Научно-исследовательская работа «Методы решения логических задач»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение………………………………………………………………………………..3

Основная часть…………………………………………………………………………4

2.1. Что такое логическая задача …………………………………….………...…4

2.2. Метод решения с помощью таблицы...……………………………………….5

2.3. Метод решения с помощью полупрямой …………………………………….7

2.4. Метод решения с помощью графов …….…………………………………….9

2.5. Метод решения с помощью кругов Эйлера………………………………….11

Заключение………………………………………..…………………………….……..13

Список литературы…….……………………………………….……………….….....14

 

ВВЕДЕНИЕ

Математическое образование, получаемое в общеобразовательной школе, является важнейшим компонентом общего образования и общей культуры современного человека.

Всё чаще в текстах математических олимпиад, а также в КИМах ЕГЭ базового уровня по математике встречаются логические задачи. Логические задачи развивают умение анализировать и обобщать данные, искать возможные пути решения, формировать стратегию, проверять данные на достоверность. Логика используется и в обычной жизни, например, поход за продуктами, выбор одежды, также умение решать логические задачи необходимо в некоторых профессиях.

Но в школьном курсе математики очень мало логических задач. А ведь логические задачи составляют неотъемлемую часть математического образования любого школьника.

К «классическим» логическим задачам относятся текстовые задачи, цель решения которых состоит в распознавании объектов или расположении их в определенном порядке в соответствии с заданными условиями. Задачи на перемещение, перекладывание, взвешивание, переливание — самые яркие примеры нестандартных задач на логику. Знание и понимание различных методов решения поможет определить, какой способ подойдет лучше в каждом конкретном случае, чтобы выбрать наиболее быстрый и простой путь получения ответа.

Работа посвящена изучению способов решения логических задач.

Актуальность работы в том, что знание различных методов решения логических задач увеличивает успешность их решения, позволяет учиться мыслить логически, творчески.

Методы, используемые при работе над темой: теоретический анализ специальной литературы, экспериментальная работа, анализ собственного опыта.

Объект исследования – логические задачи.

Предметом исследования являются методы решения логических задач

Цель исследовательской работы: рассмотреть методы решения логических задач.

Гипотеза исследования: знание различных методов решения логических задач поможет развить логическое мышление.

Цель, предмет, гипотеза исследования обусловили следующие задачи:

Изучить литературу по данной теме.

Рассмотреть виды логических задач.

3. Изучить различные методы решения логических задач.

4. Проанализировать и оценить достоинство каждого метода.

5. Привести примеры решения олимпиадных задач, задач из КИМов ЕГЭ базового уровня.

 

2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ

2.1. ЧТО ТАКОЕ ЛОГИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА

Ло́гика (от др.-греч. λόγος — «рассуждение», «мысль», «разум») – раздел  философии,  нормативная  наука о формах, методах и законах интеллектуальной познавательной деятельности, формализуемых на логическом языке.[5] Основы логики были заложены работами ученого и философа Аристотеля (384-322 гг. до н.э.). Он изучал правила мышления, впервые дал систематическое изложение логики.

Что же представляют собой логические задачи? Логические задачи или, как их еще иногда называют, нечисловые, представляют собой текстовые задачи, в которых требуется распознать объекты или расположить их в определенном порядке по имеющимся свойствам. При этом часть утверждений задачи может выступать с различной истинностной оценкой (быть истинной или ложной). А любые вычисления и построения играют вспомогательную роль или вообще отсутствуют. То есть – логические задачи отличаются от обычных тем, что в них чаще не требуется умение вычислять, а требуется умение рассуждать.

Чтобы научиться решать типовые логические задачи, простые и нестандартные математические задачи, важно знать основные приемы и методы их решения. Ведь решить одну и ту же задачу и прийти к правильному ответу во многих случаях можно разными способами.

Существуют разные типы логических задач и разные способы их решения: Каждый из этих способов обладает своими достоинствами.

Виды логических задач: задачи на соответствие и исключение неверных вариантов, задачи на упорядочивание множеств, задачи о лгунах, числовые ребусы, игровые задачи, задачи на переливания, взвешивания.

Основные методы решения логических задач: метод рассуждений, с помощью таблиц, с помощью метод блок-схем, с помощью графов, с помощью полупрямой, метод кругов Эйлера.

Рассмотрим некоторые методы решения логических задач.

 

2.2 МЕТОД РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ТАБЛИЦЫ

Задача 1. Перед соревнованиями по плаванию каждого из четырех участников А, Б, В, Г спросили, на какое место он рассчитывает. А сказал: «Я буду первым», Б сказал: «Я не буду последним», В сказал: «Я не буду ни первым, ни последним» и Г сказал: «Я буду последним». После заплыва оказалось, что только один из них ошибочно предсказал результат. Кто из пловцов ошибся? [1]

Решение. Составим таблицу, в которой знаком «плюс» укажем предполагаемые результаты.

 

Предположим, что ошибся А, тогда он мог занять 2-е или 3-е место (4-е место занял пловец Г, который, если ошибся А, правильно предсказал свой результат, так как по условию ошибся только один пловец). В этом случае возможны следующие варианты распределения мест:

а) А – 2, Б – 1, В – 3, Г – 4; б) А – 3, Б – 1, В – 2, Г – 4.

Докажем, что действительно ошибся пловец А. Если бы ошибся Б, т.е. занял 4-е место, то ошибся бы и пловец Г, что противоречит условию задачи. Если бы ошибся В, тогда он должен быть или первым или последним. В таком случае ошибся бы еще один пловец – А или Г. Если бы ошибся Г, то ошибся бы еще один пловец, в противном случае последнее место не занял бы никто. Так как по условию задачи мог ошибиться только один пловец, то Г не ошибся.

Ответ: ошибся пловец А.

Задача 2. В летний лагерь приехали отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша – не Герасимов. Отец Володи – инженер. Володя учится в 6 классе, Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей? [2]

Решение. Начертим таблицу и заполним последний столбец таблицы, исходя из условий:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ответ: Миша – Иванов, Володя – Семенов, Петя – Герасимов.

Задача 3. Три брата - Александр, Борис и Сергей преподают различные предметы в школах Архангельска, Северодвинска и Котласа. Александр работает не в Архангельске, а Борис не в Северодвинске. Архангелогородец преподаёт не математику. Тот, кто работает в Северодвинске, преподаёт химию. Борис преподаёт физику. Какую дисциплину преподаёт Сергей, и в школе какого города?[2]

Решение. Составим две таблицы. Отобразим наши рассуждения в таблице:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Исходя из условия задачи, мы видим, что возможны два случая.

Ответ: Сергей может работать в Северодвинске учителем химии или преподавать математику в Котласе.

Задача 4 «Три клоуна Бим, Бом, Бам вышли на арену в красной, зелёной и синей рубашках. Их туфли были тех же трёх цветов. У Бима цвета туфель и рубашки совпадали. У Бома ни туфли , ни рубашка не были красными. Бам был в зелёных туфлях и рубашке другого цвета. Как были одеты клоуны?»

Решение. Составим две таблицы по условию задачи:

 

Ответ: Бим – в синей рубашке и красных туфлях, Бом – в зелёной рубашке и синих туфлях, Бам – в красной рубашке и зелёных туфлях.

 

2.3. МЕТОД РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ПОЛУПРЯМОЙ

Если в задаче имеется множество объектов и требуется установить взаимоотношение между элементами этого множества, то задачу можно решать на полупрямой.

Задача 1. Виктор старше Дениса, но младше Егора. Андрей не старше Виктора. Выберете утверждения, которые верны при указанных условиях.[4]

Егор самый старший из указанных четверых человек.

Андрей и Егор одного возраста.

Виктор и Денис одного возраста.

Денис младше Егора.

Решение. Построим модель описанной ситуации, отмечая на прямой правее старшего мальчика.

Е

В

А

Д

 

 

Ответ: 14.

Задача 2. В очереди в школьный буфет стоят Вика, Соня, Боря, Денис и Алла. Вика стоит впереди Сони, но после Аллы; Боря и Алла не стоят рядом; Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, ни с Борей. В каком порядке стоят ребята? [3]

Решение. Построим модель описанной ситуации, считая обычный луч «линией времени».

а) Вика стоит впереди Сони, но после Аллы

 

 

б) Денис не находится рядом ни с Аллой, ни с Викой, значит он – крайний слева

 

 

в) Боря и Алла не стоят рядом, Борис не находится рядом с Денисом, значит место Бориса – после Вики

 

 

Ответ: Алла, Вика, Борис, Соня, Денис.

Задача 3. При взвешивании животных в зоопарке выяснилось, что жираф тяжелее верблюда, верблюд тяжелее тигра, а леопард легче верблюда. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. [4]

1) Леопард тяжелее верблюда

2) Жираф тяжелее леопарда.

3) Жираф легче тигра.

4) Жираф самый тяжелый из всех этих животных.

Решение. Отметим данные задачи на полупрямой, причем тех животных, которые тяжелее, будем отмечать правее.

 

Т

ЛЛ

ВЛ

ЖЖ

 

 

 

 

Ответ: 24
 

2.4. МЕТОД РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ ГРАФОВ

Ситуации, в которых требуется найти соответствие между элементами различных множеств, можно моделировать с помощью графов. В этом случае элементы различных множеств будем обозначать точками (кружочками, прямоугольниками и т. п.), а соответствия между ними – отрезками (дугами).

Задача 1. Три брата - Александр, Борис и Сергей преподают различные преметы в школах Архангельска, Северодвинска и Котласа. Александр работает не в Архангельске, а Борис не в Северодвинске. Архангелогородец преподаёт не математику. Тот, кто работает в Северодвинске, преподаёт химию. Борис преподаёт физику. Какую дисциплину преподаёт Сергей, и в школе какого города?[2]

Решение. Составим граф по условию задачи

Ответ: возможно 2 ответа: Сергей может работать в Северодвинске и преподавать химию, а также может работать в Котласе и преподавать математику.

Задача 2. Однажды в туристическом лагере оказались вместе пять ребят. Их имена: Леонид, Сергей, Николай, Олег и Петр. Их фамилии: Антонов, Борисов, Васильев, Дроздов и Иванов. Кроме того, известно, что Петр знаком со всеми, кроме одного. Борисов знаком только с двумя. Леонид знает только одного из всех. Дроздов и Сергей не знакомы. Николай и Иванов хорошо знают друг друга. Сергей, Николай и Олег давно знакомы между собой. Антонов знаком только с Петром. Узнать имена и фамилии всех мальчиков.[6]

Решение. Будем соединять отрезками объекты (ребят), которые знакомы между собой. По условию, что Сергей, Николай и Олег давно знакомы между собой, имеем:

Из условия: Антонов знаком только с Петром делаем вывод, что Леонид – Антонов и соединяем линией Леонида и Петра.

По условию задачи Дроздов и Сергей не знакомы. Следовательно, Петр – Дроздов.

Петр знаком со всеми, кроме одного. Выше сказано, что с Сергеем он не знаком, значит знаком с Леонидом, Николаем и Олегом. Так как Борисов знаком только с двумя, делаем вывод: Сергей – Борисов.

По условию Николай и Иванов хорошо знают друг друга, значит Олег – Иванов, Николай - Васильев.

Иванов

Васильев

Борисов

 

Ответ: Антонов Леонид, Борисов Сергей, Васильев Николай, Дроздов Петр, Иванов Олег.

 

2.5. МЕТОД РЕШЕНИЯ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА

Очень часто решение задачи помогает найти рисунок. Использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным. Ценность задач, решаемых с помощью кругов Эйлера, состоит в том, что решения задач с громоздкими условиями и со многими данными, просты и не вызывают особых умозаключений. Эйлер наглядно изображал операции над множествами при помощи особых чертежей, называемых кругами Эйлера. Для этого множества, сколько бы элементов они не содержали, представляют при помощи кругов, овалов или любых других геометрических фигур.

Данный метод позволяет графически решать математические задачи на основе применения теории множеств.

Задача 1. В фирме N работает 50 сотрудников, из них 40 человек знают английский язык, а 20 -немецкий. Выберете утверждения, которые верны при указанных условиях.

В фирме N хотя бы три сотрудника знают и английский, и немецкий языки.

В этой фирме нет ни одного сотрудника, знающего и английский, и немецкий языки.

Если сотрудник этой фирмы знает английский язык, то он знает и немецкий

Не более 20 сотрудников этой фирмы знают и английский, и немецкий языки.[4]

Решение: построим диаграмму, используя условия. Получается, что английский и немецкий языки знают 10 человек. Тогда очень легко выбрать верные утверждения.

Ответ: 14.

Задача 2. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?[6]

Решение. Изобразим множества следующим образом:

 

70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом занимаются 5 человек.

Ответ. 5 человек занимаются только спортом.

Рассмотрим более сложную задачу

Задача 3. В 7-А учится 38 человек. Ученики увлекаются разными спортивными играми: 16 – баскетболом, 17 – хоккеем, 18 – футболом. Одновременно баскетбол и хоккей любят 4 человека, баскетбол и футбол – 3, хоккей и футбол – 5, а 3 ученика не интересуются спортом. Есть ли ученики, увлекающиеся всеми спортивными играми?[6]

Решение. Все ученики класса – наибольшая окружность. Круг «Б» — баскетболисты, «Х» — хоккеисты, «Ф» — футболисты, «x» — универсальные спортсмены. Трое неспортивных учеников просто находятся в общем круге. Баскетболисты, входящие в множество «Б», но не входящие в зоны пересечения со множествами «Х» и «Ф»:16 – (4 + x + 3) = 9 – x

По аналогии, находим количество хоккеистов:17 – (4 + x + 5) = 8 – x.

Футболисты: 18 – (3 + x + 5) = 10 – x.

Чтобы определить значение x, нужно суммировать множества учеников.

3 + (9 – x) + (8 – x) + (10 – x) + 3 + 4 + 5 + x = 38;

42 – 2 x = 38;

x = 2.

Соответственно, Б = 7, Ф = 8, Х = 6.

Ответ: 2 человека увлекаются всеми спортивными играми.

3. ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Целью данной работы было рассмотреть методы решения логических задач.

Работа посвящена логическим задачам, встречающимся в текстах математических олимпиад, а также в КИМах ЕГЭ базового уровня по математике.

Чтобы успешно их решать, нужно знать способы решения, иметь развитое логическое мышление, обладать графической культурой. Задачи на логическое мышление, как правило, требуют не столько большого объема знаний, сколько умения эти знания применить. Находить нестандартные подходы, проявлять сообразительность, умение рассуждать и анализировать.

Были изучены материалы учебно-методической литературы, материалы из интернета. Решено множество задач. Подтвердилась гипотеза исследования: решение логических задач развивает мышление, расширяет кругозор.

По результатам исследования можно сделать следующие выводы:

Существуют разные типы логических задач и разные способы их решения.

Более подробно были изучены четыре метода решения. Каждый из этих способов обладает своими достоинствами при решении задач определенного типа.

-Задачи на перебор вариантов. В условии даются отношения между предметами и, следуя по цепочке этих отношений, мы приходим к правильному результату. Если отношений в условии задачи меньше, то проще их решать с помощью таблиц, если отношений – больше, то нагляднее их решать с помощью графов.

- Задачи, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи, удобнее применить круги Эйлера.

- Задачи, в которых имеется множество объектов и требуется установить взаимоотношение между элементами этого множества, то задачу можно решать с помощью полупрямой, т.к. использование рисунка делает решение задачи простым и наглядным.

Логика помогает нам не только при решении математических задач, но и в повседневной жизни: правильно строить свои мысли, и верно их выражать, убеждать других людей, отстаивать свою точку зрения. Логика помогает людям и в их прфессиональной деятельности. Например, следователю очень важно уметь логически мыслить, чтобы правильно восстановить цепь событий для раскрытия преступления. Также знание логики необходимо работникам печати и средств массовой информации, медицинским работникам.

Решение логических задач – это не только увлекательный, но и полезный способ времяпровождения. Логические задачи - это зарядка для ума!

 

4. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Кострикина Н.П. Задачи повышенной трудности в курсе алгебры 7-9 классов: Кн. для учителя /.. – М.: Просвещение, 1991; задача № 50.

Фарков А.В. Внеклассная работа по математике. 5 – 11 классы – М.: Айрис-пресс, 2007. – 288с.

Фарков А.В. Математические олимпиады в школе: методика подготовки. 5-8 классы.– М.: ВАКО, 2016. – 176 с.

ЕГЭ 2018. Математика. Базовый и профильный уровни: типовые экзаменационные варианты: 20 вариантов / под ред. И.В. Ященко. – М.: Издательство «Национальное образование», 2018 – 144 с.

Интернет-ресурсы:

https://ru.wikipedia.org/wiki/

https://pandia.ru/text/80/398/205.php