Использование современных педагогических технологий в построении современного развивающего урока

Математика

«Первое, чего должен требовать от себя учитель, - это предельной целеустремленности в работе"

Использование современных педагогических технологий

в построении современного развивающего урока

Хорошайло Галина Васильевна - преподаватель математики и ИКТ, высшей категории

Государственное бюджетное образовательное учреждение среднего профессионального образования(ССУЗ)

Каслинский промышленно-гуманитарный техникум

«… знания можно предложить, но овладеть ими может и должен каждый самостоятельно»

А. Дистервег (Слайд 2)

УРОК №1-2 из темы 6.1 раздела 6 « Применение производной к исследованию производной» рабочей программы

Тема: Возрастание и убывание функции

Время: 1 час 30 мин ( 1 пара)

Тип урока: Урок усвоения новых знаний

Вид урока:    урок с элементами беседы и презентации

ФГОСТ: Знать: признаки возрастания и убывания функции

Уметь: исследовать функцию на монотонность

Цель урока: изучение новых знаний и первичное их закрепление.

Цель: дидактическая: 1-й уровень: формирование понятий «возрастающая», «убывающая» функции, «монотонность», «промежутки монотонности»

2-й уровень: знать алгоритм исследования функции с помощью производной на возрастания, убывания функции, признаки возрастания и убывания и др

3-й уровень: применение знаний возрастания, убывания функции, правила нахождения производной и др.

Развивающая; развивать умения исследовать функцию на возрастание, убывание;

ОК3. Анализировать рабочую ситуацию, осуществлять контроль, оценку и коррекцию собственной деятельности, ответственность за свои результаты работы;

ОК2. Организовать собственную деятельность, исходя из целей и способов ее достижения;

ОК4.Осуществлять поиск информации, необходимой для эффективного выполнения профессиональных задач;

ОК6. Работать в коллективе и команде

Развивать умения правильно по алгоритму исследовать функцию, находить производные, область определения, упрощать полученные выражения для дальнейшего применения в исследовании, применять метод интервалов, признаки возрастания и убывания. Производить анализ исследования.

Воспитательная: воспитывать профессионально-личностные качества( внимательность, аккуратность, самостоятельность, четкое выполнения алгоритма исследования функции и построения графика функции, ответственности за полученный результат, осознание планировать данное задание).

Уровни усвоения: 1 (знакомство),2 (воспроизведение в знакомой стандартной обстановки),3( умения и навыки решать ситуационные нестандартные задачи)

Уровни учебно- познавательной деятельности: объяснительно-иллюстративный

Формы учебной деятельности: фронтальная, групповая (индивидуальная)

Методы: 1-й уровень: 1. Объяснительно-иллюстративный

Методические приемы: беседа

2.наглядный

Методические приемы: показ ЦОР, схемы, графики

2-й уровень: репродуктивный

Методические приемы: 2-й уровень: решение типовых задач по алгоритму

3-й уровень: частично-поисковый

Методические приемы: задания (сильным заданы задания в виде графика и по нему определить тоже; функция задана составная( тригонометрия +степень), необходимо вспомнить материал по теме « Тригонометрические уравнения»)

Средства обучения: графическое изображение, математическое оформление записей, ЦОР с презентацией по данному материалу учебного пособия, сборника для подготовки к письменному экзамену

Результат: узнавание алгоритма исследования функции с помощью производной на возрастание и убывание, и его последовательность, умение применять его при выполнении заданий.

Задачи студентов:

Организовать свое рабочее место

Составление алгоритма исследования функции на монотонность

Применять алгоритм исследования функции на монотонность при решении задач аналитическим и графическим путем

Работа со сборниками заданий

Самоанализ своей работы

Оснащенность занятия, наглядность:

План урока

Рабочее место преподавателя( ПК в комплекте, проектор, экран)

ИКТ (Презентация по теме)

Учебные пособия

Графическое изображение (схемы, схемы), математическое оформление записей

ЦОР (демонстрация презентации)

Работа с учебной литературой ( со сборниками для заданий)

Карточки-задания для самостоятельной работы

Литература : 1.А.Г.Мордкович и др. алгебра и начала математического анализа. 10-11 класс,ч.1 и 2 М., Мнемозина 2009

2.Сборник для заданий для подготовки к экзаменов М.,Дрофа

3. Ш.А.Алимов и др. Алгебра и начала анализа, 10-11, Москва, «Просвещение»,1994

4. А.Н.Колмогоров Алгебра и начала анализа Москва, «Просвещение», 2002

5.М.И Башмаков «Алгебра и начала анализа» 10-11, Москва «Просвещение».

Межпредметная связь: Связь с физикой ( изменение переменного тока, зависимость давления газа от объема, зависимость силы тока от напряжения

Внутрипредметная связь: Графики функций, функция, ее свойства, « Производная, правила нахождения производной»

Структура урока:

Ход урока

Учитель я! Моя задача –
Решить вопрос и дать ответ
И детям посулить удачу,
Познания раскрыть секрет.

Организация начала урока (2 минуты). Заинтересовать студентов, привлечь их внимание к уроку, сообщить тему и цель урока.

Психологический настрой:

Ребята, сегодня у нас с вами первый урок по теме «Применение производной к исследованию функции» . Рада вас видеть на уроке, рада вашим улыбкам и надеюсь, что время урока пролетит незаметно и будет для нас с вами приятным и полезным.

Рефлексия на начало урока. (слайд 4)

Актуализация опорных знаний. Проверка домашнего задания(знаний) студентов:

Фронтальный опрос(вопросы): (слайд 5-6)

Вспомним некоторые определения ( “Мозговой штурм”)

Что называют функцией?

Как называется переменная Х?

Как называется переменная Y?

Что называется областью определения функции?

Что называется множеством значения функции?

Какая функция называется возрастающей?

Какая функция называется убывающей?

Найти производные функции:

f(x)=3x3-2x2+3x+5

f(x)=2x2+4x-4

f(x)=sin(x)

f(x)=sin2x

f(x)=√x

f(x)=2cosx

f(x)=cosx+10

3. Сообщение темы, цели, задач урока (слайд 7 -8).

Сообщение темы урока, целей, форм и методов работы на уроке, этапов урока и их преодоление

Одной из главнейших математических понятий является функция. Существуют разные способы описания функций. Какой самый наглядный?

– Графический.

– Как построить график?

– По точкам.

Этот способ подойдет, если заранее известно, как примерно выглядит график. Например, что является графиком квадратичной функции, линейной функции, обратной пропорциональности, функции y = sinx? А что если требуется построить график функции более сложной? Можно найти несколько точек, но как ведет себя функция между этими точками? ( Проблема)

Выяснить, точнее будет ли график функции, поможет ее производная.

 Сегодня на уроке мы рассмотрим небольшой элемент работы второго этапа изучения процесса, исследование одного из свойств функции - определение промежутков монотонности

Для решения поставленной задачи, нам необходимо вспомнить некоторые вопросы, рассмотренные ранее.

Итак, запишем тему сегодняшнего урока: «Признаки возрастания и убывания функции».

4. Основная часть. Изучение нового материала: Презентация(10-14)

Монотонность функции

Пусть значение производной функции y= f'(x) положительны, т.е. f'(x0)>0 на промежутке (а, в)=У. Тогда R=f'(x0)= tq α > 0, а это значит, что касательная L к графику функции направлена вверх и поэтому график функций на этом промежутке «поднимается», т.е. функция f(x) возрастает.( слайд 7)

y

Y=f(x)

x

O

X0

α

И наоборот, значение f'(x0)<0 на промежутке √(a, b)=Y. Тогда R=f'(x0)=tgα <0, а это значит что касательная L к графику функции направлена вниз и поэтому график функции на этом промежутке «опускается», т.е функция f(x) убывает.

y

x

O

Y=f(x)

α

X0

Итак, получили:

Если f'(x0)>0 на промежутке, то функция f(x) возрастает на этом промежутке.

С

+

f'

y

хема: Графическое изображение

f'

x

o

Y=f(x)

Если f'(x)<0 на промежутке, то функция f(x) убывает на этом промежутке.(слайд 10)

С

f'

f

-

x

y

o

Y=f(x)

хема: Графическое изображение

Эти два утверждения называются - достаточными признаками возрастания и убывания функции.

Промежутки возрастания и убывания функции называются - промежутками монотонности функции.

5. Первичное закрепление знаний. Самостоятельная работа

Пример 2 Найти промежутки возрастания функции y =17x-5.( слайд 18)

П

y

ример № 3.(слайд19)

П

У=f(x)

о графику определить:

а )промежутки возрастания,

б ) промежутки убывания.

x

O

-1

П

y

ример №4(слайд 20-21)

П

6

о графику определить:

а) промежутки, где производная f’ (x) >0

б) промежутки, где производная f’ (x) <0

3

O

1

-2

x

Таким образом можно сформулировать алгоритм нахождения промежутков возрастания и убывания функции ( слайд 21)

Исторический экскурс(слайд22 -27)

Историческая справка

В развитии дифференциального и интегрального исчисления главная роль принадлежала двум великим ученым – англичанину Исааку Ньютону и немцу Готфриду Вильгельму Лейбницу (1646-1716). Ньютон был самоучкой в математике, но самоучкой гениальным. Когда он, став студентом Кембриджского университета, впервые пришел на экзамен по математике, выяснилось, что Исаак прочел множество математических книг и уже почувствовал вкус к математическим проблемам.

Вскоре Англию постигло страшное бедствие – эпидемия чумы. Университет на время закрылся, и Ньютон почти два года провел в своем поместье Вулсторп в графстве Линкольншир. Эти годы оказались для него удивительно плодотворными. Позднее он вспоминал: «В начале 1665 г. Я открыл метод приближенных рядов и правило для сведения любой степени любого бинома к таким рядам (вспомните бином Ньютона). В мае того же года я открыл метод касательных, а в ноябре – прямой метод флюксий…и в следующем году в мае я уже имел в своем распоряжении обратный метод флюксий. ..Все это произошло в два чумных года... Ибо в это время я находился в наилучшем для открытий возрасте и думал о математике и философии больше, чем когда-либо позже».

Прямой метод флюксий, о котором говорит Ньютон, - не что иное, как дифференцирование. Впоследствии он написал работу под названием «Метод флюксий и бесконечных рядов», но при жизни она так и не была напечатана. Функции Ньютон называл флюентами, т.е. «текущими» (от лат. flue – «теку»), а (цитата) «скорости, с которыми  каждая флюента увеличивается в силу порождающего движения» - флюксиями (мы их называем производными). Они обозначались теми же буквами, но с точкой вверху: ẋ, ẏ.

Все эти открытия были нужны ученому не сами по себе, а для решения главной задачи – создания новой физики. В своем основном труде – «Математические начала натуральной философии»  - Ньютон приводит математическое доказательство закона всемирного тяготения, дает объяснение приливов, основы теории движения Луны, проблеме притяжения массивных сфер и т.д.

К сожалению, сочинения Ньютона по математике увидели свет только в 18 веке.

 (Слайд) Историческая справка о происхождении терминов и обозначений по теме.

Сообщение ученика (Учебник, стр. 155, п. 1) [1]

Производная – одно из фундаментальных понятий математики. Оно возникло в XXVII веке в связи с необходимостью решения ряда задач из физики, механики и математики, но в первую очередь следующих двух: определение скорости прямолинейного движения и построения касательной к прямой. Независимо друг от друга И. Ньютон и Г. Лейбниц разработали аппарат, которым мы и пользуемся в настоящее время. И. Ньютон в основном опирался на физическое представление о мгновенной скорости движения, считая его очевидным и сводя к нему другие случаи производной, а Г. Лейбниц использовал понятие бесконечно малой. Исчисление созданное Ньютоном и Лейбницем, получило название дифференциального исчисления. С его помощью был решен целый ряд задач теоретической механики, физики и астрономии. В частности, используя методы дифференциального исчисления, ученые предсказали возвращение кометы Галлея, что было большим триумфом науки XXVII века. С помощью тех же методов математики изучали в XXVII и XXVIII веках различные кривые, нашли кривую, по которой быстрее всего падает материальная точка, научились находить кривизну линий. Большую роль в развитии дифференциального исчисления сыграл Л. Эйлер, написавший учебник “Дифференциальное исчисление”.

Основные понятия дифференциального исчисления долгое время не были должным образом обоснованы. Однако в начале XIX века французский математик О. Коши дал строгое построение дифференциального исчисления на основе понятия предела.

Применяемая сейчас система обозначений для производной восходит к Лейбницу и Лагранжу.

В настоящее время понятие производной находит большое применение в различных областях науки и техники. 

Межпредметная связь: (слайд 28)

Самостоятельная работа ( уровневая, групповая) слайд 29

Групповая работа( в парах):

Задания

Для студентов 1 уровня: № 554 из учебного пособия Ш.А.Алимов и др. Алгебра и начала анализа, 10-11, Москва, «Просвещение»,1994

Для студентов 2 уровня: 1 группе - Варианты 10(5), 26(5)

2 группе - Варианты 16(4), 43(5)

3 группе – 18(5), 87(5) из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс, Дрофа, Москва

Для студентов 3 уровня: 1 группе - 4.185, 4.187

2 группе – 4.188, 4.192 из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс, Дрофа, Москва

Проверка выполнения работы ( друг у друга) по эталону. Оценивание работы учащихся по рейтинговой системе, до сведения учащихся доводятся критерии оценки: ( см. Приложение №2, слайд30)

Сверка ответов с экраном( исправлять нельзя!)( слайд 31, Приложение

Подведение итогов урока

1.Повторение нового материала (слайд 32)

Если f(x) – непрерывна на I и имеет f'(x), то:

f'(x)>0, то f(x) – возрастает

f'(x)<0, то f(x) – убывает

f'(x)=0, то f(x) – постоянна (константа)

Сообщение результата урока( оценки по критериям) ( см. Приложение № 2)

Рефлексия на конец урока( слайд №33).

Рефлексия на конец урока:

Тетради сдаём учителю на проверку. Оценки тем, кто активно работал на уроке.

7.( слайд 34)

Домашнее задание: для студентов 1 и 2 уровня - № 555 из учебного пособия Ш.А.Алимов и др. Алгебра и начала анализа, 10-11, Москва, «Просвещение»,1994

Для студентов 3 уровня: Вариант 78(5) из сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы 11 класс, Дрофа, Москва,

приготовить примеры (графики) возрастающих и убывающих функций

Спасибо за урок !( слайд350

Решать, работать можно вечно.

Вселенная ведь бесконечна.

Спасибо всем нам за урок,

А главное, чтоб был он впрок!

Мне очень понравилось с вами работать

Приложения:

Приложение №1

Запомни( слайд 16)

Алгоритм нахождения промежутков монотонности;

Область определения функции

Производная функции

Монотонность функции, т.е решим неравенства:

а) f’ (x) >0 и б) f’ (x) <0

Ответ.

Признаки и схемы монотонности:

1. f (x) ↑ ,если f’ (x) >0

+

f'

С

y

хема: Графическое изображение

f'

x

o

Y=f(x)

2. f (x) ↓ ,если f' (x) <0

С

f'

f

-

x

y

o

Y=f(x)

хема: Графическое изображение

Приложение №2

Оценка самостоятельных письменных работ:

Оценка "5" ставится, если студент:

1. выполнил работу без ошибок и недочетов;

2) допустил не более одного недочета.

Оценка "4" ставится, если студент выполнил работу полностью, но допустил в ней

не более одной негрубой ошибки и одного недочета;

или не более двух недочетов.

Оценка "3" ставится, если студент правильно выполнил не менее половины работы

не более двух грубых ошибок;

или не более о; той грубой и одной негрубой ошибки и одного недочета;

или не более двух-трех негрубых ошибок;

или одной негрубой ошибки и трех недочетов;

или при отсутствии ошибок, но при наличии четырех-пяти недочетов.

Оценка "2" ставится, если студент:

допустил число ошибок и недочетов превосходящее норму, при которой может быть выставлена оценка "3";

или если правильно выполнил менее половины работы.

Примечание.

Преподаватель имеет право поставить студенту оценку выше той, которая предусмотрена нормами, если студент оригинально выполнил работу.

Оценки с анализом доводятся до сведения студентов, как правило, на последующем уроке, предусматривается работа над ошибками, устранение пробелов.

Критерии оценки выполнения самостоятельной работы.

(К=0,9-1,0) 90-100% верно выполненных заданий - оценка «отлично»

(К=0,8-0,9) 80-90% верно выполненных заданий - оценка «хорошо»

(К=0,7-0,8) 70-80% верно выполненных заданий - оценка «удовлетворительно»

(К=менее 0,7) Менее 70% верно выполненных заданий - оценка «неудовлетворительно»

Формула для расчёта:

К=А: Р, где

К - коэффициент усвоения,

А - количество правильно выполненных студентом существенных операций,

Р - общее количество существенных операций.

Приложение №3

Ответы к решению заданий самостоятельной работы