Кононова Дарья Дмитриевна

Конспект урока математики «Эксперименты по вычислению числа Пи разными методами» (5–6 классы)

Участник педагогического конкурса ‒ Всероссийский педагогический конкурс научных мастер-классов для школьников «Занимательные опыты»

Материал опубликован 29 March 2022

Эксперименты по вычислению числа Пи разными методами.

Формируемые результаты:

Предметные: сформировать понятия числа Пи, бесконечной десятичной непериодической дроби;

Личностные: формировать умение работать в коллективе и находить согласованные решения;

Метапредметные: формировать умение устанавливать причинно-следственные связи, строить логические рассуждения.

Планируемые результаты: обучающийся научится вычислять число Пи, применяя различные методы, научится выявлять закономерности и зависимости в разных методиках расчетов.

Основные понятия: длина окружности, число π, бесконечная десятичная непериодическая дробь.

Методические рекомендации.

Эксперименты можно распределить между группами обучающихся. В этом случае у каждой группы получатся индивидуальные результаты, отличные от остальных групп. В конце подведения итогов необходимо будет проанализировать каждый из способов получения результата, выявить наиболее точный, сделать вывод по полученному анализу.

Либо дать возможность каждому учащемуся выполнить все возможные эксперименты самостоятельно. В этом случае придется усреднять полученные значения каждого из экспериментов по всему классу.

Приблизительны конспект урока.

Этап

Действия

Инструментарий

Организационный этап

Игра Сколько предметов на столе?

Учащиеся закрывают глаза. Можно предварительно создать визуальную картинку, например, с поющими птицами на ветках деревьев. Не открывая глаз, детям задается вопрос: сколько предметов на столе? Учащиеся должны быстро ответить, учитывая всё, что они подготовили для урока. (Пример ответа: учебник, тетрадь, дневник, пенал – 4 предмета).

Этой игрой проверяется готовность учащихся к уроку.

Актуализация знаний

На предыдущем уроке были рассмотрены понятия круга, окружности, радиуса и диаметра, хорды и сектора.

В форме фронтального опроса учащимся необходимо вспомнить примеры из окружающего мира по озвученным критериям. Например, «круглый и съедобный» - ребята отвечают яблоко, пицца, пончик и т.д.

Где у них центр окружности?

«круглый красный» - яблоко, обруч, солнце на флаге Японии.

Где у этих предметов диаметр?

«маленький сектор» - кусочек сыра, модель глобуса со строением земной коры. Где у этих предметов радиус?

И т.д.

Распределение по командам и постановка целей исследования

Сегодня мы с вами будем проводить эксперимент. Как можно самостоятельно вычислить длину окружности?

Ребята предлагают самый очевидный способ: измерение с помощью линейки или линейки и ленты(нитки).

А как вычислить площадь круга?

Здесь дети чаще затрудняются. Предлагают сделать модель из бумаги, разрезать ее на единичные квадраты и вычислять приблизительно.

Все верно. Математический способ вычисления – формулы (записывается на доске). В обоих случаях в формулах содержится незнакомая вам буква греческого алфавита – π. Что это за буква такая и что она означает?

Ребята записывают в тетрадь определение числа Пи, описание его как бесконечного десятичного непериодического числа.

А сейчас мы разделимся на группы, чтобы попробовать вычислить это значение разными способами.

1 способ – по основному определению.

Число пи вычисляется как отношение длины окружности к ее диаметру.

Для этого имеются несколько окружностей разного диаметра. С помощью линейки у каждой окружности измеряется диаметр, а с помощью нитки и линейки – длина окружности. Данные заносятся в таблицу. Вычисляется значение Пи для каждой окружности по готовой формуле.

2 способ – метод иглы Буффона

Для этого метода предварительно надо подготовить поверхность пола с расчерченными линиями. Я использовала малярный тонкий скотч – его легко отклеить от пола, не оставляя следов. На эту разлинованную область мы бросали фломастеры. Соответственно, приклеить скотч надо на расстоянии длины фломастера. Семи таких линий нам хватило для эксперимента.

Ход действий: на расчерченный пол бросаются фломастеры. Бросать их нужно случайным образом, на стараясь прицельно бросать их, а просто в область с линиями.

На бланке ведется учет общего числа всех бросков. И числа бросков, при котором фломастер упал так, что задел/пересёк линию скотча.

При этом число Пи вычисляется по формуле как отношение общего числа бросков к половине бросков-попаданий.

Дополнения:

Учитываются только те броски фломастера, которые попали в расчерченную скотчем область. Если фломастер далеко укатился, такой бросок не учитывается.

Выполнить придётся около 200-300 бросков. На самом деле по времени это не так много.

3 способ – программный метод Монте-Карло.

В любую готовую программу подставляются значение количества точек для эксперимента.

Например, на языке Python программа выглядит так:

import random

def count_pi(n):

i = 0

count = 0

# n - общее количество набранных баллов

while i < n:

# Произвольно генерировать координаты x, y

x = random.random()

y = random.random()

# Если x квадрат + y квадрат <1, это означает, что он находится внутри круга

if (pow(x, 2) + pow(y, 2)) < 1:

count += 1

i += 1

# Значение π: 4 * (точки, попадающие в круг / общее количество баллов)

return 4 * (count / n)

pi = count_pi(100000)

print(pi)

Для анализа результата изменяется значение числа используемых точек (19 строка программы).

Для каждого эксперимента можно провести по нескольку запусков программы. Поскольку координаты точек выбираются случайным образом, значение числа пи, особенно для малого количества точек, будет отличаться.

Исследование

Ребята выполняют эксперименты, записывают результаты в таблицу.

1 метод

По определению

2 метод

Игла Буффона

3 метод

Монте-Карло

π = 3,14159265358979323846264338327950…

Анализ полученных результатов

По каждому из экспериментов надо усреднить результат. Готовые значения сверяем с точным значением числа Пи из учебника (30 знаков после запятой). Делаем анализ, какой из методов оказался наименее и наиболее точным. Какой понравился больше всего и почему.

Дополнения:

Третьим методом можно рассмотреть любой метод, связанный с техническими вычислениями. Например, с помощью калькулятора и бесконечных рядов. Здесь нужно будет учитывать количество элементов ряда. Нам подойдут:

Ряд Лейбница.

Существует несколько бесконечных рядов, позволяющих точно вычислять число Пи до большого количества знаков после запятой. Одним из самых простых рядов является ряд Лейбница. π = (4/1) — (4/3) + (4/5) — (4/7) + (4/9) — (4/11) + (4/13) — (4/15) …

Берем дроби с 4 в числителе и одним числом из последовательности нечетных чисел в знаменателе, последовательно складываем и вычитаем их друг с другом и получаем число Пи. Чем больше итераций или повторений наших нехитрых действий, тем точнее результат.

Ряд Нилаканта

Ряд Нилаканта, хотя он немного сложнее, но позволяет быстрее получить нам искомый результат. π = 3 + 4/(2*3*4) — 4/(4*5*6) + 4/(6*7*8) — 4/(8*9*10) + 4/(10*11*12) — (4/(12*13*14) …

Приложение 1

Вычисление длины окружности.

Расчёты:

№ круга	С	d	Расчёты
1
2
3
4
5

Приложение 2

Метод иглы Буффона

Броски B

(сколько всего раз бросили)

Попадания P

(есть пересечение)

Вычислить =

Приложение 3

Метод Монте-Карло

№ эксперимента	Количество точек	Полученное значение числа Пи
	100
	500
	1 000
	2 000
	5 000
	10 000
	1 000 000