Формула Пика

Проект   Формула Пика в геометрии на клетчатой бумаге       Автор: Гузенко Ксения, ученица 7 класса, МБОУ «Львовская СОШ» Руководитель: Искендерова Н.Г., учитель математики

«Берём палец и считаем» В.В.Вавилов Нарисуйте, пожалуйста, сложный многоугольник на клетчатой бумаге, а я вам в уме за полминуты найду площадь этой фигуры.

«Решение задач – практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь» Дьёрдь Пойя Объект проекта: задачи на клетчатой бумаге. Предмет проекта: задачи на вычисление площади многоугольника на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения. Методы проекта: Теоретические: анализ и синтез. Эмпирические: сравнение. Индуктивный метод – получение выводов из конкретных примеров. Цель проекта: Изучить формулу Пика для вычисления площадей многоугольников на клетчатой бумаге.

Задачи: Подобрать необходимую литературу. Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию. Проанализировать и систематизировать полученную информацию. Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге. Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.

Гипотеза: Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле планиметрии.

Решетки. Узлы                                                                                                                                                            

Формула Пика. Решетки. Узлы

Доказательство формулы Пика В – число узлов решетки, расположенных строго внутри многоугольника, Г – число узлов решетки, расположенных на его границе, включая вершины, S — его площадь

Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге 1) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика a=6; b=4 S1 = 1*5: 2 = 2,5. S2= 5*5:2 = 12,5 S = 2,5 + 12,5 = 15(см2) Г=12, B=10 . S=10+12:2 - 1= 15 (см2)

Исследование площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге 2) На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен треугольник ABC. Найдите его площадь в квадратных сантиметрах. Рисунок По формуле геометрии По формуле Пика S1 = 3 ∙ 1 : 2 = 1,5 S2 = 2 ∙ 1 : 2 = 1 S = 1,5 – 1 = = 0,5(см2) Г=3, В=0. S=0 + 3 : 2 -1 = = 0,5 (см2)

Вывод: Площадь фигуры, вычисленная по формуле Пика равна площади фигуры, вычисленной по формуле геометрии. Гипотеза оказалась верной.

Геометрические задачи Найдём площадь треугольника. 1 клетка = 1 см Г = 15 (обозначены красным) В = 34 (обозначены синим)

Геометрические задачи Найдём площадь параллелограмма. Г = 18 (обозначены красным) В = 20 (обозначены синим)

Геометрические задачи с практическим содержанием Задача 3. Вершины квадрата соединены с серединами его сторон, как показано на рисунке 5. Найдите площадь закрашенного восьмиугольника, если стороны квадрата равны 12. Решение: По формуле Пика: S = В + Г /2 – 1. В = 21, Г = 8, S = 21 + 8 / 2 – 1 = 24 (кв.ед.)

Заключение В процессе исследования я изучила справочную, научно-популярную литературу. Узнала, что задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика. В результате моей работы я расширила свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определила для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии. Я научилась вычислять площади многоугольников, изображенных на клетчатом листке. Рассмотренные задания имеют различный уровень трудности – от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных. Такой способ нахождения площадей многоугольников, изображенных на клетчатой бумаге, буду использовать на ОГЭ для решения задач. Занятия геометрией на клетчатой бумаге создают условия для успешного усвоения геометрического материала, включённого в программу по математике. Клетчатая бумага позволяет проводить многие геометрические построения, помогает лучше понять и изучить свойства фигур. Упражнения на клетчатой бумаге способствуют развитию интуиции, воображения, памяти, внимания. Я пришла к выводу, что тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приёмы их решения также разнообразны. Поэтому,я решила продолжить работу в этом направлении и рассмотреть задачи на разрезание, задачи на разрезание с раскраской, вычисления на клетчатой бумаге, которые встречаются на олимпиадах по математике.