Исследовательская работа «Методы решения математических задач в работах И.И Александрова»

Научно-практическая конференция обучающихся, посвящённая

160 -летию со дня рождения русского математика И.И. Александрова

Исследовательская работа

«Методы решения математических задач в работах И.И Александрова»

Автор - Крюков Семён,

обучающийся 9 класса

МБОУ Анопинской СОШ

Руководитель-

Лычагина Алевтина Юрьевна,

учитель математики и информатики

МБОУ Анопинской СОШ

Анопино, 2016 год

Оглавление

Введение

«Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду,

а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их»

Д. Пойа (книга «Математическое открытие»)

Задачи сопровождают человека на протяжении всей его жизни. Арифметические задачи в курсе математики занимают значительное место. Почти половина времени на уроках математики отводятся решению задач. Задачи способствуют усвоению понятий, отношения, закономерностей. При решении задач у нас развивается внимание, наблюдательность, логическое мышление, речь, сообразительность. В процессе решения задач мы учимся планировать и контролировать свою деятельность, воспитываем волю. Значение текстовых задач я вижу так же в возможности применения полученных знания в своей практической деятельности. В процессе решения задач у нас развиваются способности не только математические, но и общие, интеллектуальные, которые, в свою очередь, необходимы для развития нас в целом, способствуя нашей успеваемости почти по всем школьным предметам.

Поэтому очень важно, чтобы мы имели глубокие представления о текстовой задаче и ее решении различными способами. Уже в 5-6 классах мы решаем большинство текстовых задач с помощью уравнений. Этот способ так и называем «с помощью уравнений». Теперь в 8 классе я знаю, что данный способ называется – алгебраический. Мне стало интересно - есть ли ещё какие-нибудь способы решения текстовых задач, а может одну и ту же задачу можно решать разными способами?

Я люблю математику и мне хотелось бы развить своё логическое мышление, сообразительность.

Узнав о проведении научно-практической конференции посвящённой 160-летию со дня рождения моего земляка, математика Ивана Ивановича Александрова и темах предложенных к исследованию я увидел тему, которая меня заинтересовала а именно «Методы решения математических задач в работах И.И. Александрова». Я всегда любил решать задачи и мне стало интересно узнать о методах их решения.

Итак, цель моей работы изучив труды И.И. Александрова установить наиболее эффективные методы решения текстовых математических задач

Для достижения цели нужно решить следующие задачи:

- Изучить литературу о методах решения математических задач.

- Познакомиться с методами решения текстовых задач, предложенными И.И. Александровым.

- Рассмотреть классификацию решения текстовых задач арифметическим способом на примере олимпиадных задач

- Сделать вывод о целесообразности изучения арифметических способов решения задач.

Основная часть

Традиционные и нетрадиционные способы решения текстовых задач

На мой вопрос к учащимся 5-9 классов: «Какие способы решения текстовых задач вы знаете?» я получил следующие ответы:

-22% учеников ответили на мой вопрос: «…по действиям»,

-78% ответили: «…с помощью уравнения».

Единицы учеников назвали эти способы, как арифметический и алгебраический. Других способов решения текстовых задач опрошенные учащиеся не назвали.

Существуют различные подходы к определению самой задачи. Остановимся на точке зрения Л.М. Фридмана: «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче».

Математическая задача – это связанный рассказ, в котором введены значения некоторых величин и предлагается отыскать другие неизвестные значения величин, зависимые от данных и связанные с ними определенными соотношениями, указанными в условии. Любая текстовая задача состоит из двух частей: условия и требования (вопроса). В условии соблюдаются сведения об объектах и некоторых величинах, характеризующих данные объекта, об известных и неизвестных значениях этих величин, об отношениях между ними. Требования задачи – это указание того, что нужно найти.

В современной математике существуют различные способы решения текстовых задач:

- арифметический,

- алгебраический,

- геометрический,

- схематический,

- графический.

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим способом значит найти ответ, на требование задачи, выполняя арифметические действия над числами.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим способом - это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или системы уравнений (или неравенств).

Геометрический метод. Решить задачу геометрическим методом - значит найти ответ на требование задачи, используя геометрические построения или свойства геометрических фигур.

Схематический. Решить задачу схематическим способом - это значит найти ответ на требование задачи, как правило, с помощью схем.

Графический. Решить задачу графическим способом - значит решить задачу с помощью графиков в прямоугольной системе координат.

Традиционными способами решения задач являются арифметический и алгебраический, остальные менее известны, поэтому отнесём их к нетрадиционным.

2. Методы решения текстовых задач в России. Взгляды учёных на арифметический и алгебраический способы решения текстовых задач.

Арифметический способ решения заключается в нахождении ответа задачи путем арифметических действий над числами. Алгебраический способ состоит в получении ответа на вопрос задачи с помощью составления уравнения и последующего его решения.

Арифметический способ решения задач долгое время являлся доминирующим в отечественной средней школе, вплоть до конца 60-х гг. XX в. Этому способствовала богатая историческая традиция использования в обучении задач практического характера. С давних времен обучение решению арифметических задач сводилась к усвоению правил. Например, в «Арифметике» Л.Ф. Магницкого (1703), являющейся первым отечественным печатным учебником по математике, давались арифметические задачи на строго определенные правила, которые имели соответствующие названия «тройное», «пятеричное», «семеричное» и т. д. Это объясняется строго практической необходимостью выполнения торговых расчетов.

Задачи всегда занимали особое место в школьном обучении математике. Пристальное внимание обучающих к задачам, которое было характерно для России, — считают исключительно российским феноменом.

Текстовые задачи играли столь важную роль в процессе обучения в России, и им отводилось так много времени при обучении математике в школе.

К сожалению, уже до революции стали высказываться мысли о непригодности арифметических методов решения задач. Так, обсуждение методики арифметики имело место на страницах журнала «Вестник опытной физики и элементарной математики» периода 1900-1917 гг.

В начале XX века в этом журнале развернулась горячая дискуссия между А. Арндтом и И. И. Александровым. В журнале было помещено выступление А. Арндта на заседании секции математики и физики Юрьевского педагогического общества на тему «О некоторых вопросах преподавания арифметики». В нем Арндт выступал решительно за «алгебраизацию курса от громоздких задач». Основные выводы статьи Арндта были направлены против книги И. Александрова "Методы решения арифметических задач". Отвечая Арндту, Александров выступил за защиту чисто арифметических задач по способам решения. Александров выступил против решения задач по формулам, считая, что при этом учащиеся действуют механически, не осмысливая задачи. Итак, И. Александров и А. Арндт стояли на весьма противоположных точках зрения.

К середине 50-х годов XX в. арифметические задачи были хорошо систематизированы и методика их применения в учебном процессе уже была разработана, однако при проведении реформы математического образования конца 1960-х гг., предпочтение все-таки получил алгебраический метод решения задач. Этому способствовало также то, что арифметические задачи многими считались недостаточно связанными с жизненной практикой того времени. Кроме этого, преобладало мнение, что обучение решению задач арифметическим методом нецелесообразно и мешает овладению алгебраическим методом. В результате реформы математического образования, как отмечает А.В. Шевкин, арифметический способ решения задач был в значительной степени вытеснен алгебраическим: «…роль алгебраического способа решения задач в учебном процессе в последующие годы была явно преувеличена именно потому, что из школьной практики были удалены арифметические способы их решения… «метод уравнений» на долгое время стал единственным известным учащимся методом решения текстовых задач».

В настоящее время арифметический способ используется в школе лишь для решения несложных задач в начальном курсе математики, вплоть до 5–6-х классов, в которых происходит переход к алгебраическому способу: единственному, изучаемому в курсе.

Но я согласен с мнением многих учёных, что не стоит отказываться от арифметических способов решения, которые стимулируют учащихся к поиску более простых и рациональных решений. С их помощью можно создавать разнообразные и интересные ситуации, в то время как применение уравнений не дает такого разнообразия.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу.

Методику решения задачи, использовавшейся при обучении математики еще в древнем Китае, приводит А.В. Шевкин: «В клетке находится неизвестное число фазанов и кроликов. Известно, что вся клетка содержит 35 голов и 94 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов» А.В. Шевкин отмечает, что, естественно, эта задача успешно может быть решена алгебраическим путем, например, составив уравнение: 4x + 2 · (35 – x) = 94, где x – число кроликов, и решив его. Однако если при решении этой задачи, мы зададимся целью не просто получить правильный ответ, но и развивать мышление, воображение у детей, то в этом случае целесообразно применить следующую методику арифметического решения этой задачи. Учитель предлагает ученикам вообразить, что на верх клетки, в которой сидят фазаны и кролики, положили морковку. При этом все кролики в клетке встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до морковки. Отсюда вопрос: сколько ног в этот момент будет стоять на земле?

Ответ детей: 35 · 2 = 70 ног.

Далее учитель обращает внимание учащихся, что в условии задачи даны 94 ноги, где же остальные? Дети легко замечают, что остальные ноги не посчитаны (это передние лапы кроликов). Вычисление их количества не представляет сложности: 94 – 70 = 24 ноги. Далее легко находится количество кроликов (24: 2 = 12) и фазанов (35 – 12 = 23).

Из данного примера видно, что арифметический метод решения задач ценен тем, что способствует пониманию условия задачи, процесса ее решения; развивает не только математическое мышление, но и общие интеллектуальные способности; развивает самостоятельность и креативность мышления.

3. Методы решения текстовых задач, предложенных И.И. Александровым.

Труд Ивана Ивановича Александрова "Методы решения арифметических задач" вышел в 1887 году в г. Тамбове. Ещё ранее (в 1883 году) там же вышел его более известный труд "Методы решений геометрических задач на построение". Эти замечательные работы явились в числе первых основоположений русской методики средней школы.

При жизни автора "Методы решений арифметических задач" имели 7 изданий, а второй труд- 14 изданий. Каждое новое издание автор улучшали совершенствовал. После смерти осталась рукопись "Методы решений арифметических задач", подготовленная к 8 изданию, в которой автором были внесены существенные изменения.

Книги Александрова и до сих пор представляют не только историческую ценность, но и остаются полезными руководствами для преподавателей математики средней школы.

Я познакомился с работой "Методы решения арифметических задач" Ивана Ивановича Александрова переработанную его сыном Андреем Ивановичем Александровым под редакцией профессора Андронова. Андрей Иванович переработал труд своего отца (он изменил самое необходимое: убрал задачи не соответствующие по своему содержанию современным общественным отношениям, вставил новые, уточнил терминологию), но тем самым сохранил соответствие взглядам и убеждениям покойного мыслителя и творца в методике арифметики. В 1953 году работа вышла под двумя фамилиями - отца и сына.

Основные идеи книги таковы:

"никоим образом не следует классифицировать задачи в зависимости от тех предметов и действий о которых говорит задача";

"решение уравнений первой степени всегда может быть переведено в чисто арифметическое соображение и арифметический язык";

"для задач, приводящих к уравнениям первой степени, предпочтительнее арифметический способ решения"

"существует целый класс задач, которые легче решаются арифметически, чем алгебраически, а есть такие, которые и вовсе недоступны алгебре";

"арифметические задачи следует классифицировать по методам их решения "

В работе приводятся виды задач и методы их решения. Всего Александров их указал более 10. Автор успокаивает учеников, которым приходилось держать в памяти методы и правила решения всех типов задач тем, что" не существует задач, которые нельзя было бы решить рассмотренными способами".

4. Классификация текстовых задач

В1915 году (более 100 лет назад!) в первом и втором номерах журнала "Математическое образование" выходит статья Ивана Ивановича Александрова "Классификация текстовых задач".

Рис.1

Фрагмент статьи И. Александрова «Классификация арифметических задач»

В статье «Классификация арифметических задач» автор приводит собственную классификацию текстовых задач. В первой части статьи автор обосновывает преимущество классификации арифметических текстовых задач по методам решения,

Во второй части статьи автор приводит методы решения арифметических задач.

I. Задачи на вычисление

1. Прямо указано, какие действия нужно выполнить и в каком порядке.

Пример 1

К половине суммы чисел 177 и 349 прибавить две трети разности чисел 972 и 171 и результат разделить на 7.

2. Действия с данными числами указаны косвенно; эти действия можно определить по смыслу и материальной природе каждого данного числа. При этом предполагается, что тот, кто решает задачу, более или менее точно знаком с материальной обстановкой, с которой связано условие задачи.

Пример 2

Купец купил 728 пудов товара по 3 руб. за пуд. Четверть товара испортилась и не пошла в продажу, а остальной товар он продал по 4 руб. 20 коп за пуд. Сколько прибыли получил купец?

Несмотря на то, что с момента публикации данной статьи прошло более 100 лет, она и сейчас остаётся актуальной.

II. Задачи на метод «обратности», или задачи, решаемые с конца

1. Над неизвестным числом выполнено одно определённое действие. Над результатом этого действия с помощью известных чисел и без этого неизвестного числа выполнен ряд новых действий, конечный результат которых известен.

Очевидно, чтобы найти неизвестное число, нужно над конечным результатом выполнить обратные действия и в обратном порядке.

Пример 3

Я задумал число. Если его увеличить в 5 раз, к результату прибавить 125 и результат разделить на 6, то получим 115. Какое число я задумал?

Решая задачу, рассуждать можно так. Если бы деления на 6 не было, то получили не 115, а 115*6=690.

Если бы не прибавляли 125, то получили бы не 690, а 690-125=565 и т. д.

2. Ряд действий, которые выполняют над неизвестным числом, не указан прямо, однако эти действия легко определить, анализируя фактический смысл данных чисел.

Пример 4

A и B играют на следующих условиях. Если A проигрывает партию, то B получает 40 руб. Если B проигрывает партию, то A получает втрое больше, чем имеет. Из шести партий A проиграл первую, третью и пятую, а остальные выиграл. После этого у A оказа­лось 224 руб., а у B — 32 руб. Сколько денег было у каждого из них сначала?

Очевидно, что до шестой партии A имел 56 руб., следовательно, B имел

56*3+32=200 руб. До пятой партии A имел 96 руб., а B — 160 руб. и т. д.

III. Методы исключения неизвестных

1. Объединение нескольких условий в одно

Пример 5

Путешественник, выйдя из города, шёл пешком 6 часов и ехал на лошадях 5 часов. За это время он удалился от города на 80 вёрст. В следующий раз он выехал из города на лошадях и, проехав с той же скоростью 11 часов, пошёл пешком в обратную сторону. Через 6 часов он был на расстоянии 64 вёрст от города. Какова скорость лошадей?

Здесь два неизвестных: скорость лошадей и скорость пешехода. Одно нужно исключить. Объединим два пути вместе. Тогда 6 часов пути пешком вперёд покроют 6 часов пути пешком назад, и за 16 часов путешественник проедет на лошадях 144 версты.

2. Сравнение двух условий с помощью вычитания

Пример 6

За 7 топоров и 9 сох заплатили 41 руб., а за 5 топоров и 9 сох по тем же ценам заплатили 37 руб. Сколько стоит один топор и одна соха?

Сравнивая стоимость обеих покупок, видим, что 2 топора стоят 4 руб.

Иногда используют одновременно способы 1 и 2.

Пример 7

A и B имели 200 руб., B и C имели 150 руб. Сколько денег было у каждого, если A и C имели 220 руб.?

Сумма 200+150+220=570 руб. — это двойная общая сумма всех трёх лиц. Следовательно, все трое имели 570:2=285 руб. Вычитая из последней суммы 220 руб., находим, что у B было 65 руб.

3. Замена одного неизвестного другим

Пример 8

Смешали 9 фунтов орехов первого сорта с 11 фунтами второго и 7 фунтами третьего сорта. Сколько стоит фунт орехов каждого сорта, если вся смесь стоит 6 руб. 61 коп., а фунт первого сорта дороже фунта второго на 15 коп., а фунта третьего — на 17 коп.?

Заменим орехи первого и второго сорта оре­хами третьего сорта. Тогда цена смеси понизится на 17*9+2*11=175 коп. и будет равна 661-175=486 коп.

Поэтому 27 фунтов орехов третьего сорта стоят 486 коп. и т. д.

4. Уравнивание неизвестных

Пример 9

На трёх полках 548 книг. На верхней полке на 19 книг меньше, чем на средней, а на средней полке на 129 книг меньше, чем на нижней. Сколько книг на каждой полке?

Здесь три неизвестных. Сделаем их равными. Для этого с нижней полки снимем 129 книг и из этих 129 книг положим 19 на верхнюю полку. Тогда на трёх полках останется 438 книг; на всех трёх полках поровну. Следовательно, на каждой полке осталось 438:3=146 книг. На верхнюю полку мы положили 19 книг, теперь их нужно снять и т. д.

5. Уравнивание данных

Этот способ делится на две ветви, в зависимости от того, являются неизвестные множимым или множителями. В первом случае уравнивают повторяемость неизвестного с целью применить способы 1 и 2.

Пример 10

Торговец продал 9 груш и 2 яблока за 96 коп. В другой раз он продал 8 груш и на полученные деньги купил 5 яблок, причём ему дали 65 коп. сдачи. По какой цене он продавал груши и яблоки, если цены оба раза были одинаковы, а торговец не брал барыша?

Неизвестная цена яблока повторяется в пер­вой покупке 2 раза, а во второй — 5 раз. Надо сделать так, чтобы яблок было поровну в оба раза. Увеличим первый оборот в 5 раз, а второй — в 2 раза и соединим их вместе. Тогда сумма, вырученная за яблоки в первый раз, покроет сумму, истраченную на яблоки во второй раз, и выйдет, что 61 груша продана за 610 коп. и т. д.

Пример 11

Куплено на равные суммы индеек по 1 руб. 50 коп. штука и гусей — по 1 руб. 20 коп., причём первых было на 10 больше. Сколько купили индеек и сколько гусей?

Купим ещё 10 индеек. Тогда они будут дороже гусей на 15 руб. Следовательно, всех их было 1500:30=50 штук.

Во втором случае уравнивают два данных с таким расчётом, чтобы были видны последствия этого уравнивания.

Примером может служить предыдущая задача, если решать её так.

Пусть каждый гусь стоит 1 руб. 50 коп. Тогда цена гусей против цены индеек увеличится на 15 руб. В тоже время новая цена гусей увеличится против прежней в 1,25 раза, то есть на четверть. Поэтому четверть цены гусей стоимостью по 1 руб. 50 коп. равна 15 руб. и т. д.

IV. Метод подобия

Задачи, решаемые этим методом, делятся на две категории.

К первой категории относятся те задачи, к которым можно применить метод подобия без предварительных преобразований. Общий тип этих задач такой. Одно из данных — это отношение искомых; другое данное, будучи вы­ражено через одно искомое, меняется пропор­ционально этому искомому

Ко второй категории принадлежат задачи, требующие известных преобразований, после которых задача приводится к типу первой категории. Такие преобразования делаются, главным образом, с помощью приёмов 1–5, описанных в предыдущем разделе.

Пример 12

Некто разделил свой капитал на три части в отношении 10 : 11 : 15 и поместил их в различные предприятия на сроки, равные соответственно 6, 12 и 11 годам. После этого его капитал составил 7380 руб. Каков был его первоначальный капитал, если предприятия давали соответ­ственно 5,5 %, 5 % и 2 %?

Пусть первая часть первоначального капитала составляла 100 руб. (вообще любое произвольное число), тогда две другие части состав­ляли 110 и 150 руб. Первая часть дала доход в размере 5,5*6=33 руб., вторая — 5*12*110:100=66 руб., третья — 2*11*150:100=33руб. Весь капитал с доходом составил бы 100+110+150+33+66+33=492 руб.

На самом деле капитал составил 7380 руб., следовательно, каждую долю мы взяли меньше, чем нужно в 7380:492=15 раз. Поэтому первоначальный капитал в 15 раз больше выбранного нами и составляет

(100+110+150) *15=5400руб.

Для решения задач бывают полезными следующие приёмы, которые вообще имеют большое педагогическое значение, а подчас и «решающую силу».

1. Разложение трудной задачи на ряд подготовительных задач, которые нужно решить предварительно.

Пример 13

Летело два стада гусей. Если из первого стада перелетит во второе 16 гусей, то в них будет поровну гусей. Если из второго перелетит в первое 4 гуся, то в первом будет гусей в 5 раз больше. Сколько гусей в каждом стаде?

Эта довольно трудная задача станет лёгкой, если предварительно решить следующие задачи:

1) Если из одного кармана переложить в дру­гой 16 коп., то денег в обоих карманах станет поровну. На сколько копеек в одном кармане больше, чем в другом?

2) Одно число больше другого на 32. Какова будет разность этих чисел, если из меньшего вычесть 4, а к большему прибавить 4?

3) Одно число больше другого в 5 раз. Найдите эти числа, если их разность равна 40.

2. Приведение неизвестных к таким значениям, при которых становится известным их отношение. После этого, как правило, задача решается методом подобия.

Пример 14

Три брата получили 995 руб. Старший получил втрое больше младшего и еще 85 руб., а средний — в 4 раза больше младшего без 50 руб. Сколько денег получил каждый брат?

Сделаем так, чтобы старший брат получил ровно в 3 раза больше младшего, а средний — ровно в 4 раза больше младшего. Для этого у старшего возьмём 85 руб. и из этих денег дадим среднему 50 руб. Тогда общая сумма станет 960 руб. Задача легко решается методом подобия.

В самом деле, пусть младший получит 10 руб. Тогда другие братья получат по 30 и 40 руб., т. е. в 16 раз меньше, чем следует.

3. Существуют задачи, в которых ответ не зависит от размера той или иной величины, приведённой в задаче. В таком случае целесообразно принять эту величину равной произвольному численному значению.

Пример 15

Пароход проходит некоторое расстояние по течению реки за 10 часов, а против течения — за 20 часов. За сколько времени проплывёт это расстояние щепка, брошенная в реку с такой же скоростью течения?

Очевидно, что ответ не зависит от величины расстояния, потому что увеличение расстояния не изменит времени, если во столько же раз увеличить скорость по течению и против течения.

Пусть расстояние равно 40 вёрст (произвольное число, которое нужно выбрать «повыгоднее»). Тогда скорость парохода по течению равна 4 версты в час, а против течения — 2 версты в час. Скорость течения равна (4-2):2=1 верста в час, а искомое число равно 40.

V. Метод нахождения частей

Задачи, которые можно решить с помощью этого метода, делятся на две категории.

1. В задачах первой категории находят различные части неизвестного, пока не отыщется такая дробь искомого, которая выражена данным числом. Тогда остается нахождение числа по данной дроби.

2. Задачи второй категории состоят из вопросов, ответы на которые не зависят от той или иной величины, приведённой в задаче.

Решим задачу, приведённую в примере 15, этим методом.

Пароход по течению проходит в час 1/10 всего расстояния, а против течения — 1/20 расстояния. Значит, скорость течения равна (1/10-1/20) :2=1/40 , а искомое число равно 1:1/40=40

Далее автор утверждает, что не существует задач первой степени, взятых из какой угодно области, которые нельзя было бы решить с помощью рассмотренных методов. Но этого нельзя утверждать относительно тех задач второй степени, которые в частных случаях приводят к уравнениям первой степени. Такого рода задачи решаются иногда с очень большими затруднениями, и, весьма вероятно, некоторые из них не доступны арифметике.

5. Методы решения арифметические задач в подготовке к олимпиадам по математике.

При подготовке к олимпиадам и другим соревнованиям по математике на первых занятиях факультатива по математике нами рассматриваются арифметические приемы и методы решения задач. Арифметические методы не заслужено забыты. Однако поиск арифметических решений требует порой нестандартных рассуждений, умения анализировать ситуацию. Поэтому решение арифметических задач способствует развитию математических способностей.

На занятиях рассматриваем следующие типы арифметических задач: задачи на простой счет; решение «от конца к началу»; сравнение двух условий вычитанием; нахождение среднего арифметического; совмещение событий происходящих в задаче, по времени; задачи на движение; задачи на сравнение; прием «предположения», перераспределение. Предложим характерные задачи данных типов, для решения которых применяются методы рассмотренные в работах И.И. Александрова

Задачи на простой счет

1. Из одной отливки получается 6 деталей. Отходы от 6 деталей дают возможность получить из них одну отливку. Сколько деталей можно сделать из 36 отливок? Решение. Из 36 отливок получается 36*6+6*6+6=258 (деталей). Остатки последней не используются.

Я отпил 1/6 чашечки черного кофе и долил ее молоком. Затем я выпил 1/3 чашечки и снова долил ее молоком. Наконец я выпил полную чашку. Чего я выпил больше: кофе или молока? Решение: Молока выпито 1/6+1/3+1/2=1. Выпил чашечку молока и чашечку черного кофе.

Решение «от конца к началу»

1. Мать поручила детям разложить пакет конфет так, чтобы на завтра к обеду была оставлена половина всех конфет и еще 3 штуки, к завтраку половина оставшихся конфет и еще 3 штуки и к вечернему чаю – половина оставшихся конфет и еще три штуки. Дети разложили 185 конфеты в три вазы и у них осталось еще 4 конфеты, которые им разрешили съесть. Сколько всего конфет было в пакете? Решение. Решаем задачу «от конца к началу». Восстанавливаем всю последовательность действий, которые предлагаются в задаче, в обратном порядке. 1) 4+3=7, 2) 7*2=14, 3) 14+3=17, 4) 17*2=34, 5) 34+3=37, 6) 37*2=74 Ответ: 74 конфеты.

2. На двух кустах сидело 25 воробьев. После того как с первого куста перелетело на второй 5, а со второго совсем улетело 7 воробьев, то на первом кусте осталось вдвое больше воробьев, чем на втором. Сколько воробьев было на каждом кусте первоначально? Ответ: 17; 8.

Сравнение двух условий вычитанием

1. Собака гонится за кроликом, который находится в 45 м от нее. Собака делает прыжок в 2 м каждый раз, когда кролик прыгает на 1,5 м. Сколько прыжков должна сделать собака чтобы догнать кролика? Решение. 2м – 1,5м = 0,5 м. С такой скоростью сокращается расстояние между собакой и кроликом. Собака догонит кролика через 45 : 0,5= 90 прыжков. Ответ: 90.

2. 6 карасей тяжелее 10 лещей, но легче 5 окуней; 10 карасей тяжелее 8 окуней. Что тяжелее: 2 карася или 3 леща? Ответ: 2 карася тяжелее 3 лещей (заметим, что два из трех условий задачи – лишние).

3. Мышке до норки 20 шагов. Кошке до мышки 5 прыжков. Пока кошка совершит один прыжок, мышка сделает 3 шага, а один кошачий прыжок равен по длине 10 мышиным шагам. Догонит ли кошка мышку? Ответ: нет.

Нахождение среднего арифметического

1. Сеня купил 3 пакета орехов, а Саша – 2 таких пакета. К ним присоединился Костя, и они разделили все орехи поровну. При расчете оказалось, что Костя должен уплатить товарищам 25 рублей. Сколько денег из этой суммы должен получить Сеня и сколько Саша? Сколько стоит пакет орехов? Решение. Каждый из трех товарищей съел по 5/3 пакета орехов. Так как Костя уплатил 25 рублей, то один пакет орехов стоит 25 : 5/3=15 рублей. Сеня уплатил за 3 пакета орехов 45 рублей, а Саша – 30 рублей. Но так как каждый съел поровну, то и заплатить каждый должен по 25 рублей. Значит, Сеня должен получить 20 рублей, а Саша – 5 рублей.

2. Задача Я.И. Перельмана. Задача зародилась в обстановке дачной квартиры. Жилица – назовем ее для удобства Тройкиной – положила в общую плиту 3 полена своих дров, жилица Пятеркина – 5 поленьев, жилец Бестопливный, у которого, как вы догадываетесь, не было своих дров, получил от обеих гражданок разрешение сварить обед на общем огне. В возмещение расходов он уплатил соседкам 8 копеек. Как должны они поделить между собой эту плату? Ответ: Пятеркиной – 7 копеек, Тройкиной – 1 копейка.

Совмещение событий, происходящих в задаче, по времени

1. Однажды утром, как раз в тот момент, когда взошло солнце, монах начал восхождение на высокую гору. Узкая тропа шириной не более одного метра вилась серпантином по склону горы к сверкающей ее вершине. Монах шел по тропе с разной скоростью, он часто останавливался, чтобы отдохнуть. К вершине он подошел незадолго до захода солнца. На следующий день монах пустился в обратный путь по той же тропе. Он вышел на рассвете и опять спускался с разной скоростью, много раз отдыхая по дороге. Средняя скорость спуска, конечно, превышала среднюю скорость подъема. Докажите, что на тропе есть такая точка, которую альпинист во время спуска и подъема проходил в одно и то же время суток. Решение. Пусть в один и тот же день по тропе идут два человека: один из них поднимается вверх, второй спускается вниз. Они обязательно встретятся. Отсюда следует, что есть такая точка, которую монах во время спуска и подъема проходил в одно и то же время суток.

Задачи на сравнение

1. Из верхнего угла комнаты вниз по стене поползли две мухи. Спустившись до полу, они поползли обратно. Первая муха ползла в оба конца с одинаковой скоростью, а вторая хотя и поднималась вдвое медленнее первой, но зато спускалась вдвое быстрее ее. Какая из мух приползет обратно раньше? Решение. Первая, так как за время, которая вторая затратила на подъем, первая может пройти весь путь.

2. Муравей проехал на гусенице некоторое расстояние за 28 минут. За сколько минут муравей проедет на жуке расстояние в 4 раза больше, если скорость жука в 7 раз больше скорости гусеницы. Ответ: 16 минут.

Прием «предположения» В классической формулировке: «предположим, что и того и другого было равное количество».

1. Через мост за день прошло 40 автомобилей и велосипедов, а всего проехало 100 колес. Нельзя ли подсчитать, сколько прошло за день отдельно автомобилей и велосипедов? Считаем, что у машины четыре колеса, а у велосипеда – два.

Решение. Предположим, что проехали только велосипеды, тогда проехало 40*2= 80 (колес), то есть на 100 – 80 = 20 колес меньше, чем по условию. У автомобиля на 2 колеса больше, чем у велосипеда, значит должно проехать 20:2=10 автомобилей. Ответ: 30 велосипедов, 10 автомобилей.

Решая подобные задачи мы получили богатый арсенал способов и методов решения текстовых задач, которые очень часто встречаются на олимпиадах и различных конкурсах по математике.

Заключение.

Проведённое исследование указывает на большую положительную роль арифметического метода решения текстовых задач. Изучив литературы мы видим, что уже до революции была разработана добротная методика арифметики, включающая учебники по арифметике, в которых приводится много интересных заданий. Дореволюционные учебники дают нам благоприятный материал для разработки системы арифметических задач, направленных на развитие интеллектуальных способностей школьников.

Книга Ивана Ивановича Александрова "Методы решения арифметических задач" оказала большое влияние на методику преподавания арифметики. Все остальные работы Ивана Ивановича также отличаются научностью, оригинальностью обобщений, ясностью языка и стремлением улучшить методику преподавания математики.

Использование арифметических способов решения задач способствует общему развитию учащихся, развитию не только логического, но и образного мышления, лучшему освоению естественного языка, а это повышает эффективность обучения математике и смежных дисциплин. Но следует отметить, что разумно сочетать оба метода решения задач, не ограничиваясь использованием арифметического способа младшими классами, а использовать его вместе с алгебраическим в средних и старших классах. Данную работу можно использовать для проведения факультативов, кружков по математике и при подготовке к различным конкурсам и соревнования по математике.

Список используемых источников и литературы

1. Александров, И.И., Александров А.И. Методы решения арифметических задач. Под редакцией И.К. Андронова. – М.: Учпедгиз, 1953.-76 с.

2. Арнольд, И.В. О задачах по арифметике. //Математика в школе, 1946, №2С.30-38. 3. Гарднер, М. Есть идея. – М. :Мир, 1982.-304

3. Шевкин А.В. Текстовые задачи в школьном курсе математики // Роль текстовых задач в школьном курсе математики. М., 2006. С. 12-14.

4.Арнольд И.В. Принципы отбора и составления арифметических задач /Вопросы методики математики. – М., – 1946. – С. 7–28. – (Изв. АПН РСФСР, вып. 6).