Яна Александровна Воротницкая

Статья «Изучение алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе "Перспектива"»

Материал опубликован 22 June

Оглавление

Введение……………………………………………………………………………...3

Глава 1. Теоретические основы изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива»……………………………………………………………………….6

1.1. Понятия сложения и вычитания целых неотрицательных чисел в теоретико-множественной и аксиоматической теориях…………………………...................6

1.2. Обоснование алгоритмов письменного сложения и вычитания целых неотрицательных чисел………………………………………………………….…10

1.3. Общие вопросы изучения арифметического материала в начальной школе………………………..………........................................................................17

1.4. Содержательно-методическая характеристика начального курса математики по программе «Перспектива»……..…………………………...…………………..20

Выводы по Главе 1……………………………………………………....………....24

Глава 2. Методические аспекты изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива»………………………………………………………………….…..26

2.1. Особенности методики изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива»……………………………………………………………...………26

2.2. Описание опытно-экспериментальной работы по определению результативности методики изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива»……………………………………………………………………...49

Выводы по Главе 2…………………………………………………..…...………...57

Заключение…………………………………………………………….....................59

Библиографический список использованных источников и литературы………………………………………………………………………….61

Введение

В настоящее время всё меньше и меньше внимания в новых экспериментальных и вариативных учебниках по математике уделяется формированию у учащихся вычислительных навыков, как устных, так и письменных. Постепенно снижается подготовленность детей в данном направлении: возрастает число ошибок в определении порядка действий в выражениях, снижается уровень сформированности умения решать текстовые задачи (в частности за счёт ухудшения техники чтения, вычислительных умений). В связи с этим, одной из основных задач обучения школьников математике является повышение вычислительной культуры учащихся на всех ступенях обучения в образовательном учреждении и в первую очередь в начальной школе [6].

Проблема формирования у учащихся письменных приемов сложения и вычитания в начальном курсе математики всегда привлекала особое внимание психологов, педагогов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования Е.С. Дубинчук, А.А. Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Стефановой, Я.Ф. Чекмарева, М.А. Бантовой, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, С.Е. Царевой и др. [4, 30, 35, 45].

Задача формирования письменных приемов сложения и вычитания является одной из центральных в начальном курсе математики. Однако не всегда письменные приемы сложения и вычитания у учащихся сформированы на высоком уровне. Вследствие чего выпускники начальной школы могут испытывать затруднения в обучении.

Знакомство с письменными приемами вычислений в начальном курсе математики предусмотрено во втором классе по всем программам. Между тем авторы программ по-разному подходят к введению данного материала, используют различные задания, но алгоритм письменного сложения и вычитания во всех программах остается единым.

Таким образом, выбор темы обусловила необходимость проанализировать приемы, которые используют методисты, учителя-практики в своей работе по различным программам для формирования письменных приемов сложения и вычитания в начальном курсе математики. Все вышесказанное обуславливает актуальность выбранной темы.

Цель выпускной квалификационной работы заключается в исследовании методики изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива».

Объект исследования: процесс изучения сложения и вычитания в начальном курсе математики.

Предмет исследования: методика изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива».

Гипотеза исследования: изучение алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива» будет эффективным, если процесс обучения строить с использованием методических подходов и посредством системы практических упражнений, разработанных авторским коллективом начального курса математики УМК «Перспектива»

Задачи исследования:

1) Раскрыть понятия сложения и вычитания целых неотрицательных чисел в теоретико-множественной и аксиоматической теория;

2) Дать теоретическое обоснование алгоритмам письменного сложения и вычитания целых неотрицательных чисел;

3) Описать общие вопросы изучения арифметического материала в начальном курсе математики;

4) Дать содержательно-методическую характеристику начального курса математики по программе «Перспектива»;

5) Раскрыть особенность методики изучения письменных приемов сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива» и определить ее результативность в ходе проведения опытно- экспериментальной работы.

Методы исследования: анализ специальной и методической литературы по проблеме изучения сложения и вычитания на уроках математики в начальной школе, наблюдение, проведение опытно-экспериментальной работы.

Структура работы: работа состоит из введения, двух глав, выводов после глав, заключения, библиографического списка использованных источников и литературы, приложения.

Достоверность и обоснованность результатов и выводов исследования обеспечиваются теоретической и методологической проработанностью рассматриваемой проблемы; логической структурой построения исследования; последовательным проведением опытно-экспериментальной работы по методике изучения у младших школьников умения выполнять письменные алгоритмы сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива»; качественным и количественным анализом экспериментальных данных.

Практическая значимость заключается в возможности использования результатов исследования в педагогическом процессе образовательных учреждений при проведении как учебных, так и внеклассных занятий в системе школьного образования.

Глава 1. Теоретические основы изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива»

1. Понятия сложения и вычитания целых неотрицательных чисел в теоретико-множественной и аксиоматической теориях

Сложение целых неотрицательных чисел в теоретико- множественной теории и его свойства

Пусть n(A)=a, n(B)=b и A B .

Определение 1: Сложением целых неотрицательных чисел a и b называется бинарная алгебраическая операция, в результате которой получается целое неотрицательное число c, равное числу элементов в объединении множеств А и В.

Символически:

(n(A)=a /\ n(B)=b /\ A B  ) =>( c = a + b = n(A) + n(B) = n (AB)). a и b – слагаемые, с – сумма.

Задача 1: Доказать, что 3 + 2 = 5 с теоретико-множественной точки зрения.

Доказательство:

Выберем множество А так, чтобы n(A)=3. Например, А= {, , }.

Выберем множество B так, чтобы n(B)=2 и A B  . Например, В={,}. Пересечение выбранных множеств А и В пусто, так не существует элементов, принадлежащих одновременно и множеству А, и множеству В.

Построим AB (для этого построим множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А или принадлежат множеству В) и найдем пересчетом n (AB).

AB= {, , , ,}; n (AB) = 5.

По определению 1 получаем, что 3+2 = n(AB)=5.

Теорема о существовании и единственности суммы

Каковы бы ни были целые неотрицательные числа a и b, всегда существует единственное целое неотрицательное число с, являющееся их суммой.

Свойства сложения целых неотрицательных чисел

Свойство коммутативности (a,bN0)(a+b=b+a)

Свойство ассоциативности

(a, b, c N0)((a+b)+c = a+(b+c))

0 – нейтральный элемент относительно сложения на N0

(a N0)(a+0=0+a=а)

Сложение целых неотрицательных чисел в аксиоматической теории

Определение 2. Сложением на множестве целых неотрицательных чисел называется бинарная алгебраическая операция, обозначаемая «+» и удовлетворяющая условиям:

1с. (а N0)(а + 0 = а)

2с. (а, b N0)(a + b = (a + b) )

Задача 2: Вычислить 3+2

Решение:

А-3 2с А-3 2с 1с А-2 А-2

3 + 2=3 + 1= (3 + 1)=(3 + 0)= ((3 + 0)  ) = ( 3)= 4= 5

Вычитание целых неотрицательных чисел в теоретико-множественной теории и его свойства

Пусть n(A)=a, n(B)=b и B  А.

Определение 3: Вычитанием целых неотрицательных чисел a и b называется частичная бинарная алгебраическая операция, в результате которой получается целое неотрицательное число c= n(A\B).

Символически:(n(A)=a /\ n(B)=b /\ B  А) =>( c = a - b = n(A) – n(B) = n (A\B)).

a – уменьшаемое, b – вычитаемое, с – разность.

Замечание: Вычитание является частичной бинарной алгебраической операцией на N0, так результат данной операции, принадлежащий N0, существует не для каждой, а лишь для некоторых пар целых неотрицательных чисел.

Теорема о существовании и единственности разности

Разность целых неотрицательных чисел a и b существует и единственна тогда и только тогда, когда b ≤ a.

Задача 3: Доказать, что 4 - 3 = 1 с теоретико-множественной точки зрения.

Доказательство:

Выберем множество А так, чтобы n(A)=4. Например, А= {, , ,}.

Выберем множество B так, чтобы n(B) =3 и B А . Например, В={, , }. Выбранное множество В включается во множество А, так как все элементы множества В принадлежат так же множеству А.

Построим A\B (для этого построим множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В) и найдем пересчетом n (A\B).

A\B= {}; n (A\B) = 1.

По определению 3 получаем, что 4 - 3 = n(A\B)=1.

Свойства вычитания целых неотрицательных чисел

Некоммутативность

(a, b N0)(a-b  b-a)

Неассоциативность

(a, b, c N0)((a-b)-c  a-(b-c))

Свойствовычитания 0



Правило вычитания числа из суммы

(a,b,c N0)(a c /\ b  c) =>((a+b)-c=(a-c)+b=(b-c)+a)

Для того, чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть это число из любого слагаемого, а затем к тому, что получилось, прибавить оставшееся слагаемое.

правило вычитания суммы из числа

(a,b,c N0)(a (b+c)) =>((a-(b+c)= (а-b)-c =(a-c)-b))

Для того, чтобы вычесть cумму из числа, достаточно вычесть из этого числа любое слагаемого, а затем из того, что получилось, вычесть оставшееся слагаемое.

Вычитание целых неотрицательных чисел в аксиоматической теории

Определение 4: Вычитанием на множестве целых неотрицательных чисел называется частичная бинарная алгебраическая операция, обратная сложению.

(а, b, cN0)(c = а – b а = b + c)

Задача 4: Вычислить 5 – 2

Решение:

Вычислить разность чисел 5 и 2 это значит найти такое целое неотрицательное число с, что 5 = 2 + с.

Предположим, что с=3. Найдем сумму 2 + 3.

А-3 2с А-3 2с А-3 1с А-2

2 + 3 = 2 + 2= (2 + 2) = (2 + 1)= ((2 + 1)) = (((2 + 0)  ))  = (( 2)) =

А-2 А-2

= (3) = 4 = 5

О-4

Таким образом, 2 + 3 = 5  5 – 2 = 3.

1.2 Обоснование алгоритмов письменного сложения и вычитания целых неотрицательных чисел

Алгоритм сложения целых неотрицательных чисел

Чтобы определить сложение однозначных целых неотрицательных чисел, нужно обратиться к определениям в теоретико-множественной и аксиоматической теориях, чтобы каждый раз не обращаться к этим определениям, необходимо все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записать в специальную таблицу, эту таблицу называют сложение, и запоминают.

Для чисел, которые являются многозначными, выполнение сложения в практических заданиях осуществляется по определенному правилу, представленных в виде алгоритма.

В основании алгоритмов письменного сложения натуральных чисел лежат следующие теоретические основы [31]:

1) определение десятичной записи числа;

2) правило прибавления суммы к сумме (опирается на свойствах

коммутативности и ассоциативности сложения целых неотрицательных

чисел);

3) дистрибутивность умножения относительно сложения

(∀a, b, c∈ N0)((a+b) ⋅ c = a ⋅ c +b ⋅ c);

4) таблица сложения однозначных чисел;

5)свойство десятичной системы счисления: (∀n∈N)(10⋅ 10n = 10n+1);

6) ассоциативность сложения (∀a, b, c∈ N0)((a+b)+c = a+(b+c));

7) ассоциативность умножения (∀a, b, c∈ N0)((a⋅b) ⋅ c = a ⋅ (b⋅c));

8)свойство сложения с нулем: (∀a∈N0)(a+0=0+a=а);

9) свойство натурального ряда чисел: (∀a∈ N0)(a + 1= а′), где а′ - число,

непосредственно следующее в натуральном ряду за числом а.

Рассмотрим алгоритм сложения многозначных чисел на примере вычисления суммы чисел 296 + 647 (над знаками равенствами укажем номера используемых теоретических положений).

296 + 647 = (2⋅102 + 9⋅ 10 + 5) + (6⋅102 + 4⋅10 + 7) =

= (2⋅102 + 6⋅102) + (9⋅10 + 4⋅10) + (6 + 7) =

= (2 + 6) ⋅ 102 + (9 + 4) ⋅ 10 + (6 + 7) =

= (2 + 6) ⋅ 102 + (9 + 4) ⋅ 10 + 13 =

= (2 + 6) ⋅ 102 + (9 + 4) ⋅ 10 + (1 ⋅ 10 + 3) =

= (2 + 6) ⋅ 102 + ((9 + 4) ⋅ 10 + 1 ⋅ 10) + 3 =

= (2 + 6) ⋅ 102 + ((9 + 4) + 1) ⋅ 10 + 3 =

= (2+ 6) ⋅ 102 + (13 + 1) ⋅ 10 + 3 =

= (2+ 6) ⋅ 102+ 14 ⋅ 10 + 3 =

= (2+ 6) ⋅ 102 + (1 ⋅ 10 + 4) ⋅ 10 + 3 =

= (2+ 6) ⋅ 102 + (1 ⋅ 10) ⋅ 10 + 4 ⋅ 10 + 3 =

6,7,5

= ((2+ 6) ⋅ 102 + 1 ⋅ 102 ) + 4 ⋅ 10 + 3 =

= ((2+ 6) + 1) ⋅ 102 + 4 ⋅ 10 + 3 =

4,9 1

= 9 ⋅ 102 + 4 ⋅ 10 + 3 = 943

Таким образом, выделенная строка в обосновании алгоритма подчеркивает, что сложение выполняется поразрядно. Поэтому удобнее записывать в столбик:

+296

647

943

Сформулируем обобщенную таблицу алгоритма письменного сложения многозначных чисел (таблица 1).

Таблица 1. Алгоритм письменного сложения многозначных чисел

Сложение
Содержание действия	Примеры
1. Записать второе слагаемое под первым так, чтобы цифры их соответствующих разрядов располагались одна под другой. Провести горизонтальную прямую, под которой затем будет записан результат сложения.	а) +53 б) +27 в) +67 34 34 43
2. Сложение начинать с разряда единиц. Найти сумму цифр в разряде единиц первого и второго слагаемых. Если эта сумма не больше 9, то записать ее в разряд единиц результата, и перейти к сложению в следующем разряде.	а) +53 34 4
3. Если сумма цифр в разряде единиц первого и второго слагаемых больше 9, то есть является двузначным числом, то цифру единиц этого двузначного числа записать в разряд единиц результата и на 1 увеличить результат сложения в следующем разряде.	+1 +1 б) +27 в) +67 34 43 1 0
4. Аналогичным образом выполнить сложение в разряде десятков, затем в разряде сотен и т.д.	+1 +1 а) +53 б) +27 в) +67 34 34 43 84 61 110
5. Процесс сложения считается законченным, когда найдена сумма цифр старшего разряда слагаемых. Прочитать результат.	а) восемьдесят четыре; б) шестьдесят один; в) сто одиннадцать.

Таким образом, сложение многозначных чисел реализуется по разрядно на основании свойств сложения в теоретико-множественной и аксиоматической теориях целых неотрицательных чисел.

Письменное сложение многозначных чисел выполняется «в столбик» на основании правил представленных в виде алгоритма.

Алгоритм вычитания целых неотрицательных чисел

Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного

числа а, не превышающего 18, сводится к поиску по таблице сложения

такого числа с, что b + c = a. Для многозначных чисел практическое выполнение вычитания происходит по особенным правилам, представленным в виде алгоритма [31].

В основании алгоритмов письменного вычитания натуральных чисел лежат следующие теоретические основы [31]:

1) определение десятичной записи числа;

2) дистрибутивность умножения относительно сложения

(∀a, b, c∈ N0)((a + b) ⋅ c = a ⋅ c +b ⋅ c);

3) таблица сложения;

4) свойство десятичной системы счисления: (∀n∈N)(10⋅ 10n = 10n+1);

5) ассоциативность сложения: (∀a, b, c∈ N0)((a+b)+c = a+(b+c));

6) ассоциативность умножения: (∀a, b, c∈ N0)((a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c));

7) правило вычитания числа из суммы чисел

(∀a, b, c∈ N0)(a ≥ c /\ b ≥ c) =>((a + b) – c = (a - c) + b = (b - c) + a);

8) правило вычитания суммы из числа

(∀a, b, c∈ N0)(a ≥ (b + c)) =>(( a - (b + c) = (а - b) - c = (a - c) - b));

9) правило вычитания суммы из суммы (опирается на правилах

вычитания числа из суммы (7) и вычитания суммы из числа (8));

10) дистрибутивность умножения относительно вычитания:

(∀a, b, c∈ N0)((a - b) ⋅ c = a ⋅ c - b ⋅ c);

11) свойство натурального ряда чисел: (∀a∈N0)(а + 1= а′), где а′ - число,

непосредственно следующее в натуральном ряду за числом а;

12) свойство натурального ряда чисел: (∀a∈N0)(а′ - 1 = а).

Рассмотрим алгоритм вычитания многозначных чисел на примере вычисления разности чисел 345 -189 (над знаками равенствами укажем номера используемых теоретических положений).

347 – 169 = (3 ⋅ 102 + 4 ⋅ 10 + 7) – (1 ⋅ 102 + 6 ⋅ 10 + 9) =

= (3 ⋅ 102 – 1 ⋅ 102) + (4⋅ 10 – 6 ⋅ 10) + (7 – 9) =

= (3 – 1) ⋅ 102 + (4 – 8) ⋅ 10 + (5 – 9) =

= (3 – 1) ⋅ 102 + ((4 + 1) – 6) ⋅ 10 + (7 – 9) =

= (3 – 1) ⋅ 102 + ((4 – 6) + 1) ⋅ 10 + (7– 9) =

2,5

= (3 – 1) ⋅ 102 + (4 – 6) ⋅ 10 + (1 ⋅ 10 + (7 – 9)) =

= (3 – 1) ⋅ 102 + (4 – 6) ⋅ 10 + ((1 ⋅ 10 + 7) – 9) =

= (3 - 1) ⋅ 102 + (4 – 6) ⋅ 10 + (17 - 9) =

= (3 - 1) ⋅ 102 + (4 - 6) ⋅ 10 + 8 =

= ((2 + 1) – 1) ⋅ 102 + (3 - 6) ⋅ 10 + 8 =

7,2,5

= (2 - 1) ⋅ 102 + (1 ⋅ 102 +(3 - 6) ⋅ 10) + 8 =

4,6

= (2 - 1) ⋅ 102 + (1 ⋅ 10 ⋅ 10 + (3 - 6) ⋅ 10) + 8 =

= (2 - 1) ⋅ 102 + (1 ⋅ 10 + (3 - 6)) ⋅ 10 + 8 =

= (2 - 1) ⋅ 102 + ((1 ⋅ 10 + 3) – 6) ⋅ 10 + 8 =

= (2 - 1) ⋅ 102 + (13 - 6) ⋅ 10 + 8 =

3 12 1

= (2 - 1) ⋅ 102 + 7 ⋅ 10 + 8 = 1 ⋅ 102 + 7 ⋅ 10 + 8 = 178

Также как и в случае со сложением, выделенная строка в обосновании алгоритма подчеркивает, что вычитание выполняется поразрядно. Поэтому удобнее записывать в столбик:

а) -347

169

178

Сформулируем обобщенную таблицу алгоритма письменного вычитания многозначных чисел (таблица 2).

Таблица 2. Алгоритм письменного вычитания многозначных чисел

Вычитание
Содержание действия	Примеры
1. Записать вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы цифры их соответствующих разрядов располагались одна под другой. Провести горизонтальную черту, под которой затем будет записан результат вычитания.	а) -79 б) - 57 в) -134 23 38 76
2. Вычитание начинать с разряда единиц. Если цифра в разряде единиц уменьшаемого больше или равна цифре в разряде единиц вычитаемого, то найти их разность, записать ее в разряд единиц результата, и перейти к вычитанию в следующем разряде.	а) -79 23 6
3. Если цифра в разряде единиц уменьшаемого меньше цифры в разряде единиц вычитаемого, то отыскать в уменьшаемом ближайший старший разряд, цифра которого отлична от 0. Уменьшить цифру уменьшаемого в этом разряде на 1, при этом цифры во всех младших разрядах уменьшаемого до разряда единиц (если такие есть) увеличить на 9, а цифру в разряде единиц уменьшаемого – на 10. Выполнить вычитание в разряде единиц, записать найденную разность в разряд единиц результата и перейти к вычитанию в следующем разряде.	+1+10 -1+9+10 б) - 57 в) -134 38 76 9 8
4. Аналогичным образом выполнить вычитание в разряде десятков, затем в разряде сотен и т.д.	-1+10 -1+9+10 а) -79 б) -57 в) -134 23 38 76 56 19 68
5. Процесс вычитания считается законченным, когда найдена разность цифр старшего разряда уменьшаемого и вычитаемого. Прочитать результат.	а) пятьдесят шесть; б) девятнадцать; в) шестьдесят восемь.

Таким образом, вычитание многозначных чисел реализовывается по разрядно на основе свойств сложения, вычитания и умножения в теоретико-множественной и аксиоматической теориях целых неотрицательных чисел.

Письменное вычитание многозначных чисел выполняется «в столбик» на основании правил, представленных в виде алгоритма.

1.3 Общие вопросы изучения арифметического материала в начальной школе

Тема «Сложение и вычитание» изучается по концентрам: «Десяток», «Сотня», «Тысяча», «Многозначные числа». Это позволяет последовательно применять ранее усвоенные учащимися вычислительные приемы на более широкой области чисел и тем самым вести непрерывную работу по закреплению и совершенствованию вычислительных навыков.

В Примерной образовательной программе по математике для начальной школы действия сложения и вычитания рассматриваются в разделе «Арифметические действия» (таблица 3).

Таблица 3. Содержание раздела «Арифметические действия»

Содержание изучения

Характеристика деятельности учащихся

Сложение. Слагаемые, сумма. Знак сложения. Таблица сложения. Сложение с нулем. Перестановка слагаемых в сумме двух чисел. Перестановка и группировка слагаемых в сумме нескольких чисел.

Вычитание. Уменьшаемое, вычитаемое, разность. Знак вычитания. Вычитание нуля.

Взаимосвязь сложения и вычитания. Нахождение неизвестного компонента сложения, вычитания.

Устное сложение и вычитание чисел в пределах ста (и в случаях, сводимых к выполнению действий в пределах ста).

Алгоритмы письменного сложения и вычитания многозначных чисел.

Умножение. Множители, произведение. Знак умножения. Таблица умножения. Перестановка множителей в произведении двух чисел. Перестановка и группировка множителей в произведении нескольких чисел. Умножение на нуль, умножение нуля.

Деление. Делимое, делитель, частное. Знак деления. Деление в пределах таблицы умножения. Внетабличное деление в пределах ста. Деление нуля. Деление с остатком.

Взаимосвязь умножения и сложения, умножения и деления, деления и вычитания.

Нахождение неизвестного компонента умножения, деления.

Устное умножение и деление в пределах ста (и в случаях, сводимых к выполнению действий в пределах ста). Умножение и деление суммы на число.

Алгоритмы письменного умножения и деления многозначного числа на однозначное, двузначное, трехзначное число.

Сравнивать разные способы вычислений, выбирать удобный.

Моделировать ситуации, иллюстрирующие арифметическое действие и ход его выполнения.

Использовать математическую терминологию при записи и выполнении арифметического действия (сложения, вычитания, умножения, деления).

Моделировать изученные арифметические зависимости.

Прогнозировать результат вычисления.

Пошагово контролировать правильность и полноту выполнения алгоритма арифметического действия.

Сравнивать разные способы вычислений, выбирать удобный.

Моделировать ситуации, иллюстрирующие арифметическое действие и ход его выполнения.

Моделировать изученные арифметические зависимости.

Прогнозировать результат вычисления.

Пошагово контролировать правильность и полноту выполнения алгоритма арифметического действия.

По мнению С.Е. Царевой [45]: «вычислительные умения - это умение выбирать или конструировать для каждого случая вычислений подходящий алгоритм и правильно его применять».

М.А. Бантова считает, что владение вычислительными алгоритмами - это значит «для каждого случая знать, какие операции, в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро» [4].

В своей работе М. А. Бантова выделяла [4]:

«Вычислительный прием - последовательность операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством».

2) «Вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приемами».

М. А. Бантова считала, что «Сформировать вычислительный навык у ученика – значит показать ему, из каких отдельных действий состоит вычислительный прием и научить выполнять этот прием достаточно быстро» [4].

Стадии формирования вычислительного навыка:

1. Закрепление знания приема. Учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие прием, комментируя выполнение каждой из них вслух и одновременно производя развернутую запись.

2. Частичное свертывание выполнения операций. Учащиеся про себя выделяют их, обосновывают выбор и порядок работы, вслух проговаривают выполнение основных операций.

3. Полное свертывание выполнения операций. Учащиеся про себя выделяют и выполняют все действия.

4. Предельное свертывание выполнения операций. Учащиеся выполняют все операции в свернутом плане, предельно быстро. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений.

Свойства вычислительного навыка, этапы формирования [4]:

1. Правильность – ученик правильно выбирает и выполняет операции, составляющие прием, т. е. правильно находит результат арифметического действия.

2. Осознанность – осознание учеником знаний, на основе которых выбраны операции и установлен порядок их выполнения. Осознанность проявляется в том, что учащийся может объяснить, как он выполнял вычисление.

3. Рациональность – выбор операций из тех возможных, выполнение которых легче других и быстрее приводит к результату арифметического действия. Рациональность непосредственно связана с осознанностью навыка.

4. Обобщенность – умение ученика применить прием вычисления к большему числу случаев, то есть способность перенести прием вычисления на новые случаи. Обобщенность связана с осознанностью вычислительного навыка. Общим для 14 различных случаев вычисления будет прием, основа которого – одни и те же теоретические положения.

5. Автоматизм – выполнение операций учеником быстро и в свернутом виде.

6. Прочность – умение ученика сохранить сформированные вычислительные навыки на длительное время.

1.4. Содержательно-методическая характеристика начального курса математики по программе «Перспектива»

Курс математики по программе «Перспектива» разработан авторским коллективом, в состав которого вошли: Дорофеев Георгий Владимирович, Миракова Татьяна Николаевна, Бука Татьяна Борисовна. Разработаны учебники в двух частях для каждого класса, также в составе УМК присутствуют методические пособия и рекомендации для учителя и предметные тетради с проверочными работами и тестами.

Программа по математике разработана на основе Федерального государственного образовательного стандарта начального общего образования, Концепции духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России, планируемых результатов начального общего образования.

Математика как учебный предмет играет важную роль в развитии младших школьников: ребёнок учится познавать окружающий мир, разрешать жизненно важные проблемы. Математика открывает младшим школьникам удивительный мир чисел и их соотношений, геометрические фигуры, величины и математические закономерности.

В начальной школе данный предмет содействует развитию у учащихся познавательные действия, в первую очередь логические.

Согласно рабочей программе [27]: «В ходе изучения математики у обучающихся формируются регулятивные универсальные учебные действия (УУД): умение ставить цель, планировать этапы предстоящей работы, определять последовательность своих действий, осуществлять контроль и оценку своей деятельности. Содержание предмета позволяет развивать коммуникативные УУД: обучающиеся учатся ставить вопросы при выполнении задания, аргументировать верность или неверность выполненного действия, обосновывать этапы решения учебной задачи, характеризовать результаты своего учебного труда. Приобретённые на уроках математики умения содействуют успешному усвоению содержания иных предметов, учёбе в основной школе, широко используются в дальнейшей жизни».

Исходя из общих положений концепции математического образования изучение математики в начальной школе направлено на достижение следующих целей:

— математическое развитие младшего школьника;

— освоение начальных математических знаний;

— развитие интереса к математике.

Достижение важнейшей цели начального курса математики — формирование у учащихся математической грамотности — связано главным образом с актуализацией языкового компонента содержания обучения, реализацией коммуникативной функции обучения и расширением диалоговых форм работы с учащимися на уроке.

Основные задачи начального курса математики [27]:

развитие числовой грамотности учащихся путём постепенного перехода от непосредственного восприятия количества к «культурной арифметике», т. е. арифметике, опосредствованной символами и знаками;

формирование прочных вычислительных навыков через освоение рациональных способов действий и повышения интеллектуальной ёмкости арифметического материала;

ознакомление с начальными геометрическими фигурами и их свойствами (на основе широкого круга геометрических представлений и развития пространственного мышления);

развитие умения измерять и вычислять величины (длину, время и др.);

освоение эвристических приёмов рассуждений, выбора стратегии решения, анализа ситуаций и сопоставления данных в процессе решения текстовых задач;

формирование умения переводить текст задач, выраженный в словесной форме, на язык математических понятий, символов, знаков и отношений;

развитие речевой культуры учащихся как важнейшего компонента гуманитарной культуры и средства развития личности;

математическое развитие младших школьников, которое включает способность наблюдать, сравнивать, отличать главное от второстепенного, обобщать, находить простейшие закономерности, использовать догадку, строить и проверять простейшие гипотезы;

проявлять интерес к математике, размышлять над этимологией математических терминов;

формирование умения вести поиск информации (фактов, оснований для упорядочения, вариантов и др.);

расширение и уточнение представления об окружающем мире средствами учебного предмета, развитие умения применять математические знания в повседневной практике.

В основе учебно-воспитательного процесса лежат следующие ценности предмета математики [27]:

понимание математических отношений является средством познания закономерностей окружающего мира, фактов, процессов и явлений, происходящих в природе и в обществе (хронология событий, протяжённость по времени, образование целого из частей, изменение формы, размера и т. д.);

математические представления о числах, величинах, геометрических фигурах являются условием целостного восприятия творений природы и человека (памятники архитектуры, сокровища искусства и культуры, объекты природы);

владение математическим языком, алгоритмами, элементами математической логики позволяет ученику совершенствовать коммуникативную деятельность (аргументировать свою точку зрения, строить логические цепочки рассуждений; опровергать или подтверждать истинность предположения);

овладение эвристическими приёмами мыслительной деятельности (сравнение, обобщение, конкретизация, перебор, рассмотрение частных случаев, метод проб и ошибок, рассуждение по аналогии и др.) необходимо ученику для самостоятельного управления процессом решения творческих задач, применения знаний в новых, необычных ситуациях, в том числе и при решении задач межпредметного и практического характера.

В содержании курса в разделе арифметических действий входят следующие разделы: «Арифметические действия», «Работа с текстовыми задачами», «Пространственные отношения. Геометрические фигуры», «Геометрические величины», «Работа с информацией».

В разделе «Арифметические действия», находится сложение, вычитание, умножение и деление. Названия компонентов арифметических действий, знаки действий. Таблица сложения. Таблица умножения. Связь между сложением и вычитанием, умножением и делением. Нахождение неизвестного компонента арифметического действия. Деление с остатком.

Числовое выражение. Установление порядка выполнения действий в числовых выражениях со скобками и без скобок. Нахождение значения числового выражения. Использование свойств арифметических действий в вычислениях (перестановка и группировка слагаемых в сумме, множителей в произведении; умножение суммы и разности на число) [27].

Алгоритмы письменного сложения, вычитания, умножения и деления многозначных чисел. Способы проверки правильности вычислений (алгоритм, обратное действие, оценка достоверности, прикидка результата, вычисление на калькуляторе)[27].

Выводы по Главе 1

Рассмотрены понятия сложения и вычитания целых неотрицательных чисел в теоретико – множественной и аксиоматической теориях.

Согласно теоретико – множественной теории, сложением целых неотрицательных чисел a и b называется бинарная алгебраическая операция, в результате которой получается целое неотрицательное число c, равное числу элементов в объединении множеств А и В.

Вычитанием целых неотрицательных чисел a и b называется частичная бинарная алгебраическая операция, в результате которой получается целое неотрицательное число c= n(A\B).

Согласно аксиоматической теории сложением на множестве целых неотрицательных чисел называется бинарная алгебраическая операция, обозначаемая «+» и удовлетворяющая условиям:

1с. (аN0)(а + 0 = а)

2с. (а, bN0)(a + b = (a + b) )

Вычитанием на множестве целых неотрицательных чисел называется частичная бинарная алгебраическая операция, обратная сложению.

Дано теоретическое обоснование алгоритмов письменного сложения и вычитания целых неотрицательных чисел.

В ходе которого выяснено, что письменное сложение и вычитание многозначных чисел выполняется «в столбик» на основании правил, представленных в виде алгоритма.

Описаны общие вопросы изучения арифметического материала в начальном курсе математики.

Даны определения понятиям «вычислительный прием», «вычислительное умение», «вычислительный навык». Рассмотрены основные свойства вычислительного навыка и этапы его формирования. Приведены основные стадии формирования вычислительных навыков.

Дана содержательно-методическая характеристика начального курса математики по программе «Перспектива».

Данный курс строится на концепции духовно-нравственного развития и воспитания личности гражданина России, что является основой федеральных государственных образовательных стандартов.

Содержание обучения представлено в программе разделами: «Арифметические действия», «Работа с текстовыми задачами», «Пространственные отношения. Геометрические фигуры», «Геометрические величины», «Работа с информацией».

В дополнение к основному материалу, представленному в учебнике, представлены также: рабочие тетради; проверочные работы; тесты; методические пособия и рекомендации для учителя.

Все вышеуказанное в целом содействует успешному усвоению программы младшими школьниками, а также содействует увеличению интереса к предмету, расширению их кругозора и умению мыслить аналитически.

Глава 2. Методические аспекты изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива»

2.1. Особенности методики изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива»

В начальном курсе математики по программе «Перспектива» младшие школьники начинают знакомиться с действиями сложения и вычитания уже в 1 классе. Рассматривается смысл данных арифметических действий, свойства, устные приемы сложения и вычитания однозначных, а затем двузначных чисел.

Изучение приемов письменного сложения и вычитания начинается во 2 классе и продолжается до конца 4 класса. Рассмотрим этапы изучения темы подробнее.

1 этап. Изучение письменных приемов сложения и вычитания двузначных чисел без перехода через десяток.

Первые три урока этого раздела посвящены повторению устных и письменных приемов сложения и вычитания в пределах 20, закреплению умений решать основные типы простых и составных задач за курс 1 класса.

Желательно, чтобы учащиеся при первоначальном ознакомлении с приёмами вычислений давали подробные объяснения выполняемым действиям. По мере того, как тот или иной приём будет усвоен, эти рассуждения можно постепенно сокращать. Например: «Десятки складывают с десятками, а единицы — с единицами; единицы вычитают из единиц, а десятки — из десятков». Такие пояснения необходимы, например, при вычислении сумм вида 35 + 2 и 2 + 35.

На столах у детей пучки палочек (по 10 палочек) и палочки россыпью. Дети откладывают 3 десятка и 5 единиц и прибавляют к 35 число 2. Далее учащиеся на вопрос: «Куда они положили 2 палочки — к пучку или палочкам россыпью?» Как только кто–либо из них скажет, что пучки палочек — это десятки, а палочки россыпью и число 2 — это единицы. Ребята сделают вывод (единицы складываются единицами).

Такие задания способствуют лучшему усвоению изучаемых приемов вычислений, овладению умениями обосновывать действия и интерпретировать их с помощью наглядного материала [17].

Письменные способы решения примеров 35 + 2 и 2 + 35 учитель показывает на доске, объясняет, как записывать числа при сложении столбиком (рис. 1).

Рис.1. Пример объяснения учебного материала [21]

На этих уроках учитель продолжает знакомить детей с новыми устными и письменными приемами сложения и вычитания двузначных чисел без перехода через десяток:60 + 24, 56 − 20, 56 − 2, 23 + 15, 69 − 24.

Важно, чтобы учащиеся хорошо усвоили, что при выполнении сложения и вычитания в столбик десятки пишут под десятками, а единицы — под единицами. С этой целью полезно использовать задания на моделирование рассматриваемых алгоритмов действий с помощью разнообразного счетного материала, в которых требуется объяснить по рисунку, как выполнили действия (рис. 1-4).

Рис.2. Пример объяснения учебного материала [21]

Рис.3. Пример объяснения учебного материала [21]

Рис.4. Пример объяснения учебного материала [21]

В учебнике каждый новый вычислительный прием иллюстрируется с помощью пучков палочек и отдельных палочек, а также сопровождается подробными пояснениями и записями, в том числе и с использованием письменных вычислений. Это позволяет учащимся не только лучше понять и усвоить алгоритм вычислений на оперативном уровне, но и научиться проводить рассуждения.

2 этап. Изучение письменных приемов сложения и вычитания двузначных чисел с переходом через десяток.

По своему содержанию задания этого этапа не должны вызвать затруднений у учащихся, и они могут легко найти решение. Однако на этом этапе способы вычислений, необходимые для получения ответа, желательно выполнить с помощью предметных множеств, ибо приемы сложения двузначных чисел без перехода через десяток еще не рассматривались.

Письменные способы вычислений 26 + 4 и 3 + 47 учитель показывает на доске, объясняет, как записывать числа при сложении столбиком. Учащиеся записывают примеры в тетрадях (рис.5).

Рис.5. Пример объяснения учебного материала [21]

Основная цель этих уроков заключается в том, чтобы не только продолжить знакомство с новыми устными и письменными приемами сложения и вычитания двузначных чисел с переходом через десяток: 34 + 16, 12 + 48, но и закрепить ранее изученные алгоритмы действий. Заметим, что разъяснение учителем этих алгоритмов действий не должно быть подробным, чтобы учащиеся могли самостоятельно раскрыть суть новых приемов вычислений с опорой на рисунки к объяснительному тексту учебника.

Рис.6. Пример объяснения учебного материала [21]

При изучении приемов сложения и вычитания с числами от 21 до 100 вводятся письменные способы вычислений столбиком, подробно рассматривается соответствующий алгоритм оформления записи и выполнения действий.

Основная задача линии моделей и алгоритмов на этом этапе состоит в том, чтобы наряду с умением правильно проводить вычисления сформировать у учащихся умения оценивать алгоритмы, которыми они пользуются, анализировать их, видеть наиболее рациональные способы действий и объяснять их.

В отличие от первого года обучения во 2 классе требование знания табличных случаев сложения и вычитания с переходом через десяток становится основным.

Заметим, что разъяснение учителем этих алгоритмов действий не должно быть подробным, чтобы учащиеся могли самостоятельно раскрыть суть новых приемов вычислений с опорой на рисунки к объяснительному тексту учебника. Например:

Записываю сумму чисел 48 и 12 в столбик. Пишу десятки под десятками, единицы под единицами.

Складываю единицы.8ед. да 2ед.= 10 единиц - это 1 десяток.

Пишу 0 единиц под единицами1 десяток — запоминаю.

Складываю десятки.4 десятка, да 1 десяток — 5 десятков, да еще 1 десяток запоминали. Всего 6 десятков.

Пишу 6 десятков под десятками.

Читаю - значение суммы чисел 48 и 12 равно 60 .

После рассмотрения случаев сложения, когда в результате получается «круглое» число, осуществляется знакомство с алгоритмами вычитания, когда в результате получается «круглое» число (рис. 7).

Рис.7. Пример объяснения учебного материала [21]

Рис.8. Пример объяснения учебного материала [21]

Оставшиеся два урока посвящены знакомству с новыми приемами сложения и вычитания двузначных чисел с переходом через десяток:

60 − 17 (рис. 9) и 38 + 14 (рис. 13) , закреплению новой терминологии, связанной с понятием числового выражения, совершенствованию вычислительных навыков и умений решать задачи.

Рис.9. Пример объяснения учебного материала [21]

Объяснение учитель может построить следующим образом:

Сколько всего десятков в числе 38? (3 десятка.)

Сколько отдельных единиц в этом числе? (8 единицы.)

С помощью палочек отложите на парте число 38. (Дети откладывают 3 десятка и 8 единицы.)

А сейчас прибавьте к 38число 14. (Дети прибавляют палочки 4 к 8.)Куда вы положили 4 палочки — к пучкам по 10 палочек или к палочкам россыпью? (К палочкам россыпью.)

Что вы сделали, если говорить на языке терминов?(К единицам прибавили единицы.)

Сколько получилось палочек россыпью? (12.)

Свяжем 10 палочек в пучок. Получим еще один десяток палочек.

Сколько всего десятков палочек у нас получилось?(5 десятка палочек.)

Сколько всего палочек? (52.)Запишем решение на доске.

Рис.10. Пример объяснения учебного материала [21]

Какой можно сделать вывод? (Если сумма единиц равна 10, то один десяток прибавляем к десяткам.)

Аналогично рассматриваются случаи вычитания. Алгоритм учащиеся строят самостоятельно, опираясь на действия с палочками и пучками палочек.

Рис.11. Пример объяснения учебного материала [21]

3 этап. Ознакомление учащихся с приемами проверки правильности выполнения сложения и вычитания в столбик.

Учащиеся уже имеют определенные представления о взаимосвязи вычитания и сложения. Они часто использовали их в I и II классах, например, для решения уравнений вида: х + 2 = 7; х - 3 = 5 и т.п.

При этом для нахождения одного из слагаемых им приходилось выполнять вычитание, а при нахождении уменьшаемого - сложение. В III классе, не давая определения вычитания через сложение, можно показать учащимся, как вычитание связано со сложением. Например, обратить внимание детей на то, что вычесть из числа 27 число 15 - значит найти такое число, которое при сложении с числом 15 даст число 27. Это число 12.

27 - 15 = 12, потому что 15 + 12 = 27.

Выявление этой связи должно быть использовано для проверки вычитания с помощью сложения и наоборот. Нужно приучить детей без специального указания или требования со стороны учителя обязательно выполнять проверку результатов вычислений одним из способов. Проверка должна стать необходимой частью решения вычислительной задачи [15].

Так как ознакомление учащихся с проверкой сложения вычитанием основывается на знании зависимости между компонентами и результатом действия сложения, то при подготовке к изучению нового материала желательно повторить эти правила. Изучение нового можно провести с опорой на объяснительный текст учебника. К примеру, учитель предлагает учащимся вычислить сумму 45 + 18 (рис. 12).

Рис.12. Пример объяснения учебного материала [22]

После того как учащиеся получат ответ (63), учитель говорит: «Чтобы убедиться в правильности вычислений, выполняют проверку. Для этого из полученной суммы вычитают одно из слагаемых. Если результат правильный, то, что мы получим в ответе? (Другое слагаемое.) Проверьте: учащиеся первого варианта будут вычитать из суммы 63 первое слагаемое 45, а учащиеся второго — второе слагаемое 18».

Рис.13. Пример объяснения учебного материала [22]

4 этап. Знакомство с приемами рациональных вычислений. Прием округления при выполнении сложения и вычитания двузначных чисел.

Приём округления при сложении. Одним из важнейших приёмов рационального сложения нескольких чисел является округление слагаемых. В качестве подготовительных упражнений перед рассмотрением нового материала могут быть использованы следующие задания:

1) Сколько нужно прибавить, чтобы дополнить до 50 число 48? число 36? число 9? число 27? число 15?

2) Среди данных троек чисел найдите такие пары чисел, сумма которых есть круглое число: 13, 28, 47; 45, 16, 35; 9, 81, 18; 16, 46, 44.

3) Выполните вычисления: 18 + 33, 44 + 16, 57 + 23, 65 + 35, 28 + 12, 15 + 76, 9 + 81, 27 + 54. Можно ли, не вычисляя результата, определить, является ли сумма круглым числом или нет?

Объяснение нового материала можно провести с опорой на объяснительный текст учебника (рис. 14).

Рис.14. Пример объяснения учебного материала [22]

Приём округления при вычитании. Приём округления при вычитании основан на приёме округления при сложении. В самом деле, чтобы найти разность, сначала дополняют уменьшаемое (или вычитаемое) до ближайшего круглого числа. Поэтому предыдущая тема должна быть хорошо усвоена учащимися. Объяснение нового можно провести с опорой на объяснительный текст учебника (рис. 15).

Рис.15. Пример объяснения учебного материала [22]

Рациональные приемы сложения основываются на коммутативном (переместительном) и ассоциативном (сочетательном) законах сложения, а также на свойствах изменения суммы.

Коммутативный закон сложения: от перемены мест слагаемых сумма не изменяется, например: 3 + 7 = 7 + 3. Ассоциативный закон сложения: если заменить какую-либо группу рядом стоящих слагаемых их суммой сумма не изменится, например: 73 + 4 + 27 = (73 + 27) + 4 = 100 + 4 = 104

Свойства изменения суммы: 1) если одно из слагаемых увеличить или уменьшить на некоторое число, то сумма соответственно увеличится или уменьшится на это число. 2) если одно из слагаемых увеличить на некоторое число, а другое уменьшить на это же число, то сумма не изменится. 3) если все слагаемые данной суммы увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то сумма соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз. Рассмотрим рациональные приемы сложения.

1) Округление одного или нескольких слагаемых. Одно или несколько слагаемых заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят сумму «круглых» чисел, а затем соответствующее дополнение (дополнения) до «круглого» числа прибавляют к полученной сумме или вычитают из нее, например: 37 + 49 = 37 + 50 – 1 = 36 + 50 = 86или 68 + 29 = 70 – 2 + 30 – 1 = 100 – 3 = 97.

2) Поразрядное сложение. При сложении нескольких многозначных чисел сначала находят суммы соответствующих разрядных единиц всех чисел, а затем складывают полученные суммы. В частности, при сложении нескольких двузначных чисел сначала находят сумму всех десятков, потом — всех единиц, а затем складывают полученные суммы, например:3 + 29 = (10 + 20) + (3 + 9) = 30 + 12 = 42.

3) Группировка вокруг одного и того же «корневого» числа, например:37 + 34 + 29 (все числа близки к числу 30, его считают корневым) а) находим сумму корневых чисел: 30 * 3 = 90 (так как в сумме 3 слагаемых) б) находим сумму отклонений каждого числа от «корневого»; при этом, если число больше «корневого», отклонение берется со знаком «плюс», если число меньше «корневого» — со знаком «минус»: 7 + 4 – 1 = 10. Тогда: 37 + 34 + 29 = 90 + 10 = 100. Прием округления нескольких слагаемых и прием группировки вокруг одного и того же «корневого» числа не являются основными и необходимыми для изучения.

Все приемы рациональных вычислений, связанные с вычитанием, основываются на законах сложения, правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа, свойствах изменения разности.

Свойства изменения разности:

1) если уменьшаемое увеличилось или уменьшилось на некоторое число, то разность соответственно увеличится или уменьшится на это число.

2) если вычитаемое увеличить или уменьшить на несколько единиц, то разность изменится в противоположном смысле на столько же единиц.

3) если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить на одно и то же число, то разность не изменится.

4) если уменьшаемое и вычитаемое увеличить или уменьшить в одно и то же число раз, то разность соответственно увеличится или уменьшится во столько же раз.

Рассмотрим рациональные приемы вычитания:

1) Увеличение или уменьшение уменьшаемого и вычитаемого на одно и то же число единиц, например: 92 - 26 = (92 - 2) - (26 - 2) = 90 - 24 = 66или 85 - 26 = (85 + 4) - (26 + 4) = 89 - 30 = 59. Прием не является основным и необходимым для изучения.

2) Округление вычитаемого. Вычитаемое заменяют ближайшим к нему «круглым» числом, находят разность, а затем соответствующее дополнение до «круглого» числа прибавляют к полученной разности или вычитают из нее, например: 57 – 28 = 57 – 30 + 2 = 27 + 2 = 29 или 57 – 32 = 57 – 30 – 2 = 25.

3) Разложение вычитаемого на части: 71 – 45 = 71 – 40 – 5 = 31 – 5 = 26.

4) Округление уменьшаемого: 102 – 36 = 100 + 2 – 36 = (100 - 36) + 2 = 64 + 2 = 66.

5) Поразрядное вычитание. При вычитании нескольких двузначных чисел сначала находят разность всех десятков, потом — всех единиц, а затем складывают полученные разности, например:29 + 13 = (20 - 10) + (9 - 3) = 10 + 6 = 16.

5 этап. Изучение письменных приемов сложения и вычитания трехзначных чисел.

Этот материал можно ввести по аналогии с соответствующими случаями сложения и вычитания двузначных чисел. Особое внимание следует уделить вопросу рационализации вычислений, а счёт использования наиболее эффективного приёма выполнения действий. Учащиеся должны осознать, что письменные способы вычислений следует использовать лишь в трудных случаях, а во всех остальных целесообразно производить вычисления устно. При этом учащиеся должны понять, что устные вычисления можно выполнять разными способами, а письменные — только одним (рис. 16).

Рис.16. Пример объяснения учебного материала [23]

6 этап. Знакомство с приемами рациональных вычислений. Группировка слагаемых.

Приемы рациональных вычислений имеют в основе хорошее знание свойств арифметических действий, знание порядка выполнения действий и умение изменять этот порядок в тех случаях, когда это позволяют законы сложения. К приемам рациональных вычислений можно также отнести приемы, облегчающие устное сложение: понимание закономерности изменения результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов.

Цель применения приемов рациональных вычислений — упрощение числовых выражений, приведение их к наиболее простой для вычислений форме.

156 + 44 + 97= 156 + (4 + 40) + 97=(156 + 4) + 40 + 97 = 160 + 40 + + 97 = 200 + 97 = 297 — применили разрядное разложение числа 44 и группировку слагаемых.

497 + 228 = 497 + (3 + 225) = (497 + 3) + 225 = 500 + 225 = 725 -применили замену слагаемого суммой удобных слагаемых и группировку слагаемых.

Первыми приемами рациональных вычислений можно считать все свойства сложения, с которыми дети знакомятся в процессе освоения вычислительной деятельности.

Например: 73 + 138 + 107 + 50 + 42=(73+107)+(138+42)+50=410- применили переместительное и сочетательное свойство сложения: слагаемые переставили местами для удобства вычислений, а затем заменили сумму двух соседних слагаемых ее значением (рис. 17).

Рис.17. Пример объяснения учебного материала [24]

7 этап. Знакомство с приемами рациональных вычислений. Прием округления при выполнении сложения и вычитания трехзначных чисел.

Новый материал в учебнике для 3 класса начинается с раздела «Свойства арифметических действий». Дети изучают способы прибавления числа к сумме и суммы к числу, вычитания числа из суммы и суммы из числа, учатся находить значения выражений разными способами и наиболее удобным способом, знакомятся с различными способами проверки действий сложения и вычитания, изучают новые приёмы устных вычислений, связанные с округлением компонентов действий, учатся использовать эти приёмы для рационализации вычислений, решать задачи различными способами.

Далее сначала рассматриваются случаи сложения и вычитания без перехода через сотню (560 ± 30, 560 ± 300), а потом более сложные случаи сложения и вычитания с переходом через сотню (70 + 50, 140 − 60). Следующую группу упражнений составляют все оставшиеся случаи сложения и вычитания круглых чисел, которые ещё не вошли в предшествующие группы упражнений (430 + 250,370 − 140, 430 + 80).

Далее рассматривают правило вычитания суммы из суммы, а затем раскрывают прием письменного вычитания. Первыми вводятся самые легкие случаи вычитания вида:563-321. Детям предлагается вычислить результат устно и выполнить подробную запись приема вычисления:

563-321=(500+60+3)-(300+20+1)=(500-300)+(60-20)+(3-1)=242.

Они сами догадываются, что проще и быстрее найти результат, если записать пример столбиком, как при сложении.

После рассматривают случаи вычитания чисел с нулями в середине или на конце уменьшаемого и вычитаемого. Перед их включением целесообразно повторить действия с 0 .

Наиболее трудным является решение примеров вида: 900-547, 906-547, 1000-456. Затруднения здесь возникают в связи с тем, что преобразование одних разрядных единиц в другие приходится выполнять несколько раз.

Тот же прием можно использовать в виде «округление одного или нескольких слагаемых»:

Слагаемые заменяют ближайшими к ним «круглыми» числами, затем из суммы «круглых» чисел вычитают или прибавляют соответствующие дополнения.

697 + 145 = (700 + 145) - 3 = 845 - 3 = 842

286 + 175+394 = 300+200+400-(14 + 25+6) = 855

Рис.18. Пример объяснения учебного материала [24]

8 этап. Изучение письменных приемов сложения и вычитания многозначных чисел.

Сложение и вычитание многозначных чисел изучается одновременно. Подготовительную работу к изучению темы начинают еще при изучении нумерации многозначных чисел: повторяют устные приемы сложения и вычитания и свойства действий, на которые они опираются (8400+600, 9800-700) повторяют письменные приемы сложения и вычитания трехзначных чисел; сложение и вычитание разрядных чисел с пояснениями (6 сот. + 7 сот.=13 сот.=1 тыс. 3 сот.).

При ознакомлении с письменным сложением и вычитанием многозначных чисел учащиеся решают примеры, где каждый последующий включает в себя предыдущий (752+246, 4752+3246, 54752+43246).

После решения таких примеров учащиеся делают вывод, что письменное сложение и вычитание многозначных чисел выполняют так же, как и письменное сложение, и вычитание трехзначных чисел.

Далее случаи сложения и вычитания вводятся с нарастающей трудностью: постепенно увеличивается число переходов через разрядную единицу; включаются случаи вычитания, когда в уменьшаемом содержатся нули; изучается сложение и вычитание именованных чисел. Знакомясь с новыми случаями, дети сначала дают подробные пояснения вычислений. После того как дети усвоят прием вычисления, переходят к сокращенным пояснениям решения. Краткие пояснения способствуют выработке навыков быстрых вычислений.

При изучении сложения и вычитания многозначных чисел важно уделить внимание, устным приемам выполнения этих действий, иначе, овладев письменными приемами, дети начинают их применять как для письменных, так и для устных случаев. С этой целью необходимо при решении примеров предлагать учащимся самим выбирать примеры, которые они могут решить устно (с записью в строчку), и лишь наиболее трудные примеры решать с помощью письменных приемов (в столбик).

Авторы программы подробно разбирают алгоритм вычитания на примере решения задачи: «В первом поселке проживает 24837 жителей, а во втором – на 9518 человек меньше. Сколько жителей во втором поселке?»

Рис.19. Пример объяснения учебного материала [24]

Затем повторяется правило: «При вычитании многозначных чисел столбиком вычитают единицы из единиц, десятки из десятков и т.д.

Предлагается выполнить проверку вычислений двумя способами:

1 способ: 9518+15319=24837

2 способ: 24937-15319=9518

Таким образом, повторяется не только взаимосвязь между сложением и вычитанием, но и способы нахождения неизвестных компонентов действия вычитания.

Аналогично рассматривается и алгоритм сложения многозначных чисел.

Рис.20. Пример объяснения учебного материала [24]

Вслед за изучением сложения и вычитания многозначных чисел приступают к сложению и вычитанию составных именованных чисел, выраженных в метрических мерах, так как приемы этих вычислений сходны. Умение выполнять действия над именованными числами необходимо для решения задач. Действия над составными именованными числами можно выполнять по разному: либо сразу складывать (вычитать) единицы одинаковых наименований, начиная с низших, попутно выполняя соответствующие преобразования, либо сначала преобразовать данные числа в простые именованные числа с одинаковыми наименованиями, выполнить действия над ними как над отвлеченными числами и выразить полученный результат в более крупных единицах измерения. И тот и другой прием показывают учащимся.

Вычисления именованных чисел, выраженных в мерах времени, сложнее, так как единицы времени находятся в недесятичных соотношениях. На это специально обращают внимание детей, предлагая им сравнить решение примеров (т.е. найти сходное и различное в приемах вычислений).

Таким образом, можно выделить следующие особенности изучения письменных алгоритмов сложения и вычитания по программе «Перспектива»:

Устные приемы рассматриваются одновременно с письменными. Показывается возможность записи как в строчку, так и в столбик.

Алгоритмы не даются учащимся в готовом виде, они должны их самостоятельно вывести при помощи учителя с опорой на предметные действия с пучками палочек и отдельными палочками.

Сложность изучаемых алгоритмов возрастает постепенно. Сначала даются алгоритмы без перехода через разряд, затем с переходом.

Сложение рассматривается одновременно с вычитанием. Данная взаимосвязь используется при выполнении проверки правильности вычислений.

Подробно изучаются приемы рационализации вычислений.

Между тем, следует отметить, что авторы не разводят понятия устного и письменного приема вычисления, даже устные приемы предлагают записывать в столбик.

Кроме того, в учебниках имеются образцы записи в столбик, когда первое слагаемое однозначное, а второе - двузначное число. Это не типично для школьного курса математики, т.к. согласно традиционного подхода для удобства выполнения вычислений, на первое место записывается число, значность которого больше.

Имеются особенности и в формулировках алгоритма. Например, при выполнении алгоритма сложения многозначны чисел используется формулировка «1 десяток относим к десяткам».

Рис.21. Пример объяснения учебного материала [24]

Согласно традиционного подхода использовалась бы другая формулировка: «19 единиц – это 1 десяток и 9 единиц. 9 записываем под единицами, а один десяток запомним и прибавим к десяткам после их сложения».

Таким образом, в программе имеются как схожие, так и отличные от традиционного подхода черты. Поэтому данный подход требует дополнительного изучения.

Опытно-экспериментальная работа по теме квалификационного исследования проводилась на базе БОУ города Омска «Лицей №54». В ней приняли участие 34 учащихся 2 «Б» класса, обучающихся по программе «Перспектива» (автор программы по математике Г.В. Дорофеев, Т. Н. Миракова, Т. Б. Бука).

Опытно-экспериментальная работа состояла из трех этапов:

1) констатирующего (сентябрь - ноябрь 2021 года);

2) формирующего (декабрь 2021 года – апрель2022 года);

3) контрольного (май 2022 года).

Целью первого констатирующего этапа опытно-экспериментальной работы являлось определение уровня сформированности алгоритмов письменного сложения и вычитания обучающихся.

Задания проверочных работ (см. Приложение 1) были составлены автором ВКР в силу отсутствия единых стандартизированных методик диагностики по данной теме. На выполнение работы обучающимся отводилось 20 минут. Перед этим был проведен инструктаж по правильному оформлению выполненных заданий. В случае затруднений по заполнению, обучающийся мог обратиться за помощью к учителю.

Результаты выполнения проверочной работы №1 обобщены в Таблице 1 (Приложение 2).

Проиллюстрировать результаты выполнения проверочной работы №1 можно с помощью следующей диаграммы (рис. 22).

Рис.22. Результаты проведения проверочной работы

на констатирующем этапе опытно-экспериментальной работы

Задания работы проверяли следующие знания и умения учащихся:

1) сложение двузначных чисел без перехода через разряд;

2) вычитание двузначных чисел без перехода через разряд;

3) сложение двузначных чисел с переходом через один разряд;

4) вычитание двузначных чисел с переходом через один разряд.

Результаты выполнения проверочной работы №1 показали, что:

одинаково успешно дети справились с заданиями на сложение двузначных чисел без перехода через разряд, сложение двузначных чисел с переходом через один разряд (100%);

сложным для учащихся оказалось задание на вычитание двузначных чисел без перехода через разряд, вычитание двузначных чисел с переходом через один разряд (88%);

Средняя результативность выполнения составили 94%.

Таким образом, результаты первого этапа опытно-экспериментальной работы позволяют сделать вывод о готовности обучающихся экспериментального класса к изучению темы «Алгоритмы письменного сложения и вычитания» во 2 «Б» классе по программе «Перспектива».

Проверочная работа №2 (Приложение 2) определяла усвоение таких знаний и умений как:

сложение трехзначных чисел без перехода через разряд;

вычитание трехзначных чисел без перехода через разряд;

сложение трехзначных чисел с переходом через разряд;

вычитание трехзначных чисел с переходом через разряд.

Результаты выполнения проверочной работы №2 обобщены в таблице 2 (Приложение 4.)

Проиллюстрировать результаты выполнения проверочной работы №2 можно с помощью следующей диаграммы (рис. 23).

Рис.23. Результаты выполнения проверочной работы на

констатирующем этапе опытно-экспериментальной работы

Результаты выполнения проверочной работы №2 показали, что:

Успешнее всего дети справились с заданиями на сложение трехзначных чисел без перехода через разряд (97%), вычитание трехзначных чисел без перехода через разряд(85%) и сложение трехзначных чисел с переходом через разряд (94 %);

Сложным для учащихся оказалось задание на вычитание трехзначных чисел с переходом через разряд (59 %);

Средняя результативность выполнения заданий –84%.

На формирующем этапе осуществлялась разработка, оформление технологических карт и проведение уроков по изучение письменного алгоритма сложения и вычитания, содержание которых ставит своей целью формирование соответствующих умений у младших школьников по программе «Перспектива»

Работа на уроке начиналась с математического диктанта, что способствовало отработке умения по определению классов и разрядов многозначных чисел. В ходе проверки было организовано обсуждение, где дети поясняли то или иное задание для одноклассников.

Работа на уроках организовывалась в основном во фронтальной и индивидуальной формах взаимодействия с учетом системно-деятельностного подхода. Дети сами «открывали» знания в процессе частично-поисковой, исследовательской деятельности, сами объяснили, как надо действовать в новых условиях. Во фронтальной работе использовался прием, когда один обучающийся работает у доски, остальные на местах, после чего происходила фронтальная проверка. Использовались приемы самопроверки и взаимопроверки.

На уроке по теме «Сложение и вычитание без перехода через десяток» (Приложение 5) ребята знакомятся с приемами письменных вычислений, работают с учебником и дополнительными материалами по теме. Учатся решать примеры двумя способами и определять для себя наиболее удобный способ , а также учатся решать задачи в два действия. На данном уроке внимание акцентируется в основном на закреплении знаний, задача учителя – закрепить уже умеющие знания у обучающихся.

На уроке по теме «Письменное сложение двузначных чисел с переходом через десяток» (Приложение 6) обучающиеся подробно рассматривают алгоритм письменного сложения и двухзначных чисел с переходом через десяток, учатся находить ошибки в вычислениях, отрабатывают навыки работы по алгоритму, а также решают задачи с использованием изученных приемов.

На уроке по теме «Вычитание с переходом через десяток. Приёмы вида 30-4» (Приложение 7) ребята знакомятся с письменным приемом вычитания 30-4, работают с учебником и дополнительными материалами по теме. Учатся решать примеры двумя способами и определять для себя наиболее удобный способ, а также учатся решать задачи в два действия. На данном уроке внимание акцентируется в основном на актуализации знаний, задача учителя – подготовить обучающихся к усвоению новых знаний.

Целью контрольного этапа опытно-экспериментальной работы является определение умения детей выполнять алгоритмы письменного сложения и вычитания многозначных чисел.

На данном этапе была проведена проверочная работа №3 (Приложение 3), содержание заданий которой определяется планируемыми результатами изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания по программе «Перспектива». Проверочная работа так же составлена автором ВКР с учетом особенностей построения методики обучения по данному УМК.

Проверочная работа №3 направлена была на контроль таких знаний и умений как:

сложение трехзначных чисел с перехода через разряд;

вычитание трехзначных чисел с переходом через разряд;

сложение многозначных чисел;

вычитание многозначных чисел.

Результаты выполнения проверочной работы №3 обобщены в таблице 3 ( Приложение 4).

Проиллюстрировать результаты выполнения проверочной работы №3 можно с помощью следующей диаграммы (рис. 24).

Рис.24. Результаты выполнения проверочной работы на контрольном этапе опытно-экспериментальной работы

Результаты проверочной работы №3 показали, что:

Наиболее успешно дети справились с заданиями на сложение трехзначных чисел с перехода через разряд (88%), вычитание трехзначных чисел с переходом через разряд(82%) и сложение многозначных чисел (79%);

Сложным для учащихся оказалось задание на вычитание многозначных чисел (62%);

Средняя результативность выполнения заданий – 78%.

Сравним результаты выполнения проверочных работ №2 и №3 на констатирующем и контрольном этапах опытно-экспериментальной работы (рис. 25).

Рис.25. Сравнительные результаты выполнения проверочных работ

на констатирующем и контрольном этапах

опытно-экспериментальной работы

Таким образом, можно сделать вывод о том, что наиболее успешно обучающиеся справились с заданиями проверочной работы №2, а задания проверочной работы №3 стали самыми сложными для детей. Средняя результативность выполнения проверочных работ составила 81%, что является высоким показателем. Исходя из вышесказанного можно сделать вывод о том, что обучающиеся 2 «Б» класса на высоком уровне усвоили материал темы «Алгоритмы письменного сложения и вычитания» УМК «Перспектива».

Результаты опытно-экспериментальной работы позволяют сделать вывод о результативности методики изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива».

Выводы по Главе 2

В ходе решения поставленных в исследовании задач были достигнуты следующие результаты:

Рассмотрены особенности методики изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива».

В начальном курсе математики по программе «Перспектива» младшие школьники начинают знакомиться с действиями сложения и вычитания уже в 1 классе. На первых уроках по теме рассматривается смысл данных арифметических действий, свойства, устные приемы сложения и вычитания однозначных, а затем двузначных чисел.

Изучение приемов письменного сложения и вычитания начинается во 2 классе и продолжается до конца 4 класса. Оно делится на несколько этапов.

1) Изучение письменных приемов сложения и вычитания двузначных чисел без перехода через десяток.

2) Изучение письменных приемов сложения и вычитания двузначных чисел с переходом через десяток.

3) Ознакомление учащихся с приемами проверки правильности выполнения сложения и вычитания в столбик

4) Знакомство с приемами рациональных вычислений. Прием округления при выполнении сложения и вычитания двузначных чисел

5) Изучение письменных приемов сложения и вычитания трехзначных чисел.

6) Знакомство с приемами рациональных вычислений. Группировка слагаемых.

7) Знакомство с приемами рациональных вычислений. Прием округления при выполнении сложения и вычитания трехзначных чисел.

8) Изучение письменных приемов сложения и вычитания многозначных чисел.

Каждый из этих этапов был подробно рассмотрен в параграфе.

В ходе изучения темы дети освоят письменные приемы сложения и вычитания двузначных чисел с записью вычислений столбиком. Научатся проверять правильность выполнения сложения и вычитания, используя знание связи между компонентами и результатом каждого из этих арифметических действий. Обучающиеся усвоят алгоритм письменного сложения и вычитания и будут уверенно выполнять эти действия, научатся выполнять проверку устных и письменных вычислений с трёхзначными числами, усвоят алгоритмы письменных вычислений, овладеют умениями складывать и вычитать многозначные числа в пределах миллиона.

Описана опытно-экспериментальная работа по определению результативности методики формирования у младших школьников умения выполнять алгоритмы письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива».

В ходе проведения опытно-экспериментальной работы была доказана результативность методики формирования приемов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива». Опытно-экспериментальная работа проводилась на базе БОУ города Омска «Лицей №54» и состояла из трех этапов: констатирующего, формирующего и контрольного.

Заключение

В ходе выполнения выпускной квалификационной работы были достигнуты следующие результаты.

Раскрыты теоретические основы изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива».

Дана содержательно-методическая характеристика начального курса математики по программе «Перспектива».

Рассмотрены методические аспекты изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики: особенности методики изучения данных алгоритмов по программе «Перспектива».

1) Изучение письменных приемов сложения и вычитания двузначных чисел без перехода через десяток.

2) Изучение письменных приемов сложения и вычитания двузначных чисел с переходом через десяток.

3) Ознакомление учащихся с приемами проверки правильности выполнения сложения и вычитания в столбик

5) Изучение письменных приемов сложения и вычитания трехзначных чисел.

6) Знакомство с приемами рациональных вычислений. Группировка слагаемых.

8) Изучение письменных приемов сложения и вычитания многозначных чисел.

Описана опытно-экспериментальная работа по определению результативности методики изучения алгоритмов письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики по программе «Перспектива», которая включала в себя констатирующий, формирующий и контрольный этапы, на каждом из которых проводилась проверочная работа с целью выявления и коррекции трудностей, возникающих у учащихся на протяжении изучения темы.

Основываясь на результатах выполнения проверочных работ обучающимися на констатирующем и контрольном этапах, можно сделать вывод о том, что у учащихся 2 класса были успешно сформированы умения выполнять алгоритмы письменного сложения и вычитания по программе «Перспектива».

Таким образом, формирование у младших школьников умения выполнять алгоритмы письменного сложения и вычитания в начальном курсе обучения строить с использованием методических подходов и посредством системы практических упражнений, разработанных авторским коллективом начального курса математики УМК «Перспектива». Гипотезу исследования можно считать доказанной.

Библиографический список использованных источников и литературы

Аргинская, И.И. Особенности обучения младших школьников математике. / И.И. Аргинская, Е.В. Вороницына // Первое сентября. - 2005. -№24. - С.12-21.

Бантова М.А. Методика преподавания математики в начальных классах: учебное пособие для учащихся школьных отделений пед. училищ (спец. № 2001) — ред. М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова — 3-е изд., испр. — М.: Просвещение, 1984. — 335 с.

Бантова, М.А. Методика преподавания математики в начальных классах: учеб. пособие для учащихся школьных отделений пед.училищ / М.А. Бантова – 3-е изд, испр. – М.: Просвещение, 1984. – 335 с.

Бантова, М.А. Система формирования вычислительных навыков/ М.А.Бантова // Начальная школа. – 1993. – № 11. – С. 38 – 43.

Белошистая, А.В. Методика обучения математике в начальной школе. Курс лекций: учебное пособие для студентов высших пед. учеб.заведений / А.В. Белошистая – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2005. – 370 c.

Волкова, С.И. Математика. Методические рекомендации. 2 класс: учеб.пособие для общеобразоват. организаций / С.И. Волкова, С.В. Степанова, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова. – 3-е изд., дораб. / – М.: Просвящение. – 2017. – 154с.

Волкова, С.И. Математика. Методические рекомендации. 3 класс: учеб.пособие для общеобразоват. организаций / С.И. Волкова, С.В. Степанова, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова. – 3-е изд., дораб./ – М.: Просвящение. – 2017. – 172 с.

Волкова, С.И. Математика. Методические рекомендации. 4 класс: учеб.пособие для общеобразоват. организаций / С.И. Волкова, С.В. Степанова, М.А. Бантова и др. – 2-е изд., дораб./ – М.: Просвящение. – 2017. – 208 с.

Волкова, С.И. Математика. Проверочные работы. 2 класс: пособие для учащихся общеобразоват. организаций / С.И. Волкова – 2-е изд. / – М.: Просвящение. – 2014. – 79 с.

Волкова, С.И. Математика. Проверочные работы. 3 класс: пособие для учащихся общеобразоват. организаций / С.И. Волкова – 2-е изд. / – М.: Просвящение. – 2014. – 97 с.

Волкова, С.И. Математика. Проверочные работы. 4 класс: пособие для учащихся общеобразоват. организаций / С.И. Волкова – 2-е изд. / – М.: Просвящение. – 2014. – 98 с.

Волкова, С.И. Математика. Тетрадь учебных достижений. 2 класс: Учеб.пособие для общеобразоват. организаций / С.И. Волкова / – М.: Просвящение. – 2017. – 95 с.

Волкова, С.И. Математика. Тетрадь учебных достижений. 3 класс: Учеб.пособие для общеобразоват. организаций / С.И. Волкова / – М.: Просвящение. – 2017. – 96 с.

Волкова, С.И. Математика. Тетрадь учебных достижений. 4 класс: Учеб.пособие для общеобразоват. организаций / С.И. Волкова / – М.: Просвящение. – 2017. – 96 с.

Глаголева, Ю.И. Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 2 класс: учеб. пособие для общеобразоват. организаций / Ю.И. Глагоева, И.И. Волковская. – М.: Просвящение: УчЛит, 2017. – 64 с.

Глаголева, Ю.И. Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 3 класс: учеб. пособие для общеобразоват. организаций / Ю.И. Глагоева, И.И. Волковская. – М.: Учебная литература: Просвящение, 2018. – 64 с.

Глаголева, Ю.И. Математика: предварительный контроль, текущий контроль, итоговый контроль: 4 класс: учеб.пособие для общеобразоват. организаций / Ю.И. Глагоева, И.И. Волковская. – М.: Просвящение: Учебная литература, 2018. – 64 с.

Дорофеев, Г. В. Математика. 1 класс. Учеб. для общеобразоват. Организаций с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, Т. Н. Миракова, Т. Б. Бука.; Рос.акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение», – 5-е изд. – М. : Просвещение, 2014. – 128 с.: ил. – (Академический школьный учебник). (Перспектива). – ISBN 978-5-09-031714-6.

Дорофеев, Г. В. Математика. 1 класс. Учеб. для общеобразоват. Организаций с прил. на электрон.носителе. В 2 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Т. Н.Миракова, Т. Б. Бука.; Рос.акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение», – 5-е изд. – М. : Просвещение, 2014. – 95 с.: ил. – (Академический школьный учебник). (Перспектива). – ISBN 978-5-09-031713-9.

Дорофеев, Г. В. Математика. 2 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций. В 2 ч. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, Т. Н. Миракова, Т. Б. Бука. – 7-е изд. – М. : Просвещение, 2015. – 122 с., [2] л. ил. : – (Перспектива). – ISBN 978-5-09-033140-1.

Дорофеев, Г. В. Математика. 2 класс. Учеб. для общеобразоват. Организаций. В 2 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Т. Н. Миракова, Т. Б. Бука. – 7-е изд. – М. : Просвещение, 2015. – 107 с., [2] л. ил. : – (Перспектива). – ISBN 978-5-09-033142-5.

Дорофеев, Г. В. Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. Организаций с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, Т. Н. Миракова, Т. Б. Бука.; – 5-е изд. – М. : Просвещение, 2015. – 123 с., [2] л. ил.: ил. – (Перспектива). – ISBN 978-5-09-034944-4.

Дорофеев, Г. В. Математика. 3 класс. Учеб. для общеобразоват. организаций с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Т. Н. Миракова, Т. Б. Бука.; Рос.акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение», – 4-е изд. – М. : Просвещение, 2014. – 128 с.: ил. – (Академический школьный учебник). (Перспектива). – ISBN 978-5-09-031618-7.

Дорофеев, Г. В. Математика. 4 класс. Учеб. для общеобразоват. Организаций с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 1 / Г.В. Дорофеев, Т. Н. Миракова, Т. Б. Бука.; – 4-е изд. – М. : Просвещение, 2015. – 128 с. : ил. – (Перспектива). – ISBN 978-5-09-034952-9.

Дорофеев, Г. В. Математика. 4 класс. Учеб. для общеобразоват. Организаций с прил. на электрон. носителе. В 2 ч. Ч. 2 / Г.В. Дорофеев, Т. НМиракова, Т. Б. Бука.; – 4-е изд. – М. : Просвещение, 2015. – 126 с., [1] л. ил.: ил. – (Перспектива). – ISBN 978-5-09-034950-5.

Дорофеев, Г. В. Уроки математики. 2 класс: пособие для учителей общеобразоват. учреждений / Г. В. Дорофеев, Т. Н. Миракова; Рос.акад. наук, Рос. акад. образования, изд-во «Просвещение». — М. : Просвещение, 2009. — 125 c. — (Академический школьный учебник) (Перспектива). — ISBN 978-5-09-017966-9.

Дорофеев, Г.В. Математика. 1 – 4 классы. Рабочие программы. Предметная линия учебников системы "Перспектива". ФГОС / Г.В. Дорофеев, Т. Н. Миракова. — М. : Просвещение, 2014. — 137 с. — ISBN 978-5-09-028659-6.

Зайцева, С.А. Методика обучения математике в начальной школе / С.А. Зайцева, И.Б. Румянцева, И.И. Целищева. – М.: Гуманитар. изд. Центр ВЛАДОС, 2008.-192 с.

Истомина, Н. Б. Практикум по методике преподавания математики в начальной школе / Н. Б. Истомина, Ю.С. Заяц. – Смоленск: Издательство Ассоциация XXI век, 2009.- 144с.

Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальной школе / Н.Б. Истомина. – Смоленск: Издательство Ассоциация XXI век, 2009. – 288с.

Истомина, Н.Б. Методика обучения математике в начальных классах: Учеб.пособие для студ. сред. и высш. пед. учеб. заведений. / Н.Б. Истомина. – 4-е изд., стереотип. – М.: Издательский центр «Академия», 2001. – 288 с.

Клецкина, А.А. Организация вычислительной деятельности младших школьников в системе развивающего обучения // Автореферат диссертации на соискание ученой степени канд. пед. наук / А.А. Клецкина — М., 2001. — 20 с.

Луканова Н.Ю. Изучение сложения и вычитания в начальных классах, обеспечивающее преемственность при дальнейшем обучении [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://new-disser.ru/_avtoreferats/01002627021.pdf?ysclid=l377dm9lro.

Лавлинская, Е.Ю. Методика формирования вычислительного навыка по системе общего развития Занкова Л.В / Е.Ю. Лавлинская – В.: Панорама, 2006. –176 с.

Моро М.И., Пышкало А.М. Методика обучения математике в 1-3 классах. - М.: Инфра-М, 2009. - 195 с

Махмутова, Л.Г. Методика обучения математике в начальной школе [Текст]: учебно-практическое пособие / Л.Г. Махмутова. –Челябинск: Изд-во Челяб. гос. пед. ун-та, 2015. –216 с.

Менчинская, Н.А. Вопросы методики и психологии обучения арифметики в начальных классах / Н.А. Менчинская, М.И. Моро — М.: Просвещение, 1965. — 224с.

Методика обучения арифметическим действия и формирования вычислительных навыков [Электронный ресурс]. – Режим доступа: https://pandia.ru/text/80/642/61971.php?ysclid=l377h7ujex.

Методика обучения математике в начальных классах [Электронный ресурс]: – Режим доступа: https://nashol.com/2015041084020/metodika-obucheniya-matematike-v-nachalnih-klassah-kurs-lekcii-bairamukova-p-u- urtenova-a-u-2009.html.

Процесс изучения письменных приёмов сложения и вычитания в математике [Электронный ресурс]: – Режим доступа: https://www.bibliofond.ru/view.aspx?id=699772.

Поморцева С.В. Целые неотрицательные числа в теоретико-множественной и аксиоматической теориях [Электронный ресурс]: – Режим доступа: https://edu1.omgpu.ru/mod/folder/view.php?id=1233807.

Сложение и вычитание в начальной школе [Электронный ресурс]. - Режим доступа : https://nauchforum.ru/studconf/gum/xliii/19354.

Смысл сложения и вычитания. Переместительное свойство сложения. Взаимосвязь сложения и вычитания [Электронный ресурс]: – Режим доступа: https://studopedia.info/5-49821.html.

Темербекова, А.А. Методика преподавания математики: Учеб.пособие для студ. высш. учеб. заведений / А.А. Темербекова. – М.: Гуманит. изд. центр ВЛАДОС, 2003. – 176 с.

Фонин, Д.С. Организация повторения на уроках математики при ознакомлении вновыми вычислительными приемами / Д.С. Фонин, И.И. Целищева. - М.: Начальная школа, 1984. № 2 – 35-38с.

Царева, С.Е. Формирование вычислительных умений в новых условиях / С.Е. Царева // Начальная школа. – 2012. – №11. С. 50–60.

Эрдниев, П.М. Теория и методика обучения математике в начальной школе / П.М. Эрдниев, Б.П. Эрдниев. - М.: Педагогика, 1988. – 208 с.

Приложение 1

Проверочная работа №1

ФИ обучающегося _________________________________________

Выполни вычисления, записав их в столбик.

63+32 68-35

35+48 41-23

Приложение 2

Проверочная работа №2

ФИ обучающегося _________________________________________

Выполни вычисления, записав их в столбик.

234+523 578-346

465+246 834-437

Приложение 3

Проверочная работа № 3

ФИ обучающегося _________________________________________

Выполни вычисления, записав их в столбик.

350+260 642-303

12058+30406 80407-12058

Приложение 4

Таблица 1 – Результат выполнение Проверочной работы №1 по теме «Алгоритмы письменного сложения и вычитания» на констатирующем этапе опытно-экспериментальной работы»

Общее число тестируемых	Успешно выполнили задание
	Сложение двузначных чисел без перехода через разряд	Вычитание двузначных чисел без перехода через разряд	Сложение двузначных чисел с переходом через один разряд	Вычитание двузначных чисел с переходом через один разряд
	1	2	3	4
34	34	30	34	30
100%	100%	88%	100%	88%

Средняя результативность выполнения проверочной работы 94%

Таблица 2 – Результат выполнение Проверочной работы №2 по теме «Алгоритмы письменного сложения и вычитания» на формирующем этапе опытно-экспериментальной работы»

Общее число тестируемых	Успешно выполнили задание
	Сложение трехзначных чисел без перехода через разряд	Вычитание трехзначных чисел без перехода через разряд	Сложение трехзначных чисел с переходом через разряд	Вычитание трехзначных чисел с переходом через разряд
	1	2	3	4
34	33	29	32	20
100%	97%	85%	94%	59%

Средняя результативность выполнения проверочной работы 84%

Таблица 3 – Результат выполнение Проверочной работы №3 по теме «Алгоритмы письменного сложения и вычитания» на контрольном этапе опытно-экспериментальной работы»

Общее число тестируемых	Успешно выполнили задание
	Сложение трехзначных чисел с перехода через разряд	Вычитание трехзначных чисел с переходом через разряд	Сложение многозначных чисел	Вычитание многозначных чисел
	1	2	3	4
34	30	28	27	21
100%	88%	82%	79%	62%

Средняя результативность выполнения проверочной работы 78%

Приложение 5

Технологическая карта урока математики

Программа, автор (ы)

УМК «Перспектива» Л. Ф. Климанова Т. В. Бабушкина

Класс

Раздел (содержательная линия)

Сложение и вычитание

Тема урока

Сложение и вычитание без перехода через десяток

Цели урока

Закрепление знаний об алгоритме сложения вычитания двузначных чисел без перехода через десяток столбиком; закрепление знаний о сложении двузначных чисел без перехода через десяток

Термины и понятия

алгоритм сложения вычитания двузначных чисел без перехода через десяток столбиком

Планируемый результат

Предметные умения

Метапредметные умения (познавательные, регулятивные, коммуникативные)

Личностные умения

П1: выполняет приемы вычитания в пределах 100 без перехода через разряд

П2: решает текстовые задачи на сложение и вычитание

П3: составляет числовые выражения в два – три действия без скобок;

П4: сравнивает числовые выражения и их значения.

М1: формулирует цель деятельности и учитывает ее в ходе выполнения заданий

М2: осуществляет планирование и контроль своей деятельности

М3: участвует в коммуникации со сверстниками и педагогом;

М4: анализирует и обобщает

Л1: принимает и осваивает социальную роль обучающегося;

Л2: проявляет мотивы к учебной деятельности, владеет навыками сотрудничества со взрослыми и сверстниками в разных социальных ситуациях;

Л3: осознает личностный смысл учения.

Организация образовательного пространства

Межпредметные связи

Ресурсы (информационный, демонстрационный, интерактивный материал)

Формы работы

Учебник “Математика” 2 класс Г. В. Дорофеев, Т. Н. Миракова, Т. Б. Бука

Методическое пособие, компьютер, мультимедийнный проектор, экран, презентация

Фронтальная

Групповая

Индивидуальная

ТЕХНОЛОГИЯ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ УРОКА

Содержание деятельности учителя

Содержание деятельности учащихся

Название этапа: Организационный момент

Педагогическая задача: проверить готовность обучающихся к уроку

Планируемые результаты: Л1, Л3

- Добрый день, добрый час!
Как я рада видеть вас.
Друг на друга посмотрели.

И тихонечко все сели.

-Запишите число и классная работа.

Приветствуют учителя. Открывают тетрадь записывают сегодняшнее число, классную работу

Название этапа: Актуализация знаний.

Педагогическая задача: организовать повторение с обучающимися ранее пройденного материала

Планируемые результаты: М1, М2, М4, П1, П4, Л2, Л3.

-Ребята, сейчас будет работа в парах, я буду диктовать числовой ряд, ваша задача будет заключаться в том, чтобы записать в рабочую тетрадь и дописать еще 2 цифры каждого ряда.

2 4 6 8 10

10 20 30 40 50

1 4 7 10 13

100 90 80 70 60

- По какому правилу записаны в них числа?

-давайте проверим, я буду диктовать , а вы сверитесь с вашим ответом в тетради.

-Проверьте, всё ли у вас верно.

Теперь давайте выполним самостоятельную работу по карточкам

Вариант 1.

1. Представь числа в виде суммы разрядных слагаемых

35 =

48 =

93 =

77 =

2.Реши примеры.

30 + 4 48 - 2

30 + 40 74 + 20

50 + 14 74 - 20

48 - 20 100 - 20

Вариант 2.

1. Представь числа в виде суммы разрядных слагаемых

26 =

84 =

39 =

55 =

2.Реши примеры.

40 + 5 85 - 3

40 + 50 47 + 20

70 + 18 47 - 20

85 - 30 80 - 20

Внимательно слушают учителя и выполняю задание в парах и индивидуально.

-12, 14

-60, 70

-16, 19

-50, 40

-в первом числовом ряду число увеличивается на 2

-во втором числовом ряду число увеличивается на 10

-в третьем числовом ряду число увеличивается на 3

-в четвертом числовом ряду число уменьшается на 10.

Выполняют самостоятельную работу по вариантам.

Вариант 1.

1. Представь числа в виде суммы разрядных слагаемых

35 =30+5

48 =40+8

93 =90+3

77 =70+7

2.Реши примеры.

30 + 4 =26 48 – 2=46

30 + 40 =70 74 + 20=94

50 + 14=64 74 – 20=54

48 – 20=28 100 – 20=80

Вариант 2.

1. Представь числа в виде суммы разрядных слагаемых

26 =20+6

84 =80+4

39 =30+9

55 =50+5

2.Реши примеры.

40 + 5=45 85 – 3=82

40 + 50=90 47 + 20=67

70 + 18=88 47 – 20=27

85 – 30=55 80 – 20=70

Название этапа: Выявление причин затруднения и постановка цели деятельности Педагогическая задача: постановка перед обучающимися проблемной ситуации и организация работы с обучающимися по выходу из нее

Планируемый результат (предметные умения): М2, М1, П4, П3, Л1, Л2, Л3

- Откройте учебник на странице 36. Выполните № 1

-Итак посмотрите на примеры. Что мы тут видим? Кто поможет мне это решить у доски ?

-Для чего это сделано ?

-Выполнив этот номер, как вы думаете, какую тему мы сегодня продолжим изучать?

- Какие цели мы поставим перед собой?

Слушаю и отвечают на вопросы учителя, выполняют задание

-Можно я, мы тут видим, что вычитаемое разложили на сумму чисел

-Для того чтобы нам было легче считать

- Вычитание без перехода через десяток

-закрепить вычислительные умения решать столбиков без перехода через десяток

Название этапа: Первичное закрепление с комментированием во внешней речи.

Педагогическая задача: организовать усвоение детьми нового способа действий при решении данного класса задач с их проговариванием во внешней речи

Планируемые результаты: П2, П3, П4, М1, М2, М3, М4, Л2, Л3.

Работа с учебником. Стр 37 № 1

-Что известно в задаче?

-Что нам нужно узнать?

-Как будет выглядеть краткая запись? Кто выйдет к доске и запишет краткую запись?

-Сколько действий будет в задаче? Почему?

-Записываем

-У всех также получилось как и на доске ?

-Отлично, молодцы!

Теперь давайте попробуем решить задачу № 2.Кто поможет мне ее решить у доски?

-Что известно в задаче?

-Что нам нужно узнать?

-Как будет выглядеть краткая запись?

-Сколько действий будет в задаче? Почему?

-Итак, проверти все правильно решено?

-Молодцы!

-Теперь давайте перейдем к задаче № 3. Кто выйдет к доске и поможет мне ее решить ?

-Что известно в задаче?

-Что нам нужно узнать?

-Как будет выглядеть краткая запись?

-Сколько действий будет в задаче? Почему?

Было- 70 ф.

Подарил- 10 ф.

Разложил- ? в 2 альбома поровну

-Проверте, все успели записать ?

-Молодцы!

Открывают учебник. читают задачу, отвечают на вопросы учителя.

-сколько всего копали грядку человек.

-сколько человек осталось на огороде

-Я

-2, потому, что в 1 действии мы узнаем сколько ушло, а вторым действием сколько осталось человек в огороде

-Да

-Я

-сколько тетрадей в одной стопке

-сколько всего тетрадей в трех стопках

-два действия, первым действием мы узнаем сколько тетрадей в двух стопках, а во втором действии узнаем сколько всего тетрадей в 3 стопках.

-Да

-сколько у Степы было фотографий

-сколько фотографий разложил Степа в каждый альбом

-Было- 70 ф.

Подарил- 10 ф.

Разложил- ? в 2 альбома поровну

-два действия, в 1-ом мы узнаем сколько фотографий у Степы осталось, а во втором сколько фотографий в каждом альбоме.

-Да

Название этапа: Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Педагогическая задача: организовать поиск решения учебной проблемы методом подводящего диалога.

Планируемые результаты: Л2, Л3, П2, П3, П4, М1, М2, М3, М4.

Теперь попробуйте самостоятельно решить задачу № 4.Позже проверим, как вы справились.

-Итак, кто выйдет к доске и решит мне эту задачу, а остальные сверяют свое решение с решением у доски.

-Что известно в задаче?

-Что нам нужно узнать?

-Как будет выглядеть краткая запись?

-Сколько действий будет в задаче? Почему?

Белых-5 г.

Подосиновиков-6 г 20 грибов

Подберёзовиков? г

Откройте страницу 38 и самостоятельно выполняем задание№ 5

- Итак, давайте 1 строчку решим вмести , а 2-ую строчку самостоятельно в тетради.

-По 1 одному по цепочке начиная с 1-ого ряда выходим и решаем у доски с последующим комментированием, а остальные решают самостоятельно и сверяют у доски

-45+2=47 18-9-5=4 30*2:3=20 86-60=26 30*3=90

-Итак, посмотрите у всех так ?

-Сложное задание? Сможете 2-ую строчку без меня решить? Отлично решаем. После обязательно сверим с ответом

-Все успели решить ? У всех правильно ?

-Молодцы!

Выполняют самостоятельно и сверяют ответ у доски.

-Я

-Сколько всего мальчик собрал 20 грибов.

-Сколько было подберезовиков

-Белых-5 г.

Подосиновиков-6 г 20 грибов

Подберёзовиков? г

-два, в 1-ом сколько всего было грибов, а именно белых и подосиновиков , а во 2-ом мы узнаем сколько подосиновиков было

Открывают учебник и письменно выполняют задание в тетраде.

-Да

Нет, да сможем

2 строчка

+25 -94

30 50

55 16-8-4=4 40*2:4=20 44 20*5=100

-да, все верно

Название этапа: Рефлексия

Педагогическая задача: закрепить с обучающимися изученный на уроке материал.

Планируемые результаты: П1, П2, П4, М1, М2, Л1,Л2, Л3.

-Какие знания мы закрепляли сегодня на уроке?

-Кто допустил ошибки?

-Нужна ли вам помощь?

-Молодцы, ребята! На этом наш урок подходит к концу.

- закрепляли вычислительные умения решать столбиков без перехода через десяток

-никто

-нет

Название этапа: Домашнее задание

Педагогическая задача: дать пояснения обучающимся по выполнению домашнего задания.

Планируемые результаты:П1, П3, П4, М1, М2, М3, Л1, Л3.

- Запишите домашнее задание.

Учебник правило стр.36; стр.38 №5 (3 строчка), №6

-Прочитайте задачу номер 6 , все вам с ней понятно ? Сложная ?

Дети внимательно слушают учителя и записывают в дневник.

-Все понятно, не сложно

Приложение 6

Технологическая карта урока математики

Программа, автор (ы)

УМК «Перспектива» Л. Ф. Климанова Т. В. Бабушкина

Класс

Раздел (содержательная линия)

Сложение и вычитание

Тема урока

Письменное сложение двузначных чисел с переходом через десяток

Цели урока

создать условия для развития умения выполнять сложение двузначных чисел с переходом через разряд, решать арифметические задачи и восстанавливать цепочки равенств.

Термины и понятия

Планируемый результат

Предметные умения

Метапредметные умения (познавательные, регулятивные, коммуникативные)

Личностные умения

П1: выполняет сложение чисел в пределах 100 с переходом через десяток;

П2: записывает вычисления в столбик;

П3: решает текстовые задачи в одно - два действия.

М1: работает по заданному алгоритму; осуществляет поиск нужной информации, используя материал учебника и сведения, полученные от учителя.

М2: выполняет учебное задание, используя алгоритм ;

М3: проверяет результат выполненного задания и вносит корректировку в случае необходимости;

М4: анализирует и обобщает

Л1: развито логическое мышление и внимание;

Л2: извлекает необходимую информацию;

Л3: имеет элементарные навыки самооценки и самоконтроля результатов своей учебы, понимание причин успеха и неуспеха.

Организация образовательного пространства

Межпредметные связи

Ресурсы (информационный, демонстрационный, интерактивный материал)

Формы работы

Учебник “Математика” 2 класс Г. В. Дорофеев, Т. Н. Миракова, Т. Б. Бука

Методическое пособие, компьютер, мультимедийнный проектор, экран, презентация

Фронтальная

Групповая

Индивидуальная

ТЕХНОЛОГИЯ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ УРОКА

Содержание деятельности учителя

Содержание деятельности учащихся

Название этапа: Организационный момент

Педагогическая задача: проверить готовность обучающихся к уроку

Планируемые результаты: Л1, Л2

- Здравствуйте, ребята! Меня зовут Яна Александровна. Сегодня я проведу у вас урок математики.

-Давайте настроимся на работу, проверим рабочие места, всё ли на месте.

- Присаживайтесь, начнем.

Приветствуют учителя. Открывают тетрадь записывают сегодняшнее число, классную работу

Название этапа: Актуализация знаний.

Педагогическая задача: повторить с обучающимися ранее пройденный материал

Планируемые результаты: М1, М2, П1, Л1,Л2.

-Ребята, посмотрите на доску, ваша задача записать и решить в тетради:

82+ 10= 5+84=

32+42= 26+4=

-Какой пример вызвал у вас затруднение? Почему?

-А вы хотите научиться?

-Итак, тема нашего урока: Сложение и вычитание с переходом через десяток

-Чтобы нам было легче, давайте повторим то, что уже изучили.

-Посмотрите на слайд и найдите ошибки в ответах, запишите в тетради неверные выражения, исправив ошибки.

38-30=8

12-4=7

8+4=13

11+2=13

17-9=8

45-4=5

26+2=28

50+40=90

3*2+3=15

20-2*5=10

20+50=70

8+7=15

-Итак, давайте проверим. Все столько же ошибок нашел? Есть еще здесь ошибки? Молодцы!

-Теперь обратите внимание на следующий сайд (сл. 1) впишите пропущенные числа

49=40+9	91=__+1	__=30+7
75=70+__	__=60+7	86=__+__

-Все справились с заданием? Давайте проверим с образцом, представленном на слайде (сл. 2).

49=40+9	91=90+1	37=30+7
75=70+5	67=60+7	86=80+6

-У всех так? Есть те, кто допустил ошибку?

-Молодцы!

Внимательно слушают, записываю примеры, решают их и отвечают на вопросы учителя.

-82+ 10=92 5+84=87

32+42=74 26+4=30

-5+84

- мы ещё не изучали

-да

-12-4=8

-8+4=12

-45-4=41

-3*2+3=9

-да, больше ошибок нет.

49=40+9	91=90+1	37=30+7
75=70+5	67=60+7	86=80+6

-Да

-Нет ошибок

Название этапа: Открытие новых знаний

Педагогическая задача: постановка проблемной ситуации и организация работы обучающихся по поиску выхода из нее

Планируемый результат (предметные умения): М1, М2, , П1, П2, Л1, Л2.

-Прочитайте математическое выражение, используя арифметические термины.

26+4=30

-Назовите количество разрядных

единиц в 1 слагаемом,

-Назовите количество разрядных

единиц во 2 слагаемом,

-К какому разряду будем

прибавлять 4?

Почему?

-Сколько получилось?

-Запишите в тетради выражение с

комментированием.

-Теперь открываем учебник на стр. 44.

-Посмотрите форму записи этого

выражения в учебнике.(запись в столбик). Объясним алгоритм решения выражения в столбик

Рассмотрите две формы записи

арифметического выражения 3+47 и 47+3,

назовите удобную.

Внимательно слушают учителя отвечают на вопросы. Работают с учебником.

-2 дес. и 6 ед

-4

- к 6 единицам

- переместительное

свойство

-2 десятка и 10 единиц = 30

-к 6 ед.+4 ед, получилось 1 дес.0 ед. 0 пишем под единицами , а 1переносим к десяткам. Складываем 2 дес. и 1 дес., получается 3 дес. 0 ед.

-7 ед.+3 ед., получилось 1 дес. 0 ед. . 0 пишем под единицами , а 1переносим к десяткам. Складываем 4 дес. и 1 дес., получаем 5 дес. 0 ед.

- Удобнее, когда к многозначному

прибавляют двузначное

Название этапа: Первичное закрепление с комментированием во внешней речи.

Планируемые результаты: П1, М1, М2, М3, Л1, Л2.

-Сейчас я хочу, чтобы кто-нибудь вышел к доске и попытался решить пример с последующим комментарием, а остальные записывают себе в тетрадь.

5+65=70 65+5=70

-теперь откройте учебник на стр.45 № 3

-Что Вы здесь заметили ?

-Какой ответ в этих примерах?

-Сейчас я предлагаю Вам разделиться на 2 группы. 1 группа – составить выражения с ответом 60, 2 группа – с ответом 30. Также как в 3 задании.

- в первом случае 5+65=65+5=60+5+5=60+10=70, а во втором случае:

+65

- Везде получается один ответ

-1 группа: 52+8=60; 53+7=60; 54+6=60; 55+5=60;

56+4=60; 57+3=60; 58+2=60; 59+1=60.

-2 группа: 22+8=30; 23+7=30; 24+6=30; 25+5=30; 26+4=30; 27+3=30; 28+2=30; 29+1=30.

Название этапа: Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Педагогическая задача: организовать поиск решения учебной проблемы обучающимися методом подводящего диалога.

Планируемые результаты: Л1, Л2, П1, П3, М1, М2, М3.

-Сейчас самостоятельно выполняем задания № 1, 2 на с. 45 учебника

-Итак все справились с задание ? Молодцы!

-Теперь давайте выполним задание № 4 на стр. 45. Сначала самостоятельно, а потом совместно со мной.

-Итак, какой ответ на 1 вопрос?

-Какой ответ на 2 вопрос задачи ?

-Какой еще мы можем задать к этой схеме вопрос?

-Верно, а как ответ будет на этот вопрос

-Какой еще вопрос мы можем с Вами придумать?

-Молодцы! Какое решение будет здесь?

-Верно, молодцы!

Слушают комментарии учителя и выполняют самостоятельно задание.

-1 задание:

+62

70;

+ 35

+81

90.

-2 задание:

7+53=53+7=50+3+7=50+10=60;

5+65=65+5=60+5+5=60+10=70;

9+21=21+9=20+1+9=20+10=30.

-Да

-1)10 кур, 8 гусей, 6 уток

2) 10-6= 4 (уток)-меньше, чем кур

-на сколько кур больше, чем гусей?

-10-8=2 (кур)-больше, чем гусей.

-На сколько больше гусей, чем уток?

-8-6=2 (гуся)-больше, чем уток

Название этапа: Рефлексия

Педагогическая задача: закрепить изученный материала на уроке.

Планируемые результаты: П1, М1, М2,М3, М4, Л3.

-Итак, что нового открыли для себя?

-Какое задание вызвало затруднение? Почему?

-Какое задание показалось самым интересным? Почему?

Слушают учителя и отвечают на вопросы.

-новый способ сложения и вычитание с переходом через десяток

-3+47, так мы еще не знали темы

-4 задание было очень интересно его решать, заставляет поразмышлять

Название этапа: Домашнее задание

Педагогическая задача: дать пояснения обучающимся по выполнению домашнего задания .

Планируемые результаты: П1, П3, М1, М2, М3, Л1, Л2.

- Запишите домашнее задание.

- стр. 45 задание №5, №6. Прочитайте? Все понятно, что нужно сделать?

Слушают учителя и отвечают на вопрос учителя

-Да, все понятно

Приложение 7

Технологическая карта урока математики

Программа, автор (ы)

УМК «Перспектива» Л. Ф. Климанова Т. В. Бабушкина

Класс

Раздел (содержательная линия)

Сложение и вычитание

Тема урока

Вычитание с переходом через десяток. Приёмы вида 30-4

Цели урока

Познакомить с приёмом вычитания вида 30-4, совершенствовать умение решать задачи, примеры на вычитание с переходом через десяток

Термины и понятия

Вычитание с переходом через десяток

Планируемый результат

Предметные умения

Метапредметные умения (познавательные, регулятивные, коммуникативные)

Личностные умения

П1: выполняет вычитание с переходом через десяток, в том числе и вида

П2:составляет, понимает и объясняет простейшие алгоритмы (план действий) при работе с конкретным заданием;

М1: самостоятельно или под руководством учителя составляет план выполнения учебных заданий, проговаривая последовательность выполнения действий;

М2: добывает новые знания: находит ответы на вопросы, используя учебник и информацию, полученную на уроке

М3: формулирует высказывания, используя математические термины; участвовать в диалоге; слушает и понимает других, высказывает свою точку зрения на события, поступки; оформляет свои мысли в устной форме; работает в паре

Л1: развитое логическое мышление и внимание;

Л2:у извлекает необходимую информацию;

Л3: обладает такими качествами, как самостоятельность, дисциплинированность,

Организация образовательного пространства

Межпредметные связи

Ресурсы (информационный, демонстрационный, интерактивный материал)

Формы работы

Учебник “Математика” 2 класс Г. В. Дорофеев, Т. Н. Миракова, Т. Б. Бука

Методическое пособие, компьютер, мультимедийнный проектор, экран, презентация

Фронтальная

Индивидуальная

Групповая

ТЕХНОЛОГИЯ ИЗУЧЕНИЯ ТЕМЫ УРОКА

Содержание деятельности учителя

Содержание деятельности учащихся

Название этапа: Организационный момент

Педагогическая задача: проверить готовность обучающихся к уроку

Планируемые результаты: Л1, Л2, Л3

- Здравствуйте, ребята!

-Давайте настроимся на работу, проверим рабочие места, всё ли на месте.

- Присаживайтесь, начнем.

Приветствуют учителя. Проверяют свою готовность к уроку.

Название этапа: Актуализация знаний.

Педагогическая задача: повторить с обучающимися ранее пройденный материал

Планируемые результаты: М1, М2, М3, Л1,Л2.

- Ребята давайте для начала мы потренируемся в вычислениях.

Математический диктант:

Представьте число 57 в виде суммы разрядных слагаемых.

- А как еще можно представить число 57 суммой?

Найдите разность чисел 13 и 5.

24 уменьшите на 4.

Уменьшаемое 64, вычитаемое 3. Найдите разность..

Как вы считаете, какой ответ верный в примере?

40 – 7 = 27; 40 – 7 =33; 40 – 7 = 13

- Зачем мы проводим математический диктант или устный счет?

-Чем же мы будем заниматься на уроке?

-Верно, сегодня мы научимся решать примеры вида 30- 4

Слушают учителя отвечают на вопросы, выполняют задания. .

-50+7

-40+17, 30+27

-13-5=7

-24-4=20

-64-3=61

-40-7=33

- Чтобы тренироваться в устных вычислениях, учиться решать в уме быстро

-Решать примеры на вычитание 30 - 4

Название этапа: Открытие новых знаний

Педагогическая задача: постановка проблемной ситуации и организация поиска из нее обучающимися.

Планируемый результат (предметные умения): П1, П2, М3, М2, М1, П1, Л1, Л2.

- Кто сможет объяснить решение?

-Существует еще один способ разности чисел. Кто-нибудь догадался?

-Смотрите, нужно 30 представить в виде суммы чисел 20+10 и вычесть 4, получиться 26

30-4=20+10-4=20+6=26

- Нужно в столбик вычесть

-1

-30

-Нет

Название этапа: Первичное закрепление с комментированием во внешней речи.

Планируемые результаты: П1, П2, М1, М3,Л2, Л1.

-Теперь давайте закрепим наши знания и решим задание №3 на стр. 54.

- Кто поможет мне решить первый пример у доски? А вторым способом?

-Верно, садись. Кто поможет решить 2-ой пример? А вторым способом?

- Верно, садись. Кто поможет решить 3-ой пример? А вторым способом?

- Молодцы, зачем нам нужно знать два способа решения?

- 30-2=20+10-2=20+8=28

-1

-30

-70-5=60+10-5=60+5=65

-1

-70

-40-6=30+10-6=30+4=34

-1

-40

- Чтобы выбирать более удобный

Название этапа: Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

Педагогическая задача: организовать поиск обучающимися решения учебной проблемы методом подводящего диалога.

Планируемые результаты: Л1, Л2, П2, М1, М2, М3.

-Теперь давайте выполним задание №6 на стр.55.

-Кто мне прочтет задачу?

-О чем говорится в задаче?

-Нам известно, сколько всего моляр покрасил за 2 дня забор?

-Нам известно сколько метров моляр покрасил в 1 день?

-Нам известно сколько метров покрасил моляр во второй день?

-А мы можем найти ?

-Каким действием?

-Кто запишет краткую запись у доски ?

-Что мы будем вычитать?

-Кто решит данное действие у доски?

-Что мы этим действием найдем ?

-Молодцы! Теперь запишите все это в тетрадь

-я

-о моляре, который красил забор

-да, 30 метров

-да, 9 метров

-нет

-да

- вычитанием

-1 день- 9 м. 30 м. за 2 дня

2 день-? м.

-30-9

-1

--30

21(м)

- забор покрасил маляр во второй день.

Название этапа: Рефлексия

Педагогическая задача: организовать закрепление изученного материала на уроке.

Планируемые результаты: П1, П2, М1, М2, Л2, Л3.

- Какая цель у нас была на уроке?

-Достигли мы цели урока?

-Сколько способов решения мы открыли? Зачем нам 2 способа?

-Как же можно вычесть однозначное число из двузначного с переходом через десяток?

- Поняли ли вы тему урока?

-Что вам особенно понравилось?

-Что было трудно?

-На сегодня наш урок подошел к концу! Все сегодня хорошо поработали, молодцы !

- Научиться вычитать однозначное число из двузначного с переходом через десяток

-да

-2 способа

-для того, чтобы выбрать для себя наиболее удобный и решать по нему

- в столбик и вычитание в виде суммы, в которой одно из слагаемых число 10

-да

-адание№1

-задача

Название этапа: Домашнее задание

Педагогическая задача: дать пояснения обучающимся по выполнению домашнего задания .

Планируемые результаты: П2, М2, М3, Л1, Л3.

- Запишите домашнее задание на стр. 54 задание №4. Прочитайте? Все понятно, что нужно сделать?

Открывают дневник, записывают домашнее задание отвечают на вопросы учителя.

-да, все понятно.