Статья на тему «Методические приемы обучения решению планиметрических задач»

МЕТОДИЧЕСКИЕ ПРИЕМЫ ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ПЛАНИМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ

Бойко Елена Дмитриевна

учитель математики МБОУ СОШ №18

 с.Николенского им. А.Н.Березового

АННОТАЦИЯ

Выявление методических особенностей обучения школьников решению планиметрических задач.

В статье рассмотрено выявление методических особенностей обучения школьников решению планиметрических задач.

Ключевые слова: методы, планиметрические задачи, геометрические фигуры,

анализ, построение, доказательство.

Решение планиметрических задач вызывает трудности у многих учеников. Это связано как с обилием различных типов задач, так и с многообразием приемов и методов их решения.

В отличие от алгебры, в геометрии нет стандартных задач, решающихся по образцу. Как отмечает Г.Х. Воистинова [4], практически каждая задача требует «индивидуального» подхода.

Программа для общеобразовательных школ по геометрии не акцентирует внимание на методах решения задач.

По мнению специалистов в области геометрии [3, 4], чтобы ученики умели решать задачи необходимо:

1. Добиваться от ученика знаний теоретического материала.

2. Нельзя приступать к решению задачи, не уяснив четко, в чем заключается задание. Не спешить начинать решать задачу.

По мнению методистов [1, 2], решению задачи должна предшествовать подготовка, заключающаяся в следующем:

а) ознакомиться с задачей, внимательно прочитав ее содержание, при этом схватывается общая ситуация, описанная в задаче;

б) ознакомившись с задачей, необходимо вникнуть в ее содержание, при этом нужно выделить в задаче данные и искомые, а в задаче на доказательство – посылки и заключения.

3. После прочтения сделать чертёж от руки или с помощью линейки.

Нужно научиться делать хорошие, большие и красивые чертежи, а иногда не чертежи, а рисунки. Чертежи – рисунки, если они выполнены грамотно, могут сильно облегчить поиск решения, работу над ним.

Рисунок может подсказать какое-либо геометрическое соотношение между отрезками или углами. Особенно, если нарисовать несколько чертежей, изменяя размеры присутствующих на нем фигур.

Нужно пытаться изобразить все возможные конфигурации, отвечающие на первый взгляд условиям задачи, а затем с помощью рассуждений отбросить лишние.

Следует изображать лишь «функционирующие» части геометрических фигур.

Необходимо избегать чрезмерного усложнения рисунка. Этого можно добиться, за счет выносных картинок, изображающих фрагменты общей конфигурации.

Если идет речь, например, о произвольном треугольнике или четырехугольнике, то необходимо, чтобы фигура не имела характерных особенностей, присущих «хорошим» фигурам. Т.е. треугольник не должен быть прямоугольным или равнобедренным, а тем более правильным, он должен изображаться в виде произвольного треугольника, а четырехугольник – быть похожим на параллелограмм.

4. Необходимо знание методов решения геометрических задач. Эти методы обладают некоторыми особенностями: большое их разнообразие в геометрии, трудность формального описания, взаимозаменяемость, отсутствие чётких границ области применения.

При решении геометрических задач часто используются следующие методы:

Метод площадей. Метод площадей состоит в том, что, используя площадь, можно доказывать многие теоремы и решать задачи. Основные приемы решения геометрических задач при помощи метода площадей: если многоугольник разрезан на несколько многоугольников, то сумма их площадей равна площади исходного многоугольника. Это дает возможность записать равенство для площадей, с помощью которого возможно нахождение некоторых элементов многоугольника. Отношение длин отрезков можно заменить отношением площадей треугольников. В результате получим равенство, из которого можно извлечь пользу для решения задачи. Различные формулы для нахождения площади фигур позволяют получить соотношения между сторонами, высотами, периметрами и т.д. Этот прием особенно полезен, когда площадь является заданной в условии величиной. Равенство площадей фигур (равновеликость фигур) также позволяет часто извлечь информацию, полезную для решения задачи.

Метод подобия. Метод подобия является составной частью метода геометрических преобразований, но его желательно рассмотреть отдельно, так как в школьных учебниках подобие изучается отдельно от движений. Метод подобия состоит в том, что часто в фигуре можно найти или построить треугольники, подобие которых можно доказать, пользуясь условием задачи. Затем из подобия треугольников можно вывести равенство углов, пропорциональность отрезков и получить тем самым некоторые новые свойства рассматриваемой фигуры. Обратим внимание на то, что метод подобия аналогичен методу равных треугольников.

Метод геометрических преобразований. Суть метода состоит в том, что данная фигура или ее элементы подвергаются некоторому преобразованию. Доказать некоторое соотношение в равнобедренном треугольнике, равнобедренной трапеции, прямоугольнике, ромбе удается часто с помощью осевой симметрии. Использование поворота эффективно при установлении зависимостей в равностороннем треугольнике, квадрате, при доказательстве перпендикулярности прямых. Метод параллельного переноса дает желаемый результат при доказательстве различных соотношений в параллелограмме, трапеции, а также при построении этих фигур. Преобразование гомотетии эффективно, если рассматриваются два параллельных отрезка разной длины, отрезок, разделенный в данном отношении, две окружности разной длины радиусов.

Метод координат. Система координат помогает перевести геометрические задачи на язык алгебры, свести их к решению различных уравнений. Кратко суть координатного метода состоит в том, что вначале условие задачи переводится на координатный язык, затем, применяя те или иные формулы координатной геометрии, получают некоторые новые свойства изучаемой фигуры. Такой метод решения задач называется координатным методом. При решении задач этим методом часто полезной оказывается следующая схема: Строится чертеж; Выбирается удобное расположение осей системы координат; Записываются координаты данных точек (уравнения прямых, окружностей и других линий); Записывается условие и заключение задачи на координатном языке; Делается переход от условия задачи к заключению. При решении задач координатным методом большое значение имеет удачный выбор системы координат. Обычно в качестве осей выбираются прямые, заданные в условии задачи, и оси симметрии фигуры, если они имеются.

Векторный метод. Суть векторного метода решения геометрических задач состоит в том, что вначале задачи переводятся на векторный язык, затем проводятся алгебраические вычисления с векторами, наконец полученное векторное решение переводится на геометрический язык.

Векторный метод эффективен при:

а) доказательстве параллельности прямых

и отрезков;

б) обосновании утверждения о делении отрезка данной точкой в

указанном отношении;

в) выяснении принадлежности трех точек одной

прямой;

г) доказательстве перпендикулярности прямых и отрезков; д)

доказательстве зависимостей между длинами отрезков; е) нахождении

величины угла.

Метод дополнительных построений. Для решения ряда задач является эффективным применение вспомогательных построений. Среди них выделяют следующие: проведение прямой через две точки; продолжение отрезка или отрезков на определенное расстояние или до пересечения с другой прямой; проведение через заданную точку прямой, параллельной или перпендикулярной данной. Стандартными примерами таких построений являются: удвоение медианы треугольника (иногда с последующим достраиванием треугольника до параллелограмма); проведение через одну из вершин треугольника прямой, параллельной его противоположной стороне; продолжение до пересечения боковых сторон трапеции; проведение через одну из вершин трапеции прямой, параллельной диагонали и другие. Дополнительные линии чаще всего проводятся для того, чтобы свести задачу к ранее решенной или более простой задаче. Они позволяют включить в задачу новые фигуры с их свойствами, тем самым увеличить число теорем, которые можно использовать при решении задачи.

По мнению методистов [5], один из основных методов решения геометрических задач, который стоит освоить и отработать, – алгебраический метод.

Задача 1. Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с площадью 4 и площадью 16. Найдите длину гипотенузы.

Решение.

Задача решается введением трех неизвестных величин, составлением системы из трех уравнений и решением этой системы.

Обозначим АН= х, НВ = y, СН = h (Рис. 1), составим систему уравнений:

  умножим первое и второе уравнения, получим 

256=2∙h2,h2=16, h=4, АН=8, ВН=2, АВ=10.

Ответ: 10.

Рисунок 1. Решение геометрической задачи

Итак, анализ методических исследований показал, что систематическое изучение в школьном курсе геометрии основных методов решения задач является необходимым компонентом обучения. После введения метода учащимся необходимо предложить комплекс, содержащий большое число задач. Причем, по мнению, на начальном этапе знакомства с методом целесообразно предложить задачи на отработку метода, его распознавание, а далее, по мере накопления фактических знаний и изучения учебного материала, и на его применение в сложных ситуациях. Также необходимо предлагать задачи, которые можно решить разными методами. Считаю, что в результате демонстрации метода решения в явном виде,

выделения характерных приемов его применения, повысится успеваемость учащихся по геометрии, а также положительная мотивация к изучению этого традиционно сложного предмета. Также выделение методов решения задач будет способствовать более осознанному и целенаправленному повторению школьниками ранее изученного материала, приобретению ими новых знаний, умений, навыков.

Список литературы:

Атанасян Л.С. Геометрия: Доп. главы к шк. учеб. 9 кл.: Учеб.пособие для учащихся шк. с углубл. изуч. математики / Л.С. Атанасян [и др.]. – М.: Просвещение, 1997. – 176 с.

Березина Л.Ю. Геометрия в 7-9 классах: Метод.рекомендации к преподаванию курса геометрии по учебному пособию А.В. Погорелова: Пособие для учителя / Л.Ю. Березина [и др.]. – М: Просвещение, 2010. – 78 с.

Болтянский В.Г., Глейзер Г.Д. Геометрия 7-9: Методическое пособие к углубленному курсу развивающего математического образования. М: Институт учебника «Пайдейя», 2008. – 178 с.

Воистинова Г.Х. Задачи на построение как средство совершенствования приемов мышления студентов: Монография. – Стерлитамак: Стерлитамакский филиал БашГУ, 2013. – 176 с.

Крамор В.С. Повторяем и систематизируем школьный курс геометрии: Учеб.пособие: 3-е изд., испр. и доп. – М.: Мнемозина, 2004. – 336 с.