Формирование навыков решения текстовых задач с помощью моделирования

МБОУ СОШ №38 им. В.М. Дегоева г. Владикавказ

Формирование навыков решения текстовых задач
с помощью моделирования

Тотикова Лена Сосламбековна, учитель математики высшей категории

МБОУ СОШ №38 им. В.М. Дегоева

Владикавказ

2021

Содержание

Аннотация

Одна из главных задач школы состоит в том, чтобы привить учащимся умения, позволяющие им активно включаться в творческую, исследовательскую деятельность, содействовать формированию и развитию исследовательских навыков и умений у учащихся. Умение решать текстовые задачи, была и будет одна из серьёзных проблем у учащихся школы. Анализируя методическую литературу, знакомясь с опытом работы других учителей по этой теме, используя свой опыт работы, определила, что решение большого количества однотипных задач способствует умению решать, но не приводит к формированию умения анализировать и решать задачи всех видов.

В данной статье рассказывается о том, что такое моделирование, как использовать его при решении текстовых задач, какие виды моделирования существуют. Приводятся примеры решения различных текстовых задач с использованием моделирования. Дается несколько методических рекомендаций из опыта педагога.

Слово о педагоге

Информационная справка

Тотикова Лена Сосламбековна

МБОУ СОШ №38 им. В.М. Дегоева, с 15 августа 1974 года, учитель математики высшей категории

Стаж работы - 45 лет

Образование высшее (СОГУ, 1974 г., Математик. Преподаватель математики)

Звание: Заслуженный учитель РСО-Алания

Лена Сосламбековна трудолюбива, ответственно подходит к делу, отлично владеет предметом и методикой преподавания.

Она создает рациональную и взаимосвязанную систему изучения, обобщения, проверки знаний и умений. На уроках чередуются индивидуальные и коллективные формы деятельности учащихся, что позволяет успешно развивать индивидуальные способности школьников. Уроки учитель проводит согласно ФГОС.

Учебный процесс Лена Сосламбековна строит, в первую очередь, в соответствии с требованиями Концепции модернизации образования, а также с программой развития школы, которая базируется на идее реализации личностно-ориентированного подхода к образовательному процессу.

В области организации учебной деятельности Лена Сосламбековна проявляет высокий уровень компетентности: умеет создать рабочую атмосферу на уроке, поддержать дисциплину учащихся, используя наглядность, интересные факты, эксперимент, связывает содержание нового материала с жизнью, уделяет внимание практической направленности в преподавании предмета.

Учащиеся Лены Сосламбековны активно принимают участие в школьных, городских и республиканских олимпиадах, становятся призерами и победителями.

Челъдиева Н.Н., старший преподаватель

Кафедры ПЕМЦ СОРИПКРО

Формирование навыков решения текстовых задач с помощью
моделирования

Условия возникновения, становления опыта. В нашей школе работа в классах осложняется тем, что они переполнены, и сосредоточить всех учащихся на работе зачастую очень и очень сложно. Кроме того, мотивация к овладению знаниями со стороны семьи очень слаба. Вся тяжесть создания условий для успешного овладения знаниями ложится, в основном, на учителя. Таким образом, учитель должен создать условия для овладения учеником образовательной программы, подобрать такие приемы и методы работы, чтобы ребенку был интересен не только результат, но и сам процесс обучения.

Актуальность опыта. В формировании многих качеств, необходимых успешному современному человеку, может большую роль сыграть школьная дисциплина - математика. Перед преподаванием математики в школе кроме общих целей обучения стоят еще свои специфические цели, определяемые особенностями математической науки с ее многочисленными и многогранными приложениями. Одна из них - это формирование и развитие математических способностей школьников, подготавливает их к творческой деятельности вообще. И именно решать текстовые задачи является ключевым фактором в достижении этих целей. Ведь задачи способствуют развитию логического мышления, речи. Текстовая задача - есть описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие и отсутствие некоторого отношения между его компонентами или определить вид этого описания. Составные части задачи:

Условие - то, что известно в задаче.

Вопрос - то, что требуется узнать в задаче.

Решение - выполнение действий.

Ответ - результат полученных действий.

Теоретическое обоснование опыта. Данная тема интересна, потому что она позволяет находить новые неординарные подходы к решению задач, ведь многие текстовые задачи очень трудно решить аналитическим путем. Научившись решать задачи различными способами, учащиеся смогут применять их не только на уроках и олимпиадах, но и в изучении других предметов. Помимо всего перечисленного текстовые задачи встречаются и на ОГЭ и ЕГЭ, поэтому задача учителя и учащихся подготовиться к их решению.

Ведущей целью данного педагогического опыта является научить учащихся решать текстовые задачи, а также применять моделирование, чтобы понять задачу, то есть уяснить, что в ней известно, что нужно узнать, как связаны между собой данные, каковы отношения между данными и искомыми параметрами.

Технология опыта. Решение задач — практическое искусство. Научиться ему можно лишь подражая лучшим образцам и постоянно практикуясь. В ходе подобной практики могут выработаться и свои подходы к решению задач. Но надо помнить, что научиться решать задачи можно только решая их! Учащиеся часто не умеют выделить искомые и данные, установить связь между величинами, входящими в задачу, составить план решения, выполнить проверку полученного результата. Необоснованно много внимания и неоправданных затрат времени идет на оформление краткой записи и решения задачи. При этом основное внимание направлено на реализацию единственно цели - получение ответа на вопрос задачи. Все это отрицательно сказывается на формировании общих умений решать задачу, а не оказывают необходимое влияние на развитие мышления учащихся. Так же после того как задача решена, получен ответ, не следует торопиться приступать к выполнению другого задания. Надо подумать, попробовать найти другой способ решения задачи, осмыслить его, попытаться обратить внимание на предыдущий способ, на трудности при поиске решения задачи, выявить новую и полезную для учащихся информацию. Поиск различных способов решения задачи - один из эффективных приемов, позволяющих глубже раскрыть взаимосвязь между величинами, входящими в задачу, и один из способов проверки решения задачи. Поэтому целесообразно направить деятельность учащихся на поиск решения, их сравнения и выбор рационального. Все это, несомненно, окажет положительное влияние на развитие мышления учащихся и умения решать задачи. Однако большую помощь для более глубокого осмысления взаимосвязей между величинами, входящими в задачу, окажет постановка продуманных вопросов и поиск ответов на них.

Каковы же причины, определяющие недостаточный уровень у учащихся умений решать задачи? Здесь можно выделить следующее:

Первая заключается в методике обучения, которая в данное время ориентировала учащихся не на формирование у учащихся обобщенных умений, а на “разучивание” способов решения задач определенных видов.

Вторая причина кроется в том, что учащиеся объективно отличаются друг от друга характером умственной деятельности, осуществляемой при решении задач.

На уроке учитель должен выбрать вариант организации и содержания решения задачи, а ученики должны выбрать способы решения задач.

Умение решать задачи — показатель математического развития учащихся, их логического мышления. Ученикам нравится решать то, что у них получается, то, что поддаётся алгоритмизации. А текстовые задачи настолько разнообразны, что порой трудно увидеть в предлагаемой задаче уже знакомую. Чтобы научить решать задачи надо сформировать умение выявлять их математическую суть. Этому помогает моделирование условия задачи. Таким образом, научить решать задачи — это значит научить моделированию условия задачи и переводу его с языка русского на язык математический.

В работе над задачами я уделяю большое внимание построению схематических и символических моделей, а также умению школьников работать с таблицами, отрезками, графически моделировать с их помощью текстовую задачу, ставить вопрос, определять алгоритм решения и поиска ответа. Китайская пословица гласит:

Услышал - забыл.

Увидел - запомнил.

Сделал - понял.

Моделирование помогает вооружить ребёнка такими приёмами, которые позволяют ему при самостоятельной работе над задачей быть активным, успешным, не бояться трудностей. Каждый, не сравнивая себя с другими, выбирает собственный путь рассуждения, моделирования и, следовательно, решения задач.

Вспомогательная модель.

. Рисунок. Он должен изображать реальные предметы (кубики, платки, яблоки и т. д.), о которых говорится в задаче, или условные предметы в виде геометрических фигур. Знакомство с этой моделью надо начинать уже в 1 классе Во-первых, рисование- любимый вид деятельности малышей, во- вторых, приём хорош для развития моторики рук, в-третьих, рисование является развивающим упражнением.

.Краткая запись. Краткая запись - представление в лаконичной форме содержание задачи, выполненное с помощью опорных слов. Удачное введение краткой записи параллельно с рисунком.

.Таблица. Наиболее удачно применение таблицы при решении задач на тройку пропорциональных величин: цена - количество - стоимость; расход на 1 шт,- количество штук - общий расход; масса - количество - общая масса; скорость - время - расстояние; и т. д.

Построение таблицы на этапе анализа значительно облегчает поиск плана решения. Работа с таблицей направлена на формирование умения вести анализ задачи, сравнивать величины.

.Чертёж. Чертёж даёт возможность учащимся представить и осознать заданную ситуацию, что, в свою очередь, помогает понять и закончить решение. Применяю тогда, когда числовые данные в задаче удобные, позволяющие начертить отрезок заданной длины.

.Схема. Рассуждая «от данных к вопросу», получим схему, которую называют моделью поиска решений данной задачи. Рассуждая «от вопроса к данным (блок-схема) модель будет иметь другой вид. Схема - это чертёж, на котором все взаимосвязи и взаимоотношения величин передаются приблизительно, без соблюдения масштаба, Подбор задач позволяет применять эту модель на материале обратных задач, при решении задач разными способами. Составления модели к задаче недостаточно. Следует включать и обратные задания, а именно: составление текстов задач по модели. Учащиеся могут работать за партой и у доски, используя набор цифр.

Продолжительность работы по теме моего опыта составляет 4,5 года и охватывает период с 5 по 9 класс.

Работа по теме опыта проводилась и проводится не только на уроках, но и на факультативных занятиях, где можно обобщить знания учащихся за весь период обучения решению текстовых задач. В частности на факультативных занятиях по подготовке к ОГЭ в 9 классе мною проводилась следующая работа. Учащимся раздавались карточки с условием задач, которые разбирались и решались сообща. Прежде чем приступить к решению, я давала детям 1-2 минуты на прочтение и анализ условия. При этом, в зависимости от задачи, я старалась получить от учащихся разные способы решения. После мы вместе старались придумать новую задачу, которая бы решалась точно так же. Ниже приведены некоторые задачи.

Задача 1. Два мотоциклиста стартуют одновременно в одном направлении из двух диаметрально противоположных точек круговой трассы, длина которой равна 18 км. Через сколько минут мотоциклисты поравняются в первый раз, если скорость одного из них на 25 км/ч больше скорости другого?

Таблица

Решение. Пусть х км/ч - скорость первого мотоциклиста, тогда скорость 2-го мотоциклиста (х + 25) км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через t часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый (то есть второй ) должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины всей трассы ( тж. мотоциклисты расположены в диаметрально противоположных точках)

(х + 25 )t - xt = 9 tx + 251 - tx = 9 25t = 9

t = 21,6 (минут)

Ответ: 21,6 минут.

Задача 2. Из 21 кг хлопкового семени получили 5,1 кг масла. Сколько масла получили из 7 кг хлопкового семени?

Решение. Краткое условие задачи позволяет увидеть, какие отношения равны. В данном случае, возможно, привести такую краткую запись:

21 кг семян - 7 кг семян 5,1 кг масла - х кг масла

Пусть из 7 кг хлопкового семени получится х кг масла. Тогда массу семян (кг), необходимую для получения одного килограмма масла, можно найти двумя способами: разделить 21 на 5,1 или разделить 7 на х .

Приравняв данные выражения, получим пропорцию 21:5,1=7:х, отсюда х=1,7 кг . Значит, из 7 кг хлопкового семени получится 1,7 кг масла.

Ответ: 1,7 кг.

Задача 3. Шестеро рабочих выполнят некоторое задание на 4 дня раньше, чем четверо. За сколько дней выполнят задание шестеро рабочих?

Решение. Составим краткую запись условия задачи:

Составим уравнение: = , или , Зх=2(х+4) отсюда х=8. Итак, шестеро рабочих выполнят задание за 8 дней. Ответ: 8 дней.

Задача 4. В классе из 40 учащихся 32 правильно решили задачу. Сколько процентов учащихся правильно решили задачу?

Решение.

40 учащихся - 100%

32 учащихся - ?%

1 способ. Найдем, сколько учащихся составляет 1%:

1) 40:100=0,4 - составляет 1% учащихся.

2) 32:0,4=80.

Значит, 32 ученика составляют 80%.

Ответ: 80 процентов.

2 способ. Введем переменную и составим уравнение.

Пусть х процентов учащихся правильно решили задачу. Один процент учащихся составляет 40:100=0,4, а х процентов составляет 0,4х учащихся.

Таким образом, 0,4х=32; х=32:0,4 ; х=80.

Ответ: 80%.

Задача 5. Сплавлено два слитка, содержание золота в которых 64% и 84% соответственно. Полученный сплав весит 50 г и содержит 76% золота. Сколько весил каждый из сплавленных слитков?

Решение. Пусть х г - весит первый слиток, у г - второй. Тогда золота в первом слитке будет 0,64х (г), во втором 0,84у (г). Количество золота в сплаве (г). Следовательно, из условия задачи имеем систему

уравнений:

х+у=50

0,64х+0,84у=38

Решив данную систему, найдем , х=20, у=30 . Таким образом, первый слиток весил 20 г, второй слиток - 30 г.

Ответ: 20 г и 30 г.

Задача 6. Если бы школьник купил 11 тетрадей, то у него осталось бы 5 рублей, а на 15 тетрадей у него не хватало бы 7 рублей. Сколько денег было у школьника?

Решение. Чтобы учащиеся лучше представили условие задачи, можно задать несколько наводящих вопросов. Сколько ситуаций рассматривается в данной задаче? Что собой представляет каждая из ситуаций?

Пусть стоимость тетрадей х рублей, тогда:

1) 11х+5=15х-7

4х=12

х=3

Значит, одна тетрадь стоила 3 рубля.

Найдем, сколько рублей школьник потратил на И тетрадей: 11*3=33 (т); У школьника еще осталось 5 рублей, значит: 33+5=38 (руб).

Ответ: 38 рублей.

Задача 7. Из пункта А в пункт В со скоростью 80 км/ч выехал первый автомобиль, а через некоторое время с постоянной скоростью - второй. После остановки на 20 мин в пункте В второй автомобиль поехал с той же скоростью назад. Через 48 км он встретил первый автомобиль, шедший навстречу, и был на расстоянии 120 км от В в тот момент, когда в пункт В прибыл первый автомобиль. Найдите расстояние от А до места первой встречи автомобилей, если АВ=480 км.

Решение. Обозначим расстояние от А до места первой встречи автомобилей - s км, а скорость второго автомобиля - vкм/ч, увидим, что 72 км (120-48=72) второй автомобиль пройдет за то же время, которое понадобится первому автомобилю, чтобы преодолеть 48 км. Следовательно, = , откуда v=120 (км/ч). От места первой встречи до пункта В первому автомобилю останется пройти (480-s) км со скоростью 80 км/ч. На это он затратил Ч

За это же время второй автомобиль прошел от места первой встречи (от места обгона) до пункта В, потратил ч на стоянку в пункт В и еще ч на то, чтобы отъехать от В на 120 км.

Таким образом, составим уравнение = + +

Из него, зная, что v=120, находим s=l 60 (км).

Итак, расстояние от А до места первой встречи автомобилей составляет 160 км.

Ответ: 160 км.

Задача 8. На изготовление 21 детали первый рабочий затрачивает на 4 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 35 таких же деталей. Известно, что первый рабочий за час делает на 2 детали больше, чем второй. Сколько деталей в час делает второй рабочий?

Решение. Введем переменную.

Пусть х деталей в час делает второй рабочий.

Cоставим и решим уравнение: - = 4

= 0.

=0 x≠0 и x≠

2х2 - Зх — 35 = О

D=289, х1= 5 х2 = — 3,5 ( не удовлетворяет условию задачи). Следовательно, второй рабочий делает 5 дет/ч.

Ответ:5 дет/ч.

Задача 9. Вася и Петя поделили между собой 39 орехов. Число орехов, доставшихся любому из них, меньше удвоенного числа орехов, доставшихся другому. Квадрат трети числа орехов, доставшихся Пете, меньше числа орехов, доставшихся Васе. Сколько орехов у каждого?

Решение. Пусть х - количество орехов, доставшихся Васе, а у - количество орехов, доставшихся Пете. Исходя из условия задачи, составим систему из одного уравнения и трех неравенств:

x+y = 39

x˂ 2y

y˂2x

˂ x

Сложность данной задачи в решении самой системы. При этом согласно условиям задачи, х и у - целые положительные числа.

Из уравнения найдем х = 39 — у. Относительно у имеем систему из трёх неравенств:

39 — у <2у

< у< 78 - 2у

< 39-у

Из первых двух неравенств находим у > 13, у < 26. Последнее неравенство перепишем в виде у2 + 9у — 351 < 0.

Можно, конечно, решить это неравенство, но можно поступить иначе. Так как у- целое положительное, то при у = 14 будем иметь 142 + 9 * 14 — 351 = —29 < 0, а при у = 15 будет , 152 + 9 * 15 — 351 = 9 > 0 то , у< 14, у — 14, х — 25. Итак, 25 орехов досталось Васе и 14 орехов досталось Пете. Ответ: 25 и 14 орехов.

После выполнения решения данных задач, я дала самостоятельную работу на 20 мин.

Вариант 1.

Из пункта М в пункт N велосипедист ехал по шоссе со скоростью 16 км/ч, а возвращался он со скоростью 12 км/ч по проселочной дороге, которая была на 6 км длиннее. Сколько километров проехал велосипедист по шоссе и сколько по проселочной дороге, если на весь путь он затратил 4 ч?

Через 3 дня после того, как Пётр начал читать книгу, эту же книгу начал читать Алексей. Закончили чтение они одновременно. Пётр прочитывал по 10 страниц в день, а Алексей - по 16 страниц в день. Сколько страниц в книге?

В магазине находилось два мешка с рисом одинаковой массы и один мешок с пшеном. Масса всех трёх мешков составляла!60 кг. После того как из каждого мешка с рисом продали 20% риса, а из мешка с пшеном 25% пшена, масса крупы в мешках составила!25 кг. Сколько килограммов риса и пшена было в каждом мешке первоначально?

Вариант 2.

Лыжная трасса состоит из подъема и спуска, причем подъем на 8 км короче спуска. Лыжник, двигаясь на спуске со скоростью 18 км/ч, а на 59 подъеме - со скоростью 8 км/ч, затратил на подъем на 15 мин больше, чем на спуск. Найдите длину каждого участка трассы.

Два студента взялись набирать рукопись, разделив ее между собой на две равные части. Через 4 дня после того, как первый начал работу, к работе приступил второй. Закончили они работу одновременно. Первый студент набирал по 254 страницы в день, а второй - по 40 страниц. Сколько дней работал каждый студент и сколько страниц они набрали вместе?

За 8 дней работы на первом станке и 5 дней работы на втором было изготовлено 235 деталей. В результате усовершенствования производительность первого станка возросла на 15%, а второго на 20%. Теперь за два дня работы на первом станке и 3 дня работы на втором можно изготовить 100 деталей. Сколько деталей в день изготовляли раньше на каждом станке?

90% учащихся справились с данной работой на «5» и «4».

Итак, использование моделирования имеет:

образовательное значение: моделирование помогает усвоить многие вопросы теории;

воспитательное значение: способствует развитию памяти, внимания, наблюдательности;

- практическое значение: быстрота и правильность вычислений.

В теории и практике моделирование выступает как особая целенаправленная деятельность, активизирующая учебный процесс. Использование моделирования в процессе обучения математике, на мой взгляд, помогает формировать у учащихся умение решать текстовые задачи, активизирует мыслительную деятельность младших школьников и развивает логическое мышление.

Предлагаю учителям чаще и разнообразнее использовать возможности моделирования при обучении учащихся математике.

В целом полученные результаты дают основание предположить, что опыт моей работы по моделированию текстовых задач на уроках математики имеет практическую значимость для повышения качества образовательного процесса.

Литература

Учебники, монографии, брошюры

Дорофеев, Г.В. Алгебра. 7 класс [Текст]: учеб. для общеобразовательных организаций / [Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.] - 2-е изд. - М.: Просвещение, 2014.

Дорофеев, Г.В. Алгебра. 8 класс [Текст]: учеб. для общеобразовательных организаций / [Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.] - 3-е изд. - М.: Просвещение, 2016.

Дорофеев, Г.В. Алгебра. 9 класс [Текст]: учеб. для общеобразовательных организаций / [Г.В. Дорофеев, С.Б. Суворова, Е.А. Бунимович и др.]; под ред. Г.В. Дорофеева; Рос. академ, наук, Рос. академ, образования, изд-во «Просвещение». - 5-е изд. - М.: Просвещение, 2010.

Левитас, Г.Г. Об алгебраическом решении текстовых задач/ Г.Г. Левитас // Математика в школе. - 2000. - № 8.

Муравин, Г.К. Алгебра 7 кл. [Текст]: учеб, для общеобразоват. учреждений / Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина. - 9-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2013.

Муравин, Г.К. Алгебра 8 кл. [Текст]: учеб, для общеобразоват. учреждений / Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина. - 15-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2013.

Муравин, Г.К. Алгебра 9 кл. [Текст]: учебник / Г.К. Муравин, К.С. Муравин, О.В. Муравина. - 14-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2014.

Муравин, Г.К. Математика. 5 кл. [Текст]: учебник / Г.К. Муравин, О.В. Муравина. - 3-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2014.

Муравин, Г.К. Математика. 6 кл. [Текст]: учебник / Г.К. Муравин, О.В. Муравина. - 2-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2014.

Сафонова, Л.А. О действиях, составляющих умение решать текстовые задачи / Л.А. Сафонова // Математика в школе. - 2000. - № 8.

Фридман, Л.М., Теоретические основы методики обучения математике [Текст]: Учебное пособие / Л.М. Фридман. - Изд. 3-е. - М.: Книжный дом «ЛИБРОКОМ», 2009.

Электронные ресурсы

Аминова, З.А. Методические особенности решения текстовых задач по математике [Электронный ресурс] / З.А. Аминова // Вестник Череповецкого государственного университета. - 2012. - №4 (43) Режим

flocTyna:http://elibrary.ru/download/elibrary_l 8844917_66176888.pdf - (дата обращения: 7.12.2019)

Ермольчик, И.В., Левчук, З.К. Математическое моделирование как условие развития логического мышления учащихся [Электронный ресурс] / И.В. Ермольчик, З.К. Левчук // Педагогика, психология, методика. 2014. - №1(43) Режим доступа:

http://elibrary.ru/download/elibrary_23077906_31615273.pdf(дата обращения: 11.12.2019)

Кабацкая Л.Н. Система работы учителя математики по формированию навыков решения текстовых задач [Текст] //Проблемы и перспективы развития образования: материалы IV Международной научной конференции (г. Пермь, июль 2013 г.). - Пермь: Меркурий, 2013 URL

https://moluch.rU/conf/ped/archive/72/4108/( дата обращения: 29.11.2019)