Использование современных педагогических технологий в построении современного развивающего урока
Математика Хорошайло Галина Васильевна - преподаватель математики и ИКТ, высшей категории Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования(ССУЗ) Каслинского промышленно-гуманитарного техникума
«… знания можно предложить, но овладеть ими может и должен каждый самостоятельно» А. Дистервег
Ход урока
Организационный момент Рефлексия:
2. Подготовка к изучению нового материала Вопросы Что называют функцией? Как называется переменная Х? Как называется переменная Y? Что называется областью определения функции? Что называется множеством значения функции? Какая функция называется возрастающей? Какая функция называется убывающей?
.Применение производных к исследованию функции. УРОК №1-2 Возрастание и убывание функции 3.
ФГОСТ: Знать: признаки возрастания и убывания функции Уметь: исследовать функцию на монотонность
«Производная, Ваше Величество…» Ах, госпожа производная, Вы к нам на помощь пришли! Вы честная и благородная, Для функций свой штрих принесли. Функции дифференцируя, Получше мы их узнаем. Особые точки и линии По алгоритмам найдем. К нулю приравняй производную И знаки все верно расставь. Где «плюс», там, конечно, положено Функции той возрастать. Где знак производной меняется, В тех точках экстремумы есть. Легко они определяются, Вас благодарим, Ваша честь! А функций узнать чтобы выпуклость, Производную дважды считай. Спасибо вам, Ваше Величество, Что вы добрались и сюда! О. Панишева
4. Изложение новой темы
Монотонность функции Пусть значение производной функции y= f’(x) положительны, т.е. f’(x0)>0 на промежутке (а, в)=У. Тогда R=f’(x0)= tq α > 0, а это значит, что касательная L к графику функции направлена вверх и поэтому график функций на этом промежутке «поднимается», т.е. функция f(x) возрастает. Y X O У=F(X)
Значение f’(x0)<0 на промежутке √(a, b)=Y. Тогда R=f’(x0)=tgα <0, а это значит что касательная L к графику функции направлена вниз и поэтому график функции на этом промежутке «опускается», т.е функция f(x) убывает. И наоборот, α L a b X Y Y=f (x)
И так получили: f '‘ + f Y=f (x) O X Y Если f’(x0)>0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке. Схема: Графическое изображение:
f 1 -- f Y=f (x) O X Y Если f’(x)<0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке. Графическое изображение: Схема: Эти два утверждения называются - достаточными признаками возрастания и убывания функции. Промежутки возрастания и убывания функции называются - промежутками монотонности функции.
5. Первичное осмысление и применение изученного
Пример №1. Найти промежутки монотонности функции f (x)= x3-3x. Решение: 1. Найти область определения f (x): D (∞)=(-∞; ∞), т.к. это многочлен. 2. Найдите производную функции: f’ (x)=(x3-3x)’= (x3)’-3(x)’= 3x2-3= 3(x2-1)= 3(x-1)(x+1) 3. Определить монотонность функции. Для этого решим неравенства: А) f’(x) >0 и б) f’(x)<0 Или 3(x-1)(x+1)>0 3(x-1)(x+1)<0 Решим это неравенство методом интервалов: 3(x-1)(x+1)=0 Откуда: x-1=0 или x+1=0 x=1 или x = -1 f1 + + --- X 1 -1 f
F’(x) = 3(x-1)(x+1) f’ (0) = 3(0-1)(0+1)<0 Таким образом, получили: F’(x) на (- ∞;-1] [1; ∞) и F’(x) на [-1;1] Схематически это выглядит так: X Y -1 0 1 Y=X 3 - 3X
Пример № 2. Найти промежутки возрастания функции y =17x-5. Решение: Область определения: D (y) = (- ∞; ∞), т.к это линейная функция. Производная функция: y’=(17x-5)’ = 17(x)’ – 5’ = 17 Промежутки монотонности: y’=17>0, то функция y на (- ∞; ∞) или y постоянно. Схема: Графическое изображение схемы: X + Y=17x-5 Y X O
Пример № 3. По графику определить: а)промежутки возрастания, б) промежутки убывания. Решение: а)на (- ∞;-3] и [-0,5;3] функция y=f (x) возрастает. б)на [-3;-0,5] и [3;4,5] функция y=f (x) убывает. Y=f (x) -3 0 1 3 4,5 X Y
Пример №4 По графику определить: а) промежутки, где производная f’ (x) >0 б) промежутки, где производная f’ (x) <0 Y -4 0 1 X Решение: а) f’ (x) >0, если f (x) , следовательно, это промежуток [-2;1]. б) f’ (x) <0, если f (x) , следовательно, это промежутки [-4;-2] и [1;5).
Запомни: Алгоритм нахождения промежутков монотонности; Область определения функции Производная функции Монотонность функции, т.е решим неравенства: а) f’ (x) >0 и б) f’ (x) <0 Ответ. Признаки и схемы монотонности: 1. f (x) ,если f’ (x) >0 2. f (x) ,если f’ (x) <0 X + X ---
В развитии дифференциального и интегрального исчисления главная роль принадлежала двум великим ученым – англичанину Исааку Ньютону и немцу Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646-1716). Историческая справка
И.Ньютон Г.Лейбниц
Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время
Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XXVII века. С помощью тех же методов математики изучали в XXVII и XXVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий.
Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”. Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела. Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.
Эйлер Л. О. Коши Лагранж
Межпредметная связь:
Самостоятельная работа (уровневая),групповая Групповая работа( в парах): Задания Для студентов 1 уровня: № 554 из учебного пособия Ш.А.Алимов и др. Алгебра и начала анализа, 10-11, Москва, «Просвещение»,1994 Для студентов 2 уровня: 1 группе - Варианты 10(5), 26(5) 2 группе - Варианты 16(4), 43(5) 3 группе – 18(5), 87(5) из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс, Дрофа, Москва Для студентов 3 уровня: 1 группе - 4.185, 4.187 2 группе – 4.188, 4.192 из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс, Дрофа, Москва
Критерии оценки выполнения самостоятельной работы. 90-100% верно выполненных заданий - оценка «отлично» 80-90% верно выполненных заданий - оценка «хорошо» 70-80% верно выполненных заданий - оценка «удовлетворительно» Менее 70% верно выполненных заданий - оценка «неудовлетворительно»
Уровни заданий 1 уровень 2 уровень 3уровень 1 а)y↓ на (-∞;1/2) y↑на(1/2; ∞) 1группа: 1) y↑на(- ∞;-2)ᴜ(3;∞) y↑на(-∞;-1 1/3)ᴜ(2;∞) 1группа: 1) y↑на(-√2;0)ᴜ(√2;∞) y↓на(-∞;-√2)ᴜ(0; √2) 2) y↑на(-∞;+∞) 2. б) y↑на(0,3; ∞) y↓ на(-∞; 0,3) 2группа:1) y↑на (-∞;0)ᴜ(1;+∞) 2) y↓ на(-∞;+∞) 2группа: 1) ) y↑на (-∞;-1)ᴜ(1;∞) y↓на (-1;0)ᴜ(0;1) 2) 3. в) y↑на(-1; ∞) y↓ на(-∞; -1) группа:1) y↓ на(-4;1)ᴜ(1;+∞) 2) y↓ на (-1;7) 4. г) y↑на(-6; ∞) y↓ на(-∞; -6) Ответы к решению заданий самостоятельной работы
6.Подведение итогов урока
Рефлексия на конец урока.
Домашнее задание: для студентов 1 и 2 уровня - № 555 из учебного пособия Ш.А.Алимов и др. Алгебра и начала анализа, 10-11, Москва, «Просвещение»,1994 Для студентов 3 уровня: Вариант 78(5) из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс, Дрофа, Москва, приготовить примеры (графики) возрастающих и убывающих функций
Спасибо за урок ! Решать, работать можно вечно. Вселенная ведь бесконечна. Спасибо всем нам за урок, А главное, чтоб был он впрок! Мне очень понравилось с вами работать
