Обидина Лилия Игоревна

Учебно-методический материал «Исследование свойств функций, как способ решения уравнений и неравенств с параметром в заданиях ЕГЭ»

Материал опубликован 15 January 2019

Исследование свойств функций, как способ решения уравнений и неравенств с параметром в заданиях ЕГЭ.

Функциональный метод решения уравнений и неравенств (в том числе и с параметрами) является составной частью и естественным развитием функциональной линии обучения математике. Рассмотрение функционального метода в программе средней школы на базовом уровне носит эпизодический характер, при изучении отдельных тем.

Наиболее часто используются следующие свойства функций:

свойства ограниченности области определения или области значения функции (в частности, методы оценки и минимакса);

свойства четности и нечетности входящих в уравнение или неравенство функций;

кусочная монотонность большинства алгебраических и элементарных трансцендентных функций входящих в уравнение или неравенство (в частности, на этом основан метод рационализации);

периодичность функций и др..

В отличие от графического метода, знание этих свойств функций позволяет находить точные корни уравнения без построения графиков функций.

Характеристика задания 16 ЕГЭ профильный уровень

Спецификация КИМ

№

Проверяемые требования (умения)

Коды проверяемых требований к уровню подготовки (по кодификатору)

Коды проверяемых элементов содержания (по кодификатору)

Уровень сложности задания

Максимальный балл за выполнение задания

Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на базовом уровне, в минутах

Примерное время выполнения задания учащимися, изучавшим математику на профильном уровне, в минутах

Уметь решать уравнения и неравенства

2.1-2.3,

5.1

2.1, 2.2, 3.2, 3.3

2.1. – 2.3. Уметь решать уравнения и неравенства.

5.1. Моделировать реальные ситуации на языке алгебры, составлять уравнения и неравенства по условию задачи; исследовать построенные модели с использованием аппарата алгебры.

ЕГЭ профильный уровень (кодификатор)

		Определение и график функции
3.1	3.1.1	Функция, область определения функции
3.1	3.1.2	Множество значений функции
3.2		Элементарное исследование функций
	3.2.1	Монотонность функции. Промежутки возрастания и убывания
	3.2.2	Четность и нечетность функции
	3.2.3	Периодичность функции
	3.2.4	Ограниченность функции
	3.2.5	Точки экстремума (локального максимума и минимума функции)
	3.2.6	Наибольшее и наименьшее значение функции
3.3		Основные элементарные функции
	3.3.1	Линейная функция, ее график
	3.3.2	Функция описывающая обратную пропорциональную зависимость, ее график
	3.3.3	Квадратичная функция, ее график.
	3.3.4	Степенная функция с натуральным показателем, ее график
	3.3.5	Тригонометрические функции, их графики
	3.3.6	Показательная функция, ее график
	3.3.7	Логарифмическая функция, ее график

Классификация задач, решаемых функциональными методами:

1. К первому типу отнесем задачи, в условии которых непосредственно требуется исследовать свойства функции y=f(x,a) (область определения, монотонность и т.д.) в зависимости от параметра а, принимающего допустимые значения.

2. Ко второму типу задач отнесем такие, в которых формулировки свойств функции в точке или на промежутке позволяют рассматривать параметр не только в формуле, но и в задании области существования функции. Например, исследовать на монотонность функцию y=x2-5x+6 на промежутке [t;t+2] при всех значениях t.

3. Третий тип задач связан с постановкой дополнительных условий на свойства функции (количество нулей функции, ограничение на наибольшее значение функции и т.д.)

4. При решении задач четвертого типа можно опереться на определение свойств функции (непрерывность, дифференцируемость, экстремум). Подобные задачи можно переформулировать и свести к уравнению, неравенству или системе уравнений (неравенств), для решения которых используют аналитический или функционально - графический способы (графическую интерпретацию).

Рассмотрим задачи относящиеся к первому типу. Для решения задач этого типа следует знать и помнить области определения всех элементарных функций, изучаемых в школьном курсе.

Может оказаться, что для двух функций f(t) и g(t) пересечение их областей определения содержит всего лишь несколько значений переменной. Тогда в случае решения уравнения f(t) = g(t) или неравенства f(t) > g(t) их будет достаточно проверить подстановкой в уравнение или неравенство.

В случае, когда t=φ(x,a), задача становится задачей с параметром.

Начинать же следует решения подобных уравнений и неравенств без параметра, а затем переходить к задачам нахождения областей определения функций, зависящих от переменной параметра.

В ходе решения данного типа задач, можно взять для рассмотрения следующие задания:

1. Решите уравнение (Ответ: )

2. Определите количество решений уравнения в зависимости от параметра a. (Ответ: )

3. Определите количество решений уравнения в зависимости от значений параметра a. (Ответ: )

4. Решите неравенство . Ответ: 1

5. При каких a неравенство :

а) имеет решение; (Ответ: )

б) имеет более одного решения? (Ответ: )

Знание области значений функции оказывается полезным при решении уравнений и неравенств в следующих случаях:

уравнение f(x)=a или неравенство f(x)≤ a или f(x) ≥ a имеет решение, если ;

неравенство f(x)>a имеет решение, если и ;

неравенство f(x)a имеет решение, если и ;

уравнение f(x;a)=g(x;a)может иметь решение, если

В данном разделе можно предложить для рассмотрения следующие задания:

1) При каких a уравнение имеет решение? (Ответ: -5≤ a ≤ 5)

2) Решите уравнение . (Ответ: )

3)Решите уравнение

Функциональный метод используется в обосновании классических методов решения неравенств (теорем равносильности, методов интервалов), для решения задач, которые другими методами решить нельзя, при решении неравенств, которые являются математической моделью других задач: нахождение области определения, множества значений функций, нахождение интервалов монотонности.