместе 0,6х +0,3у.

С другой стороны, в получившемся растворе (х+у+5) *0,2 кг. Приравниваем и получаем уравнение:

0,6х +0,3у = (х+у+5) *0,2.

IIусловие: если бы вме­сто 5 кг воды до­ба­ви­ли 5 кг 90-про­цент­ного рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 70-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты.

 

кислота

вода

раствор

масса

%

масса

%

масса

Iраствор

0,6х

60

 

 

х

IIраствор

0,3у

30

 

 

у

III раствор

0,9*5.

90

 

 

5

I+II+III

(х+у+5)*0,7

70

 

 

х+у+5


 

Находим сколько кг кислоты содержится в I, во II и в III растворах вместе:

0,6х+0,3у+ 0,9*5.

С другой стороны, в получившемся растворе (х+у+5)*0,7 кг кислоты. Приравниваем и получаем уравнение:

0,6х +0,3у = (х+у+5) *0,7.

Получаем систему уравнений:

t1585822130bh.gif

Умножаем обе части уравнений на 10 и раскрываем скобки, получаем:

t1585822130bi.gif


 

Переносим слагаемые с переменными влево, а числа вправо и приводим подобные слагаемые, получаем:

t1585822130bj.gif

t1585822130bk.gif

Получаем, что 2 кг 60-про­цент­ного рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси.

Ответ : 2 кг.


 

Задачи для самостоятельного решения.

Име­ет­ся два спла­ва. Пер­вый сплав со­дер­жит 10% меди, вто­рой — 40% меди. Масса вто­ро­го спла­ва боль­ше массы пер­во­го на 3 кг. Из этих двух спла­вов по­лу­чи­ли тре­тий сплав, со­дер­жа­щий 30% меди. Най­ди­те массу тре­тье­го спла­ва. Ответ дайте в ки­ло­грам­мах.

Ответ: 9 кг.

Найдите массу 10% сплава никеля. Его получили из двух сплавов. Пер­вый сплав со­дер­жал 5% никеля, вто­рой  — 12% никеля. Масса вто­ро­го спла­ва была боль­ше массы пер­во­го на 9 кг.

Ответ: 21 кг.

Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 21-про­цент­но­го рас­тво­ра­ не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 95-про­цент­но­го рас­тво­ра ­это­го же ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ответ: 58%.

В сосуд, со­дер­жа­щий 5 лит­ров 12–про­цент­но­го вод­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства, до­ба­ви­ли 7 лит­ров воды. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ответ : 5%.

Име­ют­ся два со­су­да, со­дер­жа­щие 10 кг и 16 кг рас­тво­ра кис­ло­ты раз­лич­ной кон­цен­тра­ции. Если их слить вме­сте, то по­лу­чит­ся рас­твор, со­дер­жа­щий 55% кис­ло­ты. Если же слить рав­ные массы этих рас­тво­ров, то по­лу­чен­ный рас­твор будет со­дер­жать 61% кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов кис­ло­ты со­дер­жит­ся в пер­вом рас­тво­ре?

Ответ: 8,7 кг.

Сме­шав 30-про­цент­ный и 60-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 36-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 41-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 30-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Ответ: 60кг.


 

Использованные интернет-ресурсы

Сайт Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки

«Федеральный институт педагогических измерений» http://www.fipi.ru/content/otkrytyy-bank-zadaniy-ege

Образовательный портал «РЕШУ ОГЭ»

https://math- oge.sdamgia.ru

Образовательный портал «РЕШУ ЕГЭ»

https://ege.sdamgia.ru

Сайт цифровых учебно-методических материалов Центра образования ВГУЭС

http://abc.vvsu.ru/

педагогических измерений»

Опубликовано


Комментарии (2)

Щукина Вера Александровна, 06.04.20 в 18:52 0 Ответить Пожаловаться
Регина Валерьевна, спасибо за полезный ресурс.
Чтобы написать комментарий необходимо авторизоваться.