Методические указания «Из опыта подготовки обучающихся к итоговой аттестации по математике»

Всероссийский конкурс «Творческий учитель – 2017»
 

Номинация «Подготовка к ЕГЭ и ОГЭ»
 

НЕСТАНДАРТНЫЕ ПОДХОДЫ К ОРГАНИЗАЦИИ ПОДГОТОВКИ ВЫПУСКНИКОВ К ОГЭ

ПО МАТЕМАТИКЕ

 

Чернышев Э.Н.,

учитель математики МБОУ СОШ № 3

г.Красный Сулин Ростовская область

(eduardlaw@yandex.ru)

 

2017

Подготовка к ОГЭ по математике является новообразованием образовательной жизнедеятельности подростков. Ведь никогда до этого ими не выполнялся комплекс действий, имеющих длительную протяженность во времени и направленных на достижение значительного по объему и сложности интеллектуального результата. При подготовке к ОГЭ девятиклассникам необходимо:

найти и актуализировать мотивационные ансамбли на выполнение самостоятельной подготовительной работы, задач самообразования;

реформировать свою образовательную деятельность, исходя из принципов научной организации труда;

вынести функцию обобщения учебного материала на первый план;

расширить сферу социальных отношений и взаимодействия;

в полной мере осознать методологический (неалгоритмизированный) характер математической теории и реализовать это осознание на практике.

 

Опыт показывает, что в течение обучения в 9 классе наибольшего успеха в подготовке к ОГЭ по математике добиваются выпускники, имеющие навыки творческого мышления, опыт конструирования нестандартных идей и свидетельства участия в разнообразных математических конкурсах, олимпиадах и соревнованиях…

Учитель призван использовать профессиональные подходы, адекватные образовательным вызовам.

Нами осуществляется поиск нестандартных подходов к организации подготовки выпускников к ОГЭ по математике. Цель этих усилий – научить выпускников быть предельно внимательными в использовании математической теории, тщательно анализировать характер объекта и допустимость способов его преобразования. Откуда берутся идеи подходов ? Прежде всего, - из противоречивого характера отдельных математических методов, приемов и средств. Задача учителя - выделить и методически обработать эти противоречия, т.е. создать специфические учебные ситуации, в которых ученик систематизирует свои знания, осуществляет поиск причин и конструирует идеи разрешения проблем.

От уравнения – к неравенству

Способы решения уравнений основаны на использовании равносильных преобразований, на учете свойств соответствующих функций, их области определения и множества значений. Как известно, для решения дробных рациональных уравнений используются две теоремы о равносильности:

1).Уравнения равносильны, если существует в области определения уравнения (1). Из этой теоремы следует, что слагаемые можно переносить из одной части уравнения в другую, изменяя при этом знаки перед этими слагаемыми на противоположные.

2). Уравнения равносильны, если отлично от нуля и существует в области определения уравнения (1). Отсюда следует, что обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же, отличное от нуля, выражение.

Пользуясь этими теоремами, авторы методических пособий предлагают при решении дробно рациональных уравнений производить умножение (или деление) обеих частей на выражение, содержащее неизвестную величину. Так, например, дробное рациональное уравнение

(3)

решается следующим образом:

Область определения уравнения состоит чисел, не равных числам ±3. Умножив обе части уравнения (3) на и выполнив преобразования получим уравнение , равносильное уравнению (3) в его области определения. Получаем корень: . [5]

«Через» область определения можно решить и такое уравнение:

(4)

Область определения данного уравнения – множество действительных чисел, кроме чисел ±2. Умножив обе части уравнения (4) на , получим уравнение

откуда получаем уравнение =0, имеющие корни Число 2 не входит в область определения уравнения (4), поэтому является для него т.н. «посторонним корнем». Получаем корень:

Приведенный способ решения, как правило, легко осваивается и применяется обучающимися. Вместе с тем, изучив решения уравнений, обучающиеся переходят к решению неравенств. И здесь мы предлагаем обучающимся эксперимент: выполнить решение дробного рационального уравнения, используя тот же подход «через» область определения.

Итак, решим неравенство (5)

Далее ученик рассуждает по аналогии: область определения неравенства - множество действительных чисел, кроме чисел ±3. Умножив обе части неравенства (5) на и выполнив преобразования получим неравенство , откуда, с учетом области определения, получаем . Полученный ответ неверен.

Предлагаем ученику решить еще одно неравенство

(6)

Рассуждая, как и в предыдущем решении, выясняем, что областью определения данного неравенства является множество действительных чисел, кроме чисел ±2. Умножив обе части неравенства (6) на , получим неравенство

откуда получаем неравенство ≤0, решения которого принадлежат отрезку . С учетом области определения получаем решение неравенства (6): . Полученный ответ неверен.

В чем причина неверного ответа ? В том, что обучающиеся применили свойства равносильности уравнений к решению неравенств.

Неравенства также решаются на основе теорем о равносильности неравенств.

Пусть имеем функцию , область определения которой включает в себя пересечение областей определения функций В таком случае имеют место следующие теоремы:

1).Неравенства и равносильны в области определения неравенства (7). Отсюда следует, что слагаемые неравенства можно переносить из одной части в другую со сменой знака.

2). Неравенство равносильно неравенству

, если в области определения неравенства (7) и , если

3).Если на всей области определения неравенства (7), то в этой области неравенство (7) равносильно неравенству

Пользуясь этими свойствами, неравенства (3) и (4) решаются следующим образом:

 

Использование описанных противоречивых ситуаций позволяет ученикам осознанно подходить к отбору используемой математической теории, анализировать границы ее применимости; эти компетенции обуславливают качество сдачи выпускниками ОГЭ по математике.

Анализ и синтез

Основу мыслительной деятельности обучающихся (и это особенно характерно для математического образования) составляют два приема: синтез и анализ. Об этом непосредственно говорит В.А. Гусев, отмечая, что на основе анализа и синтеза «… формируются уже более тонкие виды деятельности: анализ через синтез и синтез через анализ» [4]. Нам представляется чрезвычайно важным целенаправленно и систематически формировать у обучающихся навыки анализа и синтеза при подготовке к ОГЭ.

В чем состоит анализ и синтез? В общих чертах тактика выглядит следующим образом:

Имеется некоторое количество публикаций по проблеме обучения школьников навыкам анализа и синтеза, однако, данная работа не актуализируется в контексте подготовки обучающихся к ОГЭ по математике. [1-3, 7]

В нашем опыте выделяется деятельность по формированию навыков анализа и синтеза. Покажем это на примере системы обобщенно сформулированных упражнений по теме «Прогрессии» курса алгебры 9 класса.

При выполнении задания № 13 в КИМах ОГЭ обучающемуся необходимо производить анализ каждого утверждения с целью определения его истинности. Здесь важно каждое слово; и не всегда помогает знание формулировок из учебника, ведь зачастую задания формулируются как следствия из изученных теорем и аксиом. Приведем примеры:

Верно ли, что через точку плоскости проходит не менее двух касательных к каждой окружности, расположенной на данной плоскости? Данное утверждение неверно, так как среди окружностей имеются такие, для которых данная точка лежит во внутренней области.

Верно ли, что диагональ трапеции делит среднюю линию на отрезки, пропорциональные основаниям ? Данное утверждение верно, так как средняя линия трапеции, соединяющая середины боковых сторон, делится на два отрезка, каждый из которых равен половине одного из оснований.

Верно ли, что хорда окружности, равная радиусу, образует угол 600 с касательной, проходящей через конец хорды ? Данное утверждение неверно, так как если хорда равна радиусу, то она образует с двумя радиусами равносторонний треугольник; а тогда, с учетом свойства касательной к окружности, хорда образует с касательной угол 300.

 

Выполнение заданий с использованием приема анализа является эффективным средством подготовки к ОГЭ слабоуспевающих обучающихся. В этом случае мы предлагаем задания на сбор информации, необходимой для решения задачи. Допустим, предлагается задача ( «Найти больший угол равнобедренной трапеции ABCD, если диагональ AC образует с основанием AD и боковой стороной AB углы, равные 36о и 53о соответственно. Ответ дайте в градусах» [6]. Обучающийся составляет список теории, которая может быть использована в решении задачи (определение трапеции, определение равнобедренной трапеции, определение диагонали многоугольника, значение суммы углов трапеции, значение суммы углов трапеции при боковой стороне и др.); затем обучающийся находит ответы на эти вопросы и переходит к синтезу через анализ, т.е. к сведению в единое решение первоначально бессвязных фактов.

 

Использование разнообразных приемов подготовки обучающихся к ОГЭ, их интерпретация с точки зрения надпредметных и общепредметных компетенций, конструирование и апробация авторских дидактических материалов, позволяют добиваться высокого уровня сдачи ОГЭ нашими выпускниками, их готовности и мотивированности к продолжению математического образования.

Литература

http://5fan.ru

http://gigabaza.ru

http://nauka-pedagogika.com

Гусев В.А. Индивидуализация учебной деятельности учащихся как основа дифференцированного обучения математике в средней школе //Математика в школе. 1990.№4. С. 29.

Маркушевич Л.А., Черкасов Р.С. «Уравнения и неравенства» в заключительном повторении курса алгебры средней школы//Математика в школе. 1994.№1. С. 24-32.

Семенов А.В., Трепалин А.С., Кукса Е.А., Ященко И.В., Лескина О.М. ОГЭ. Математика: типовые экзаменационные варианты: 36 вариантов / под. ред. И.В. Ященко.-М.: Издательство «Национальное образование», 2017. С.96.

Тюина Н.С. Формирование анализа через синтез как приема творческой деятельности в обучении математике. Автореферат. Саранск, 2003.