Исследовательская работа по математике «Эти загадочные проценты»

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Новомеловатская средняя общеобразовательная школа

Калачеевский район Воронежская область

VII межмуниципальная научно-практическая конференция

обучающихся общеобразовательных организаций

«Школьная исследовательская инициатива»

Физико-математическая секция

Эти загадочные проценты

Исследовательская работа

 

Автор - Грищенко Максим, 7 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Новомеловатская средняя общеобразовательная школа

Калачеевский район Воронежская область

Научный руководитель –

Медведева Татьяна Петровна

учитель математики

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Новомеловатская средняя общеобразовательная школа

Калачеевский район Воронежская область

х. Хвощеватое, 2017 г.

Оглавление:

1. Введение..……………………………………………………………...........................3 - 4 с

2. Основная часть...…………………………………………................................... 5-14 с

2.1. История возникновения процента..........………………………….................. 5 с

2.2. Понятие «процент»........…...…...……………………….............................. 6-7 с

2.3. Социологический опрос……………………………………………..................... ..8 с

2.4. Виды задач на проценты и способы их решения………………............9-10 с

В жизни важно обладать знаниями, но важнее уметь их применять. Одна из главных задач математического образования - обеспечение математической грамотности школьников: готовность и способность решать жизненные задачи с помощью математики.

Актуальность. «Проценты» - одна из сложнейших тем математики. Значение этой темы очень велико. Она затрагивает многие сферы нашей жизни: финансовую, экономическую, социальную, интеллектуальную, личную, демографическую и др. Изучение процентов продиктовано самой жизнью. Мы ежедневно получаем информацию в процентах: на 14 марта полеводы подкормили озимые на 17% всего массива, магазин предоставляет скидку на все товары на 20%, банк начисляет 5,1 % годовых, молоко содержит 3,2% жира, материал содержит 60% хлопка и 40% полиэстера и т.д. Человек должен уметь свободно просчитать предложения магазинов, различных банков, кредитных отделов и выбирать наиболее выгодные. Текстовые задачи на проценты включены в материалы итоговой аттестации за курс основной и средней школ.

В прошлом году моя сестра сдавала экзамен по математике, т. к. заканчивала 9 классов. При подготовке к экзамену она пользовалась пособием «Математика. Подготовка к ОГЭ - 2016» под редакцией Ф. Ф. Лысенко. Из любопытства я полистал книгу и обнаружил, что каждый тренировочный вариант содержит задачу на проценты. Некоторые из них я включил в свою исследовательскую работу.

Цель работы: расширение знаний о применении процентных вычислений в различных сферах деятельности и жизни человека.

Задачи:

• выяснить историю происхождения процентов;
• рассмотреть основные типы задач на проценты;
• раскрыть практическую значимость процентов;
• показать широту применения процентных вычислений при решении задач из разных сфер жизнедеятельности человека;
• провести статистическое исследование;
• обобщить результаты работы.

Объект исследования: различные типы задач по теме «Проценты».

Предмет исследования: практические задачи на проценты и процентное содержание, иллюстрирующие использование процентных расчетов в различных сферах жизнедеятельности человека.

Методы исследования:

1. теоретический анализ научной и учебной литературы, поиск необходимой информации в сети Интернет, систематизация полученной информации, обобщение выводов;

2. практический метод: решение различных задач на проценты, в том числе из сборников ОГЭ, представление результатов исследований в виде таблиц;

3. опросно-диагностический метод.

2. Основная часть

2.1. История возникновения процента

Слово «процент» произошло от латинского слова «pro centum» и означает буквально «за сотню» или «со ста».

Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это дает возможность упрощать расчеты и легко сравнивать части между собой и с целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась еще в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных таблицах вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные вавилонянами таблицы процентов, которые позволяли быстро определить сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применив так называемое тройное правило, то есть, пользуясь пропорцией. Они умели производить и более сложные вычисления с применением процентов. Денежные расчеты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Даже римский сенат вынужден был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особо много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, то есть сложные проценты (так их называют в наше время). Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислениях процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли  коммерческую тайну фирмы.

Впервые опубликовал таблицы для расчета процентов в  1584 году Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Он известен замечательным разнообразием научных открытий.

2.2. Что такое процент?

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль и убыток на каждые 100 рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, теперь проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике.

Употребление термина «процент» в качестве нормы русского языка начинается с конца XVIII века. Об этом свидетельствует сравнительный анализ текстов двух фундаментальных учебников по математике Ефима Войтеховского (первое издание 1795 года) и Т.Ф. Осиповского (первое издание 1802 года). В обоих учебниках имеется по несколько задач «на проценты по вкладу», но Е. Войтеховский оперирует исключительно сотыми долями, тогда как Т.Ф. Осиповский уже употребляет термин «процент». Знак « %» происходит, как полагают, от итальянского слова «cento» (сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно «cto». Путем дальнейшего упрощения в скорописи буквы t превратилась в наклонную черту (/) и возник современный символ для обозначения процента.

Существует и другая версия возникновения этого знака. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где наборщик по ошибке вместо «cto» напечатал «%».

Нынче процент – это сотая доля целого, принимаемого за единицу. Например, 1% зарплаты – это сотая часть зарплаты; подоходный налог с зарплаты берется в размере 13%, то есть 13 сотых от зарплаты; 3,5% жира в молоке означает, что 3,5 сотых массы продукта составляет жир или, другими словами, в каждых 100 граммах этого продукта содержится 3,5 грамма жира.

Проценты тесно связаны с обыкновенными и десятичными дробями.

В повседневной жизни нужно знать о числовой связи дробей и процентов, поэтому стоит запомнить несколько простых равенств. Так, половина — 50%, четверть — 25%, три четверти — 75%, одна пятая — 20%, три пятых — 60%, а один – 100%.

2.3. Социологический опрос

Я решил провести опрос жителей нашего села с целью выяснения, знают ли они определение процента. Было опрошено 40 человек, возраст которых от 10 лет и старше.

На вопрос «Что такое процент?» были получены следующие ответы:

Вывод: опрос показал, большая часть опрошенных знает, что такое процент.

2.4. Виды задач на проценты и способы их решения.

Основные задачи на проценты можно разделить на три группы:

1) Нахождение процентов от числа.
Чтобы найти проценты от числа, нужно:

1) представить проценты в виде дроби (десятичной или обыкновенной); 2) умножить число на эту дробь.

Задача: Плата за телефон составляет 400 рублей в месяц. В следующем году она увеличится на 9% . На сколько рублей повысится плата в следующем году? [5,115 ]
Решение: 9% = 0,09; 400 · 0,09 = 36 (р.) повысится плата за телефон в следующем году .

Ответ: на 36 рублей.

2) Нахождение числа по его процентам. Чтобы найти число по его процентам, нужно: 1) представить проценты в виде дроби (десятичной или обыкновенной); 2) разделить значение процентов на эту дробь. Задача: Вес Вани равен 45 кг и составляет 90% от среднего веса мальчиков того же возраста, что и Ваня. Какой средний вес мальчиков Ваниного возраста? [5,125]

Решение: 90% = 0,9; 45 : 0,9 = 50 (кг) средний вес мальчиков .

Ответ: 50 кг

3) Нахождение процентного отношения чисел. Чтобы найти процентное отношение двух чисел, надо:

1. найти отношение этих чисел, т. е. одно число разделить на другое; 2. результат умножить на 100 и дописать знак процента. Задача: Поступивший в продажу в сентябре мобильный телефон стоил 2400 рублей. В октябре он стал стоить 1320 рублей. Сколько процентов составляет новая цена от первоначальной? [5,94] Решение: 1) 1320 : 2400 = 0,55 = 55% составляет новая цена от первоначальной?

Ответ: 55%

Задачи, связанные с банковскими расчетами решаются с помощью сложных процен­тов. Я хотел бы в будущем разобраться с их решением, так как сегодня мне не хватает знаний.

Решение задач на проценты составлением пропорции.

При решении задач на проценты некоторая величина b принимается за 100%, а ее часть – величина a – принимается за x % и составляется пропорция:

 =  Из пропорции по двум известным величинам определяют неизвестную третью величину, пользуясь правилами нахождения неизвестного крайнего (среднего) члена пропорции.

Задача . В парке растёт 36 берёз. Сколько всего деревьев в парке, если клёны составляют 52%?

Решение: Берёзы составляют 100% - 52% = 48% всех деревьев. Берёзы: 36 д. - 48% Все деревья: х д. - 100%

Составляем пропорцию:  =   х =  = 75 Ответ: 75 деревьев.

Решение задач на проценты алгебраическим методом.

Задача. Одна из сторон прямоугольника на 42% больше другой, его площадь

равна 568 см2. Найдите меньшую из сторон прямоугольника. Решение: Пусть х см – меньшая сторона прямоугольника, тогда большая сторона - 1,42 х см. Площадь прямоугольника равна 568 см2. Составим и решим уравнение:

х · 1,42 х = 568,

1,42х2 = 568,

х2 = 400, х1 = 20 и х2 = - 20, -20 не удовлетворяет условию задачи.

Ответ: Меньшая сторона прямоугольника равна 20 см.

2.5. Проценты в повседневной жизни

Можно и нужно для задач

брать примеры из окружающей жизни.

Н.К. Крупская

Проценты широко применяются в повседневной жизни. Я показал это на следующих задачах.

Зарплата.

Мне не раз приходилось слышать выражение «грязная зарплата». Я никак не мог понять, где она испачкалась. Первые разъяснения по этому вопросу мне дала мама, а более подробно этот вопрос был рассмотрен на уроке математики, когда мы изучали тему «Проценты». Я решил проанализировать зарплату мамы и выяснить, как из «грязной» получается «чистая» зарплата.

Мама работает библиотекарем Хвощеватовской сельской библиотеки. Её оклад составляет 8091рубля.

В нашей семье 2 детей, значит, сумма, не облагаемая налогом, составляет 1400 • 2 = 2800 рублей.

8091 – 2800 = 5291– сумма, которая облагается 13% налогом – НДФЛ.

5291 • 0,13 = 688 р.

Значит, «чистая» зарплата мамы составляет

8091 – 688 = 7403 рубля.

Ответ: 7403рубля.

 

Бюджет семьи

В начале своей исследовательской работы я изучил много различной литературы о процентах. Меня заинтересовала информация о бюджете семьи: чтобы достичь финансового успеха, необходимо разделить общий доход семьи на три части:

50% - на нужды семьи (продукты, платежи, транспорт и т. п.)

30% - на желанные вещи (хобби, путешествия, походы в кино, театр и др.)

20% - на сбережения.

Сначала откладываем 20%, а потом тратим на всё остальное.

Рассчитаю бюджет нашей семьи, доход которой составляет 15000 + 7400 = 22400 рублей.

Вывод: На практике получается совсем другой расклад бюджета: на желанные вещи, да и на сбережения не всегда остаётся указанное количество денег, т. к. постоянно происходит повышение цен на продукты питания, одежду и другие услуги.

Задача по вкладу.

Вкладчик положил на счет в банке 5000 р. Сбербанк начисляет на срочный вклад 9% годовых. Какая сумма будет на счету вкладчика через год? [4,99]

Решение: 9% = 0,09; 5 000 • 0,09 = 450 р., то через год на счету вкладчика будет 5000 + 450 = 5450 (р.).

Ответ: 5450 руб.

Здравоохранение.

Задача. Известно, что в среднем 80% курящих страдают заболеванием легких. Найдите количество больных, если в исследовании приняло участие 500 курящих человек.

Решение: 80% = 0,8; 500 • 0,8 = 400 (ч.)

Вывод: 400 человек из 500 курящих страдают заболеванием легких!

Распродажа.

Задача . Зонт стоил 360 р. В ноябре цена зонта была снижена на 15 %, а в декабре еще на 10 %. Какой стала стоимость зонта в декабре?

Решение. Стоимость зонта в ноябре составляла 85 % от 360 р.

360 • 0,85 = 306 (р).

Второе снижение цены происходило по отношению к новой цене зонта, теперь следует искать 90 % от 306 р.

306 • 0,9 = 275,4 (р.).

Ответ: 275 рублей 40 копеек.

Скидки

Мама совершила покупку в нашем местном магазине. Я составил таблицу её покупок.

В «Калачеевских зорях» за 14 марта я увидел рекламу о скидке на все товары бытовой химии на 20% в магазине «Магнит косметик» и решил подсчитать, сколько денег сэкономила бы наша семья, если бы всё это мама купила в Калаче. [3,11]

Решение. 20% = 0,2; 209 • 0,2 = 41,8 (руб.)

Ответ: 41 рублей 80 копеек.

41 рублей 80 копеек - сумма небольшая, ну, всё-таки, как говорится: «Копейка рубль бережёт».

Задача на растворы.

В прошлом году моя сестра закончила 9 классов и сдавала экзамен по математике. К экзамену она готовится по книге «Математика. Подготовка к ОГЭ - 2016» под редакцией Ф. Ф. Лысенко. Из любопытства я полистал книгу и обнаружил, что в тренировочные варианты включены задачи на проценты. Вот одна из них.

В сборнике «Типовые тестовые задания 2016» я обнаружил задачи на растворы. Для меня эти задачи самые сложные.

К 120 г раствора, содержащего 80% соли, добавили 480 г раствора, содержащего 20 % той же соли. Сколько процентов соли содержится в получившемся растворе? [4,78]

Решение: 1) 80% = 0,8; 120 • 0,8 = 96(г) соли в 80% растворе;

2) 20% = 0,2; 480 • 0,2=96(г) соли во 20% растворе;

3) 96 + 96 = 192 (г) соли

4) 120+480 = 600 (г) жидкости (растворителя).

5) 192 : 600 = 0,32 = 32% соли содержится в получившемся растворе.

Ответ: 32%.

Учитель химии мне сказала, что задачи данного типа решают и на уроках химии. Значит, решая такие задачи на уроках математики, мы изучаем химию уже в 6 классе.

Задачи с процентами из литературы. Эта задача не осталась без моего внимания: В романе М. Е. Салтыкова - Щедрина « Господа Головлевы» сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казенные 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил: « Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов вернуть Петя через год. Согласилась ли бабушка на его условия.

Решение: 5% в месяц, значит, 60% в год. 60% = 0,6

3000 • 0,6 + 3000 = 4800 (руб) Петя вернул бы бабушке через год.

Предложение заманчивое за год получить прибавку в 1800 руб, но игроки – ненадёжные люди. Думаю, бабушка не согласится на условия Пети.

Ответ: 4800 рублей.

3. Заключение

В ходе своего исследования я пришёл к выводу, что проценты помогают нам:

• грамотно разбираться в большом потоке информации;
• правильно вкладывать деньги;
• совершать выгодные покупки, экономя на скидках;
• грамотно брать кредиты, выбирая более выгодный вариант;
• решать математические задачи.

Проценты творят чудеса. Зная их, бедный может стать богатым, обманутый вчера в торговой сделке покупатель сегодня обоснованно требует процент торговой скидки. Вкладчик сбережений учится жить на проценты, грамотно размещая деньги в прибыльное дело.

Трудно назвать область, где бы ни применялись проценты. В своей работе я показал применение понятия «процент» при решении реальных задач только из некоторых сфер жизнедеятельности человека (торговля, здравоохранение, литература, химия, быт и др.).

Применение в жизни процентных расчетов полностью рассмотреть очень сложно, так как проценты применяются во всех сферах жизнедеятельности человека. Данная тема оставляет широкое поле для дальнейших исследований.

4. Литература:

1. Виленкин Н.Я. и др. Математика: Учебник для 5 класса общеобразовательных учреждений. М, 2010г.
2. Виленкин Н.Я. и др. Математика: Учебник для 6 класса общеобразовательных учреждений. М, 2011г.
3. «Калачеевские зори» № 18 от 14 марта 2017 г.
4. Математика. 9-й класс. По дготовка к ОГЭ – 2016. 40 тренировочных вариантов по демоверсии на 2016год: учебно-методическое пособие / Под ред. Лысенко и др. – Ростов на Дону: Легион, 2015.
5. ОГЭ 2016. Математика. 9 класс. 3 модуля. 30 вариантов типовых тестовых заданий / Высоцкий И.Р. и др. – М.: Издательство «Экзамен», 2016.
6. Минаева С.С., Дроби и проценты. 5 – 7 классы /С.С. Минаева. – М.: Издательство «Экзамен», 2012. – 125 с.
7. Шевкин А.В., Текстовые задачи по математике: 5 – 6. – М.: ИЛЕКСА, 2011. – 106 с.