Программа кружка по математике «Проценты»

Программа кружка по математике «Проценты»

Пояснительная записка.

Актуальность темы

С математической точки зрения тема “Проценты” в школьной математике не является простейшей, если ограничить ее рамками школьных учебников. Научить процентам - это в первую очередь научить быстро и без колебаний переводить ту или иную словесную формулировку с участием процентов в соответствующую математическую формулировку шаблонных вопросов и решение на их основании самих задач. Разработка программы данного кружка обусловлена тем, что  для  большинства учащихся решение задач на проценты, выбор способа решения вызывают трудности. Задачи данного вида включены в контрольно – измерительные материалы итоговой аттестации за курс основной и средней школы. В программе курса рассматриваются приемы быстрого счета и большое место отведено на решение задач с практической направленностью, что оказывает положительное влияние на развитие инициативы и находчивости, навыков выполнения вычислений, измерений, построений, на формирование творческого стиля мышления, показывает  широту применения процентных расчетов в реальной жизни.    

Таким образом, дополнительная работа по развитию и совершенствованию навыка решения задач на проценты имеет значимость не только для будущих абитуриентов, которые возможно встретятся с такими заданиями на вступительных экзаменах в вуз, но и для всех учащихся, так как современная жизнь неминуемо заставит в своей повседневности решать задачи на проценты.

      

Цели

• систематизировать знания учащихся по  решению  тестовых задач на дроби и проценты;
• подготовить учащихся к решению задач на проценты к государственной итоговой аттестации;
•  способствовать интеллектуальному развитию учащихся, формированию качеств мышления для решения практических проблем.

 

Задачи кружка

• научить учащихся решать задачи из повседневных бытовых проблем каждого человека;
• сформировать навыки решения тестовых задач на проценты;
• включить в учебную деятельность работу  со справочными пособиями, микрокалькулятором, Интернет – ресурсами.
•  

Содержание программы кружка

Данный кружок предлагает решение  задач на дроби и проценты разного вида: смеси и сплавы, изменение цен и банковских вкладов, пропорциональность величин.

Задания демонстрируют учащимся применение математического аппарата к решению повседневных бытовых проблем каждого человека, вопросов рыночной экономики и задач технологии производства.

Предлагаемые задачи позволяют осуществить межпредметные связи.

Задания ориентируют  учащихся на дальнейшее обучение по естественно - научному и социально- экономическому профилю.

 

Принципы и идеи, составляющие основу программы  кружка

• системность;
• целостность;
• доступность;
• объективность;
• вариативность;
• практическая направленность

 

Системность и целостность обеспечивается структурой  занятия: каждое занятие кружка включает краткое изложение теории, разбор и  решение задач, самостоятельную работу, необходимую для достижения запланированных целей обучения.

Доступность реализуется через включение в каждое занятие задач уровня Аи В. Уровень задач варьируется от простых до трудных.

Вариантность содержания -  программа кружка рассчитана  для  учащихся 7-9 классов.

Практическая направленность - этот кружок способствует развитию познавательных интересов и мышления учащихся,  экономической грамотности,  формированию умения выполнять процентные  вычисления в повседневной жизни и для решения широкого круга задач.

Место кружка в системе школьного математического образования

Предлагаемая программа кружка рассчитана на 12 часов, которую можно изучать с учащимися в любое время учебного года.

 

Ожидаемые результаты обучения:

В результате освоения программы кружка  учащиеся научатся:

1.      понимать смысл термина « проценты» как специального способа выражения доли величины;

2.       соотносить процент с соответствующей дробью (50% -1/2; 20% - 1/5 ; 25% - ¼; и т.д.);

3.       применять процентные вычисления для задач межпредметного характера. (изменение цен и банковских вкладов);

В результате освоения программы кружка  учащиеся получат возможность:

• овладеть идеями и методами курса;
• проверить наличие интереса и склонности к математике;
• разобрать задачи повышенной сложности и дополнительные способы решения этих задач

Методы преподавания кружка

§   лекция;

§   беседа;

§   объяснительно иллюстративный

§   выполнение тренировочных задач;

§   комментирование решения задач.

 

Формы занятий:

• групповая и индивидуальная работа;
• самостоятельная работа;
• практическая работа;
• экскурсия.

 

Формы контроля

• самостоятельная работа;
• проверочная работа;
• тестирование

 

Тематическое планирование.

№	Тема занятия	Количество часов
1.	Проценты в математике. Вводное занятие.	1
2.	Проценты и семейная математика.	2
3.	Проценты на уроках экономики.	1
4.	Проценты на уроках физики.	1
5.	Проценты на уроках химии.	1
6.	Понятие о банковской системе. Вклады. Банковские операции. Процентная ставка.	1
7.	Бюджет. Зарплата.	1
8.	Задачи на сплавы и смеси.	1
9.	Задачи с историческими и литературными сюжетами.	1
10	Задачи,  предложенные на ЕГЭ.	2

 

Список литературы.

1.      Алимов Ш. А. Алгебра- 8, 9 классы М.,« Просвещение»- 2004г

2.      Галицкий М. А. Углубленное изучение курса алгебры и математического анализа. « просвещение», 1999 г.

3.      Журнал. « Математика в школе»- №1- 2006 г. «Математика в школе»- №3- 2006 г.

4.      Мишина О. Н. Экономическая теория. Краткий словарь. г. Саранск, изд.Красный Октябрь.

5.      Башарин  Г. П. Элементы финансовой математики.- Математика( приложение к газете « первое сентября»- №27.- 1995.

6.      Глейзер, Г. И. История математики в школе ( 4-6 кл.) пособие для учителей.- Просвещение, 1981.

7.      Симонов, А.С. Проценты и банковские расчеты//Математика в школе.-1998.- №5

8.      Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в преподавании математики. Просвещение, 1990 год.

9.      Игнатьев Е.И. В царстве смекалки. Москва «Наука», 1984 год.

10.  Козлова Е.Г. Сказки и подсказки. Москва 1995 год.

11.  Лаппо Л.Д. Математика подготовка  к ЕГЭ. Москва. 2010 год.

12.  Кочагин В.В. ЕГЭ 2011 Математика сборник заданий. Москва 2010 год.

 

Информация о работе  кружка

Представлена в выпуске газетки  « Процентик»,  над которой работали кружковцы.

 

Приложение 1

Терминологический словарь.

1)       Банки - финансовые посредники, аккумулирующие временно свободные денежные средства населения и фирм передающие их в виде кредитов заемщикам.

2)       Процентная ставка, ставки процента - цена использования денег или использования капитала.

3)       Кредиты - сумма денег, предоставляемые одним участником договора о передаче другому участнику на условиях платности, срочности и безусловной возвратности.

4)       Вкладчики - это те люди, которые помещают деньги в банке.

5)       Заемщики - это те, кто одалживает деньги у банка.

6)       Налоги- обязательные платежи, взимаемые государством с граждан.

7)       Пеня - вид неустойки. Исчисляется в процентах от суммы неисполненного или ненадлежащего

8)       Прибыль - положительная разность между выручкой и совокупными издержками предприятия.

9)        Тарифы- система ставок, по которым взимается плата за услуги.

10)  Цена- количество денег, за которое продается и покупается единица товара или услуги.

11)  Штраф- денежное взыскание, мера материального воздействия на лиц, виновных в нарушении определенных правил, полагается случае n в порядке, установленном законом в точно определенной денежной сумме.

12) Вклады – средства, помещенные на хранения в банк и изымаемые при необходимости для совершения каких либо сделок..

13)  Процентная ставка - цена использования денег или использования капитала. 

 

Приложение 2

Проценты в математике. Вводное занятие.

Что такое проценты в математике? Как решать задачи на проценты?  Единственно, что нужно запомнить железно – что такое один процент. Это понятие - и есть главный ключ к решению задач на проценты, да и к работе с процентами вообще.

Один процент – это одна сотая часть какого-то числа. И всё. Нет больше никаких мудростей.

Резонный вопрос – а сотая часть  какого числа? А вот того числа, о котором идёт речь в задании. Если там говорится о цене, один процент – это одна сотая часть цены. Если о скорости, один процент – это одна сотая часть скорости. И так далее. Понятно, что само число, о котором идёт речь, составляет всегда 100%. А если нет самого числа, то и проценты смысла не имеют…

Другое дело, что в сложных задачах само число так запрячут, что и не найдёшь. Разбираемся с процентами в математике.

Запомнив, что такое один процент, вы легко найдёте и два процента, и тридцать четыре, и семнадцать, и сто двадцать шесть! Сколько надо, столько и найдёте.

А это, между прочим, основное умение для решения задач на проценты.

Попробуем?

Давайте найдём 3% от 400. Сначала найдём один процент. Это будет одна сотая, т.е. 400/100 = 4. Один процент – это 4. А нам сколько процентов надо? Три. Вот и умножаем 4 на три. Получим 12. Всё. Три процента от 400 – это 12.

5% от 20 это будет 20 поделить на 100 (одна сотая – 1%), и умножить на пять (5%):

5% от 20 это будет 1. Всё.

Проще некуда. Давайте-ка быстро, пока не забылось, потренируемся!

Найдите, сколько будет:
5%  от 200 рублей.
8%  от 350 километров.
120%  от 10 литров.
15% от  60 градусов.
4% отличников от 25 учащихся.
10% двоечников из 20 человек.

Ответы (в полном беспорядке): 9, 10, 2, 1, 28, 12.

Эти числа – количество рублей, градусов, учеников и т.д.  Я не написала, сколько чего, чтобы решать интересней было…

А если нам нужно записать х% от какого-то числа, например, от 50? Да всё то же самое. Один процент от 50 – это сколько? Правильно, 50/100 = 0,5. А у нас этих процентов – х. Ну и умножим 0,5 на х! Получим, что х% от 50 это – 0,5х.

Надеюсь, что такое проценты в математике вы уяснили. И легко сможете найти любое количество процентов от любого числа. Это просто. Вам сейчас по силам примерно 60% от всех задач на проценты!

В задачах на проценты частенько встречаются обратная ситуация. Нам дают величины (какие угодно), а надо найти проценты. Освоим и этот нехитрый процесс.

3 человека из 120 – это сколько процентов? Не знаете? Ну, тогда, пусть это будет х процентов.

Вычислим  х% от 120 человек. В человеках. Это мы умеем. 120 делим на 100 (вычисляем 1%) и умножаем на х (вычисляем х%). Получаем 1,2х.

Осмыслим результат.

х процентов от 120 человек, это 1,2х человек. А таких человек у нас три. Остаётся приравнять:

1,2х = 3

Решаем это уравнение:

Вспоминаем, что за икс мы брали количество процентов. Значит 3 человека от 120 человек – это 2,5%.

Вот и всё.

Можно и по-другому. Обойтись простой смекалкой, безо всяких уравнений. Соображаем, во сколько раз 3 человека меньше 120? Делим 120 на 3 и получаем 40. Значит, 3 меньше 120 в 40 раз.

Искомое количество людей в процентах будет во столько же раз меньше 100%. Ведь 120 человек – это и есть 100%.  Делим 100 на 40, 100/40 = 2,5

Вот и всё. Получили 2,5%.

Посчитайте, сколько процентов составляют:
3 человека из 12.
10 рублей от 800.
4 учебника из 160 книг.
24 правильных ответа на 32 вопроса.
2 угаданных ответа на 32 вопроса.
9 попаданий из 10 выстрелов.

Ответы (в беспорядке): 75%, 25%, 90%, 1,25%, 2,5%, 6,25%.

В процессе вычислений вы вполне можете столкнуться с дробями. В том числе и неудобными, типа 1,333333… А кто вам велел калькулятором пользоваться? Сами? Не надо. Считайте без калькулятора. Вот мы и освоили переход от величин к процентам и обратно.  

 

Приложение 3

 «Проценты и семейная математика»

Цель:

— повторить и систематизировать знания по теме «Проценты»;

 — показать важность и необходимость применения математики в семье.

Вступительное слово учителя

Семья — опора и основа государства. В семье закладываются основы нравственного воспитания, культурно-духовного развития, формируются нормы поведения, раскрываются внутренний мир и индивидуальные качества личности. Семья способствует самоутверждению человека, стимулирует его социальную и творческую активность.  Девиз: «Ребенок учится тому, что видит у себя в дому. Родители — пример тому».

— Что называется процентом числа (величины)?

— Как найти p% от числа A?

— Как найти число A по p%?

— Как найти, сколько процентов число A составляет от числа B?

В это время на доске появляются четыре карточки, заготовленные заранее:

 

Фронтальная устная работа

1.  Выразите проценты в виде дроби:

1%; 5%; 70; 100%; 120%; 150%; 200%; 1020%.

2.  Выразите дроби в виде процентов:

3.  Назовите 1%: от 1 м; 1 ц; 1 кг.

4.  Назовите 5%, 17%, 23% от каждой из величин: 1 м; 1 ц; 1 кг.

 

(Запись сделана заранее на доске.)

Математический диктант

1.  Запишите проценты в виде дроби: 10%; 20%; 75%; 150%.

2.  Запишите дроби в виде процентов:

3.  Вычислите: 50% от 400; 10% от 20; 25% от 16; 75% от 8.

4.  Найдите число:

если 1% равен 3; 10% равно 40; 50% равно 250.

5.  Сколько процентов число 50 составляет от числа 200?

6.  Сколько процентов число 200 составляет от числа 50?

Ответы: 1.   2. 5%; 20%; 25%; 50%; 3. 200; 2; 4; 6.  4. 300; 400; 500.   5. 25%.  6. 400%.

 

Решение задач

1.      Определите, какая сумма лежала на вкладе «Семейный» в банке, если доход в размере 6%, начисленный на нее, составил 720 руб.?

Решение.

2.      Папа купил телевизор в кредит, уплатил первый взнос 1500 руб., остальные 75% стоимости телевизора он должен выплатить в следующие 6 месяцев равными частями. Сколько стоит телевизор? Какую сумму папа будет выплачивать каждый месяц?

Решение.

1)    — стоит телевизор;

2)    — папа будет выплачивать каждый месяц.

3.  Зарплата мамы в этом месяце увеличилась на 10% и составила 9900 руб. Какова была зарплата мамы в прошлом месяце?

Решение.  

3.      Дружная семья — мама, папа, брат и я — отправилась в магазин за покупками. Было у нас 5000 руб. 50% всей суммы потратили на обувь детям, а 40% остатка израсходовали на продукты. Сколько денег осталось?

Решение. 1)   . — стоит обувь;

2) 5000 – 2500 = 2500 руб. — осталось после покупки обуви;

3)    — стоят продукты;

4) 2500 – 1000 = 1500 руб. — осталось.

5. За хорошую учебу своего сына мама с папой решили купить ему новый компьютер. Первоначальная стоимость компьютера составляла 20 000 руб. Семье повезло дважды: воскресная скидка 5% и новогоднее предложение — скидка 10%. Определите цену товара после двух понижений: сначала на 5%, а потом на 10%.

Решение. 1)    — составляют 5%;

2) 20 000 – 1000 = 19 000 руб. — цена после первой скидки;

3)    — составляют 10%;

4) 19 000 – 1900 = 17 100 руб. — цена товара после двух понижений.

6. Семья отправилась на легковой машине в путешествие по маршруту Архангельск – Москва – Сочи. В первый день они проехали 35% всего пути, во второй — 40% всего пути, а в третий день они проехали остаток пути  — 650 км. Сколько километров составляет маршрут в одну сторону?

Решение. 1) 100 – (35 + 40) = 25% — часть пути, пройденная в третий день;

2)     — протяженность маршрута.

7. Постройте круговую диаграмму «Расходы семьи за месяц», если известно:

— что квартплата и коммунальные платежи составляют 5000 руб.;

— на питание тратится 10 000 руб.;

— на проезд в общественном транспорте расходуется 2000 руб.;

— на одежду, обувь в среднем тратится 4000 руб.;

— на прочие покупки — 3000 руб.

Каков бюджет этой семьи?

Решение. 1) 5000 + 10 000 + 2000 + 4000 + 3000 = 24 000 руб. — бюджет семьи;

2) 24 000 кратно 24; руб.;

— соответствуют 1000 руб.;

3) 5·15° = 75° — квартплата; 10·15° = 150° — питание; 2·15° = 30° — проезд; 4·15° = 60° — одежда, обувь; 3·15° = 45° — прочее.

 

Рефлексия 

 

Приложение 4

“Проценты на уроках экономики”

Цель: познакомить учащихся с понятиями “скидка”,“распродажа”, “повышение цены”, “прибыль”;отработать навыки решения основных задач на проценты.

 

Ход занятия

1. Устный счет

а) переведите в десятичную дробь проценты: 10%, 20%, 33%, 45%, 50%, 67%.

б) каким из данных процентов соответствует обыкновенная дробь ? ? ?

в) как легко найти 50% от величины? 20%?

г) приведите примеры процентов, вычисление которых можно свести к делению на 4? На 10?

д) найдите 25% от 48, 0,4, 100, ; 10% от этих же чисел.

2. Объяснение  материала

Беседа учителя с учащимися по теме “Нужны ли знания процентов при походе в магазин?”, которая выводит на термины: “скидка”, “распродажа”, “повышение цены” и др.

3. Закрепление. Решение задач.

Задача 1. Мебельный гарнитур стоил 25 000рублей. Какова будет его цена, если в связи с рождественскими праздниками, в магазине объявлена скидка на 10% на всю мебель?

Ответ: 22500 (руб.) новая цена гарнитура.

Примечание: важно обратить на возможность более рационального решения с учетом повторенного на устном счете факта, что найти10% можно, разделив заданную величину на 10.

Задача 2. Некоторый товар сначала подорожал на10%, а затем во время распродажи подешевел на 10%.Изменилась ли его цена?

Ответ: цена уменьшилась на 1%.

Задача 3. Антикварный магазин, купив два предмета за 225 тыс. руб., продал их, получив 40 % прибыли. За какую цену был куплен магазином каждый предмет, если при продаже первого предмета было получено 25% прибыли, а второго —50%?

Ответ: 90 тыс. руб.; 135 тыс. руб.

Задача 4. (для самостоятельного решения) Стоимость 70 экземпляров первого тома книги и 60 экземпляров второго тома составляла 230 тыс. руб. В действительности за все эти книги уплатили 191тыс. руб., так как была произведена скидка: на первый том -15%, а на второй том - 20 %. Найдите первоначальную цену каждого из томов.

Ответ: цена первого - 2 тыс. руб., второго - 1,5 тыс.руб.

Рефлексия: учащимся предлагается оценить занятие в листе самоконтроля

 

 

Приложение 5

“Задачи на проценты на уроках физики”

Цель:

показать учащимся практическое применение умения решать задачи на проценты на уроках физики; повторить физические законы и формулы, известные учащимся из школьного курса физики.

Ход занятия

1. Устный счет

а) найдите 10%, 20%, 50% от чисел 100; 0,1; 0,02; 104.

б) число 48 увеличьте на 50%, 100 на 10%.

в) укажите соответствие между предложениями и формулами:

1)нахождение количества, составляющего p% от А.

2)нахождение на сколько процентов А больше, чем В.

3)нахождение количества, большего чем А, на р%.

4)нахождение количества, меньшего чем А, на р%.

5)нахождение сколько процентов составляет А от В.

6)нахождение на сколько процентов А меньше, чем В.

7)нахождение каково количество, р% от которого есть А.

1) , 2) , 3) А, 4) ,

5) , 6) , 7)

г) сколько процентов 25 составляет от 100? 10 от 200?Какой из приведенных формул вы воспользовались?

д) известны ли вам задачи из курса физики, в которых используется данная формула?

2. Объяснение нового материала:

 лекция учителя о коэффициенте полезного действия, входе которой повторяется известная учащимся формула

КПД = Ап /Аз, где Ап – полная работа, а Аз – затраченная.

3. Закрепление. Решение задач.

Задача 1. (7кл.) На коротком плече рычага подвешен груз массой 100 кг. Для его подъема к длинному плечу приложили силу 250 Н. Груз подняли на высоту 0,08 м, при этом точка приложения движущей силы опустилась на высоту 0,4 м. Найти КПД рычага.

Ответ: КПД рычага 78,4 %.

Задача 2. (8 кл.) Тепловая машина с КПД 25% получает от нагревателя 800 Дж. Какую полезную работу она совершает?

Ответ: А=200 Дж.

Задача 3.

Тепловая машина получает за цикл от нагревателя 800Дж и отдает холодильнику 600 Дж. Вычислите КПД машины.

Ответ: 25%.

4.Домашнее задание

. Подобрать 1-2 задачи из учебника физики 7 класса, для решения которых необходимы знания процентов.

5. Рефлексия

(лист самоконтроля).

 

Приложение 6

 “Задачи на проценты на уроках химии”

Цель: сформировать умение работать с законом сохранения массы, ввести понятие концентрации вещества, процентного раствора.

 

Ход занятия.

Всегда выполняется “Закон сохранения объема или массы”: если два раствора (сплава) соединяют в новый раствор (сплав), то объем (масса) нового раствора (сплава) равен сумме объемов (масс) исходных растворов (сплавов).

При соединении растворов (сплавов) не учитываются химические взаимодействия их отдельных компонентов.

Учителем вводятся понятия смеси, чистого вещества, примесей, концентрации смеси (сплава).

Решение задач.

Задача 1. В 100 г 20 %-ного раствора соли добавили 300г ее 10 %-ного раствора. Определите концентрацию полученного раствора.

Ответ: 12,5%.

Задача 2. Какое количество воды надо добавить к100 г 70 %-ной уксусной эссенции, чтобы получить 5 %-ный раствор уксуса?

Ответ: 1300 г

Задача 3. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным и получили 600 грамм 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?

Решение . Пусть 30%-ного раствора взято х граммов, а 10%-ного раствора взято у граммов. Тогда х+у=600, так как первый раствор 30%-ный, то в х граммах этого раствора содержится 0,3х граммов кислоты. Аналогично в у граммах 10%-ного раствора содержится 0,1у граммов кислоты. В полученной смеси по условию задачи содержится  600*0,15=90 г кислоты, откуда следует 0,3х+0,1у=90

Составим систему и решим ее  х+у=600, 0,3х+ 0,1у =90

Ответ.150 г, 450 г.

Рефлексия (лист самооценки).

 

Приложение 7

Понятие о банковской системе. Вклады. Банковские операции. Процентная ставка.

Цель: Научить решать задачи, связанные с денежными операциями. 

 

Решение задач

Задача 1.

Банк выплачивает вкладчикам каждый год 8 % от внесённой суммы. Клиент сделал вклад в размере 200 000 р. Какая сумма будет на его счёте через 5 лет, через 10 лет?

Решение.

Используя формулу:

Sn = S0 (1 + np/100)

S5 = 200 000 (1 + 5*8/100) = 280 000 (p.)

S10 = 200 000 (1 + 10*8/100) = 360 000 (p.)

Ответ: 280 000 р.; 360 000 р.

 

Задача 2.

При какой процентной ставке вклад на сумму 500 р. возрастает за 6 месяцев до 650 р.

Решение.

500 (1 + 6р/100) = 650,

р = (650 : 500 - 1)100 : 6

р = 5

Ответ: 5 %

 

Задача2. Банк ежегодно увеличивает на одно и то же число процентов сумму, имеющуюся на вкладе к моменту начисления процентов. На сколько процентов ежегодно увеличивается сумма, если за 2 года она возросла с 2000 рублей до 2420.

Решение.

Пусть ежегодно имеющаяся на счёте сумма увеличивается на х %. В первый раз за 100 % мы должны принять сумму, имеющуюся на счёте к началу первого года, то есть 2000 рублей.

Тогда через год на счёте окажется

(2000 + (х/100)*2000) рублей, то есть (2000 + 20х) рублей.

Для расчёта процентов за второй год мы должны принять за 100 % уже сумму, имеющуюся на счёте к началу второго года, то есть (2000 + 20х) рублей. Тогда по прошествии второго года на счёте окажется:

(2000 + 20х + (х/100)*(2000 + 20х)) рублей, то есть (0,2х2 + 40х + 2000) рублей, что по условию задачи составляет 2420 рублей.

Составим и решим уравнение.

0,2х2 + 40х +2000 = 2420

0,2х2 + 40х – 420 =0

х2 + 200х – 2100 = 0

х = - 210 или х = 10.

Так как по условию задачи значения х должны быть положительными, то х = 10. Итак, ежегодно сумма вклада увеличивалась на 10 %.

Ответ: 10 %

 

Задачи для самостоятельной работы.

1. Сберкасса начисляет ежегодно 3 % от суммы вклада. Через сколько лет внесённая сумма удвоится?

2. Население города ежегодно увеличивается на 1/50  числа жителей. Через сколько лет население утроится?

3. В начале года в сберкассу на книжку было внесено 1640 р., а в конце года было взято обратно 882 р. Ещё через год на книжке снова оказалось 882р. Сколько процентов начисляет сбербанк в год?

4. В двух залах кинотеатра было 640 мест для зрителей. После  замены кресел число мест в первом зале увеличилось на 20 %, во втором – на 15 %. Сколько новых кресел установили в первом зале, если общее количество мест в двух залах увеличилось на 180?

5. Две картины общей стоимостью 30 000 рублей на аукционе с прибылью в 40 %, причём от продажи одной  картины было получено 25 % прибыли, а от другой – 50 %. Найдите стоимость более дорогой картины. 

 

Приложение 8

Задачи на сплавы и смеси

Цель: Научить решать задачи на сплавы и смеси, находить процентное содержание веществ.

 

Задача 1.

Сплавили 300 г. сплава олова и меди, содержащего 60 % олова, и 900 г. сплава олова и меди, содержащего 80 % олова. Сколько процентов олова в получившемся сплаве?

Решение.

Масса олова в первом сплаве равна 0, 6*300г=180г, во втором- 0,8* 900г=720г

Тогда масса олова в новом сплаве

180г+ 720г =900г

масса нового сплава равна

300г + 900г. = 1200г

процентное содержание олова в нем равно

900г / 1200г *100%= 75%

Ответ: 75%.

 

Задача 2.

В смеси спирта и воды спирта в 4 раза меньше, чем воды. Когда к этой смеси добавили 20 л воды, получили смесь с содержанием спирта 12 %. Сколько воды было в смеси первоначально?

Решение.

Пусть в смеси было x л спирта, тогда объем воды в ней 4x л.

В новой смеси количество спирта осталось прежним (x л.), объем воды в ней (4x + 20 ) л, объем смеси равен ( x + 4x +20 )л, процентное содержание спирта x / ( 5x + 20) * 100%, что по условию задачи составляет 12%. Получим и решим уравнение:

100x/ 5x +20 =12

100x = 12 ( 5 x + 20 )$

x = 6

Итак, первоначально в смеси было 6 л спирта и 24 л воды.

 

Задания для самостоятельной работы

1. Сплавили 2 кг. сплава цинка и меди, содержащего 20 % цинка и 6 кг. сплава цинка и меди, содержащего 40 % цинка. Найдите процентную концентрацию меди в получившемся сплаве.

2. Смешали 300 г. 60 % - го раствора серной кислоты и 200 г. 80 % - го раствора серной кислоты. Сколько процентов серной кислоты в получившемся растворе?

3. Имеется два сплава. Один содержит 2,8 кг. золота и 1,2 кг. примесей, другой – 2,7 кг. золота и 0,3 кг. примесей. Отрезав по куску от каждого сплава и сплавив их, получили 2 кг. сплава с содержанием золота 85 %. Сколько килограммов металла отрезали от второго сплава?

 

Приложение 9

Бюджет. Зарплата.

Цель: Научить решать задачи на вычисление заработанной платы, с учетом налога.

Задача 1.

При приёме на работу директор предприятия предлагает зарплату 4200 р. Какую сумму получит рабочий после удержания налога на доходы физических лиц?

Решение.

1) (4200 - 400)*0,13 = 494 р. – налог

2) 4200 – 494 = 3706 р.

Замечание. При начислении налога на доходы физических лиц нужно учитывать стандартный вычет 400 р., налог 13 % берётся от оставшейся суммы.

Ответ:3706 р.

 

Задача 2. (Штрафы.)

Занятие ребёнка в музыкальной школе родители оплачивают в сбербанке, внося ежемесячно 250 р. Оплата должна производиться до 15 числа каждого месяца, после чего за каждый просроченный день начисляется пеня в размере 4 % от суммы оплаты занятий за один месяц. Сколько придётся заплатить родителям если они просрочат оплату на неделю?

Решение.

Так как 4 % от 250 р. составляют 10 р., то за каждый просроченный день сумма оплаты будет увеличиваться на 10 р. Если родители просрочат оплату на один день, то им придётся заплатить

250 + 10 = 260 (р.),

на неделю 250 + 10*7 = 320 (р.)

Ответ: 320 р.

 

Задания для самостоятельной работы

1. Заработные платы рабочего  за январь и февраль относятся,  как 9:8, за февраль и март, как 6:8. За март он  получил на 450 рублей больше, чем за январь

 

Приложение 10

Задачи с историческими сюжетами

1. Один небогатый римлянин взял в долг у заимодавца 50 сестерциев. Заимодавец поставил условие: «Ты вернёшь мне в установленный срок 50 сестерциев и ещё 20 % от этой суммы». Сколько сестерциев должен отдать небогатый римлянин заимодавцу, возвращая долг?

Ответ: 60 сестерциев.

 

2. Некий человек взял в долг у ростовщика 100 рублей. Между ними было заключено соглашение о том, что должник обязан вернуть деньги ровно через год, доплатив ещё 80 % суммы долга, но через 6 месяцев должник решил вернуть долг. Сколько рублей он вернёт ростовщику?

Ответ: 140 рублей.

 

Задачи с литературными сюжетами

Различные истории, связанные с процентными вычислениями, встречаются в ряде художественных произведений, в исторических документах и преданиях.

1. В романе М.Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлёвы» есть такой эпизод: «Порфирий Владимирович сидит у себя в кабинете, исписывая цифирными выкладками листы бумаги. На этот Раз его занимает вопрос: «Сколько было бы теперь у него денег, если бы маменька Арина Петровна подаренные ему при рождении дедушкой на зубок 100 рублей ассигнациями не присвоила бы себе, а положила бы в ломбард на имя малолетнего Порфирия? Выходит, однако, немного: всего 800 рублей ассигнациями». (Предположить, что Порфирию Владимировичу в момент счёта было 53 года.)

Сколько процентов в год платил ломбард?

Ответ: 4 %.

 

2. В романе М.Е. Салтыкова-Щедрина «Господа Головлёвы» сын Порфирия Владимировича Петя проиграл в карты казённые 3000 рублей и попросил у бабушки эти деньги взаймы. Он говорил: «Я бы хороший процент дал. Пять процентов в месяц». Подсчитайте, сколько денег готов вернуть Петя через год, согласись бабушка на его условия.

Ответ: 4800 рублей.

 

Приложение 11

Задачи,  предложенные на ЕГЭ и ГИА

В ЕГЭ  и ГИА задачи на проценты очень популярны. От самых простых до сложных. В простых задачах, как правило, нужно перейти от процентов к тем величинам, о которых идёт речь в задаче к рублям, килограммам, секундам, метрам, и так далее. Или наоборот.  После этого задача становится понятной и легко решается.

 

1. Билет на автобус стоит 15 рублей. Какое максимальное число билетов можно будет купить на 60 рублей после повышения цены билета на 40%?

Решение.

После повышения стоимости на 40% 1 билет станет стоить 15*1,4=21 рубль. На 60 рублей можно будет купить 2 билета (3 билета стоят уже 3*21=63 рубля, то есть 60 рублей не хватит для покупки 3 билетов).

Ответ. 2 билета.

 

2. Продавец закупает на базе мониторы по цене 6000 рублей за штуку. При выставлении в торговый зал продавец делает наценку10%. Сколько рублей  стоит один монитор в сезон распродаж, когда цена на все товары снижается на 20%?

Решение Монитор с наценкой стоит 6000*1,1=6600, значит, в сезон распродаж он будет стоить 6600*0,8=5280 рублей.

Ответ. 5280 рублей.

 

3.  В бидон налили 3 литра молока однопроцентной жирности и 7 литров молока шести-процентной жирности. Какова жирность полученного молока (в процентах)?

Решение

При решении этой задачи можно воспользоваться формулой

n   = mвещества/mраствора

n конец = (3*0,01 + 7*0,06)/10 = (0,03 + 0,42)/10 = 0,45/10 = 0,045

0,045*100% = 4,5

Значит, жирность полученного молока – 4,5 %

Ответ: 4,5 %.

 

4.  При покупке ребёнку новых лыж с ботинками родителям пришлось заплатить на 35 % больше, чем два года назад, причём лыжи подорожали с тех пор на 20 %, а ботинки – на 70 %. Сколько процентов от стоимости лыж с ботинками составляла два года назад стоимость лыж?

Решение

1,2х + 1,7у = 1,35 (х + у), где х р. – стоили лыжи два года назад;

ур. – стоили ботинки два года назад.

у = (3/7)х

х/(х + у) = х/(х + (3/7)х) = 7/10

Ответ: 70 %

 

5.  Во время сезонных распродаж цена товара ежедневно снижалась на 10% по сравнению с ценой в предыдущий день. В первый день распродажи цена куртки была 3000 рублей. Определите, сколько раз снижалась цена куртки, если она была продана по цене на 813 рублей меньше первоначальной?

Решение.

3000(1-0,1)х =2187

0,9х=2187⁄3000=729/100

(9/10)х = (9/10)3

Х=3

Ответ: цена снижалась три раза.

 

6.  «Проезд на автобусе стоит 14 рублей. В дни школьных каникул для учащихся ввели скидку 25%. Сколько стоит проезд на автобусе в дни школьных каникул?»

Как решать? Если мы узнаем, сколько 25% в рублях – то и решать-то нечего. Отнимем скидку от исходной цены – и все дела!

Но мы уже умеем это узнавать! Сколько будет один процент от 14 рублей? Одна сотая часть. То есть 14/100 = 0,14 рубля. А таких процентов у нас 25. Вот и умножим 0,14 рубля на 25. Получим 3,5 рублей. Вот и всё. Величину скидки в рублях мы установили, остаётся узнать новую стоимость проезда:

14 – 3,5 = 10,5.

Десять с половиной рублей. Это ответ.

Как только от процентов перешли к рублям, всё стало просто и понятно. Это общий подход к решению задач на проценты.

Понятное дело, не все задачи одинаково элементарны. Есть и посложнее. Нам даны какие-то величины, а найти надо проценты. Например, такая задача:

 

7.  «Раньше Вася решал правильно две задачи на проценты из двадцати. После изучения темы на одном полезном сайте, Вася стал решать правильно 16 задач из 20. На сколько процентов поумнел Вася? За стопроцентный ум считаем 20 решённых задач».

Раз вопрос про проценты (а не рубли, килограммы, секунды и т.д.), то и переходим к процентам. Узнаем, сколько процентов Вася решал до поумнения, сколько процентов после – и дело в шляпе!

Считаем. Две задачки из 20 – это сколько процентов? 2 меньше 20 в 10 раз, правильно? Значит, количество задачек в процентах будет в 10 раз меньше, чем 100%. То есть 100/10 = 10.

10%. Да, немного решал Вася… На ЕГЭ делать нечего. Но вот он поумнел, и решает 16 задач из 20. Считаем, сколько это будет процентов? Во сколько раз

16 меньше 20? Навскидку и не скажешь… Придётся делить.

В 5/4 раза. Ну а теперь делим 100 на 5/4:

Вот. 80% это уже солидно. А главное – не предел!

Но это ещё не ответ! Читаем задачу снова, чтобы не ошибиться на ровном месте. Да, нас спрашивают, на сколько процентов поумнел Вася? Ну, это просто. 80% - 10%  = 70%.  На 70%.

70% - это правильный ответ.

Как видите, в простых задачках достаточно перевести заданные величины в проценты, или заданные проценты – в величины, как всё и проясняется. Ясное дело, что в задачке вполне могут быть и  дополнительные навороты. Которые, часто, к процентам отношения и не имеют вовсе.

Но есть в задачах на проценты одна серьёзная засада! Многие в неё попадают, да… Выглядит эта засада вполне невинно. Например, вот такая задачка.

 

8.  «Красивая тетрадка летом стоила 40 рублей. Перед началом учебного года, продавец поднял цену на 25%. Однако, тетрадки стали покупать так плохо, что он снизил цену на 10%. Всё равно не берут! Пришлось ему снизить цену ещё на 15%. Вот тут торговля пошла! Какова была окончательная цена тетрадки?»

Ну, как? Элементарно?

Если вы стремительно и радостно дали ответ  «40 рублей!», то вы попали в засаду…

Фокус в том, что проценты всегда считаются от чего-то.

Вот и считаем. На сколько рублей продавец взвинтил цену? 25% от 40 рублей - это 10 рублей. То есть, подорожавшая тетрадка стала стоить 50 рублей. Это понятно, да?

А теперь нам надо сбросить цену на 10% от 50 рублей. От 50, а не 40! 10% от 50 рублей – это 5 рублей. Следовательно, после первого удешевления тетрадь стала стоить 45 рублей.

Считаем второе удешевление. 15% от 45 рублей (от 45, а не 40, или 50!) – это 6,75 рубля. Стало быть, окончательная цена тетрадки:

 45 – 6,75 = 38,25 рубля.

Как видите, засада заключается в том, что проценты считаются каждый раз от новой цены. От последней. Так бывает практически всегда. Если в задаче на последовательное повышение-понижение величины открытым текстом не сказано, от чего считать проценты, надо считать их от последнего значения. И то, правда. Продавец откуда знает, сколько раз эта тетрадка дорожала-дешевела до него и сколько она стоила в самом начале…

Кстати, теперь вы можете подумать, зачем в задачке про умного Васю написана последняя фраза? Вот эта: «За стопроцентный ум считаем 20 решённых задач»? Вроде и так всё ясно… Э-э-э… Как сказать. Если этой фразы не будет, Вася вполне может посчитать за 100% свои начальные успехи. То есть две решённые задачки. А 16 задач – в восемь раз больше. Т.е. 800% ! Вася сможет вполне оправданно говорить о собственном поумнении аж на 700%!

А ещё можно и 16 задач взять за 100%. И получить новый ответ. Тоже правильный…

Отсюда вывод: самое главное в задачах на проценты – чётко определить, от чего надо считать тот или иной процент.

Это, кстати, и в жизни надо. Там, где проценты используются. В магазинах, банках, на акциях всяких. А то ждёшь 70% скидки, а получаешь 7%. И не скидки, а удорожания… 

 

Задачи для самостоятельной работы

1. «В олимпиаде по математике принимали участие 50 человек. 68% учеников решили мало задач. 75% оставшихся решили средне, а остальные – много задач. Сколько человек решило много задач?»

Подсказка. Если у вас получаются дробные ученики – это неправильно.  Читайте внимательно задачу, есть там одно важное слово.

2. «Вася очень любит пончики с повидлом. Которые пекут в булочной, через одну остановку от дома. Стоят пончики по 15 рублей за штуку. Имея в наличии 43 рубля, Вася поехал в булочную на автобусе за 13 рублей.  А в булочной шла акция «Скидка на всё – 30%!!!». Вопрос: сколько дополнительных пончиков не смог купить Вася из-за своей лени (мог бы и пешком прогуляться, правда?)»

 

3. Короткие задачки.

1.      Найти 20% от 50%.

2.      На сколько процентов 5 больше 4?

3.      На сколько процентов 4 меньше 5?

Ну вот, представление о процентах в математике вы получили. Отметим самое важное.

 

Практические советы:

1. В задачах на проценты – переходим от процентов к конкретным величинам. Или, если надо – от конкретных величин к процентам. Внимательно читаем задачу!

2. Очень тщательно изучаем, от чего нужно считать проценты. Если об этом не сказано прямым текстом, то обязательно подразумевается. При последовательном изменении величины, проценты подразумеваются от последнего значения.

3. Закончив решать задачу, читаем её ещё раз. Вполне возможно, вы нашли промежуточный ответ, а не окончательный