Конспект урока по математике "Косинус суммы и разности аргументов"

Этап урока

Действия учителя

Деятельность обучающихся

УУД

1. Организационный и мотивация учебной деятельности

Цель этапа:

Создание условий для возникновения внутренней потребности к деятельности

Приветствие, проверка подготовленности к учебному занятию, организация внимания обучающего; пожелание успеха.

Включается в деловой ритм урока.

Настраивается на веру в себя, свои знания, успех.

Коммуникативные: планирование учебного сотрудничества с учителем.

Регулятивные: организация своей учебной деятельности.

Личностные: мотивация учения.

2. Актуализация знаний

-Сегодня самостоятельно предстоит открыть новые знания. Перед тем как совершить открытие, давайте проверим себя, всё ли было понятно и усвоено на предыдущих уроках, имеются ли слабые места. Для этого проведём разминку

Фронтальный опрос:

1) Какой раздел математики мы сейчас изучаем?

2) Какие единицы измерения углов вы знаете?

3) В каких четвертях единичной окружности синус принимает положительное значение?

4) Какая тригонометрическая функция является четной?

1) Упростить

а) cos ( - α)

б) sin(- α)

2) Вычислить

а) cos 30o

б) 2sin 300

в) cos 15o

- С какими трудностями встретились при выполнении этой работы?

-Почему мы не можем вычислить задание в)?

-Предположили можно угол разложить на другие углы.

-Через какие известные нам значения мы могли бы выразить 15 градусов?

-Т.е у нас возникла проблема.

cos 15o= cos (450-300)

- Как прочитать получившееся выражение?

-Как же можно вычислить косинус разности ?

-А зачем это нужно знать ?

Участвуют в работе по повторению, в беседе с учителем, отвечают на поставленные вопросы.

Тригонометрия

градусная, радианная

1и 2

косинус

а) cos α

б) -sinα

а) 1,5

б) 1

в)Возможны затруднения

Предполагаемый ответ: записать формулу, по которой это можно будет сделать.

150=450- 300

-Косинус разности 450 и 300

Предполагаемый ответ: записать формулы по которым это будет возможным сделать.

Чтобы научиться решать подобные примеры

Коммуникативные:

формировать коммуникативные действия, направленные на структурирование информации.

Регулятивные: формировать целевые установки учебной деятельности.

Личностные: формировать навыки самоанализа и самоконтроля.

Познавательные: формировать умения находить ответы на поставленные вопросы;

понимать смысл поставленной задачи

3.Целеполагание и мотивация

Цель этапа:

Обеспечение мотивации учения обучающимися, принятия им целей урока

Ставит проблему и подводит к теме урока. Акцентирует внимание обучающихся на значимость темы.

- Итак, тема урока « Косинус суммы и разности аргументов»

-Какую цель поставим перед собой?

1) вывести формулы для вычисления косинуса суммы и разности двух аргументов;

2) научиться применять эти формулы при выполнении различных преобразований тригонометрических выражений.

-Эта тема играет немаловажную роль, поскольку она имеет непосредственную связь с последующими темами курса математики.

Определяют вместе с учителем цель урока.

Коммуникативные:

формировать коммуникативные действия, направленные на структурирование информации.

Регулятивные: формировать целевые установки учебной деятельности.

Личностные: формировать навыки анализа, творческой инициативности и активности.

Познавательные: уметь выделять существенную информацию из разной информации.

4.Первичное усвоение новых знаний

Цель этапа:

подготовить обучающегося к активному участию при выводе формул для вычисления косинуса суммы и разности двух аргументов

- Вывод формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:

Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол α и на угол β (рис.). Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов ОВ и ОС.

Пусть координаты точки

В (х1; y1), координаты точки С(х2; y2). Из геометрии вспомним определение скалярного произведения векторов

=х1х2 + y1y2 (1)

Выразим скалярное произведение векторов ОВ и ОС через тригонометрические функции углов α и β

Из определения косинуса и синуса следует, чему равны х1,х2 ,y1 ,y2?

-Что нужно сделать, чтобы равенство (1) имело другой вид?

=R2cos α cosβ + R2sin α sinβ = R2(cos α cosβ + sin α sinβ).

-Теперь давайте посмотрим с другой стороны, как найти скалярное произведение векторов через косинус угла?

=| ОВ| *|OC|*cos∟ВОС (2)

-Как выразить ∟ВОС через α и β?

-Запишем равенство (2):

= R2*cos(α – β)

-Что же мы получили?

- Итак, мы получили

cos(α – β)=cos α cosβ +sin α sinβ

-Формула косинуса суммы аргументов может быть выведена из полученной:

Запишите ( α + β) через разность

α – (-β), подставим в формулу

cos(α–(-β))=cosα*cos(-β)+sinα* sin(-β)=cosα*cosβ- sinα *sinβ

-Итак,

cos(α+β)=cos α cosβ -sin α sinβ

Принимают участие в диалоге с учителем

х1 = R cos α,

y1 = R sin α,

х2 = R cos β,

y2 = R sin β.

-Подставить значения в правую часть.

∟ВОС= α — β

R2(cos α cosβ + sin α sinβ)=R2*cos(α – β)

-разделим обе части на R2, получим

cos α cosβ + sin α sinβ=cos(α – β)

Разделились на группы и выводят самостоятельно

Коммуникативные:

уметь четко и грамотно выражать свои мысли при обсуждении изучаемого материала, слушать и понимать речь других.

Регулятивные: сознательно организовывать свою познавательную деятельность; выдвигать свои гипотезы на основе учебного материала.

Личностные: формировать интерес к изучаемому содержанию.

Познавательные: уметь строить рассуждения в форме простых суждений об объектах, устанавливать причинно следственные связи.

5. Первичная проверка понимания

Цель этапа:

-Вернемся к примеру, который предлагался в начале урока

cos 15o= cos (450-300)=

=cos450·cos300 + sin 450·sin300 =

=

Учитель предлагает задание:

cos750=cos(450+300)= =cos450·cos300 – sin450·sin300=

=

Обучающиеся выполняют самостоятельно и записывают ответы в тетради:

Оценивают свою работу.

Коммуникативные: уметь четко и грамотно выражать свои мысли;

строить речевое высказывание в соответствии с поставленными задачами.

Регулятивные: выстраивать алгоритмы деятельности; оценивать учебные действия в соответствии с поставленной задачей

Личностные: формировать навыки анализа, творческой инициативности и активности.

Познавательные: воспроизводить по памяти информацию, необходимую для решения учебных задач.

6. Первичное закрепление

Цель этапа:

Обеспечение закрепления в памяти обучающихся знаний и способов действий, которые ему необходимы для дальнейшего решения и самостоятельной работы.

-Формулу можно применять как слева направо, так и наоборот.

№1 Вычислить:

1) cos370cos80-sin370sin80 = cos(370 + 80) = cos450 =

2) Найди ошибку

cos1070cos170 + sin1070sin170 = cos(1070 + 170) = cos1240

№2 Вычислить , если известно что

Решение:

По условию аргумент y принадлежит второй четверти, а в ней синус положителен. Поэтому ,

Обучающиеся выполняют самостоятельно и записывает ответы в тетради:

Оценивают свою работу.

Коммуникативные: уметь четко и грамотно выражать свои мысли;

строить речевое высказывание в соответствии с поставленными задачами.

Регулятивные: удержать цель деятельности до получения ее результата.

Личностные: формировать навыки анализа, творческой инициативности и активности.

Познавательные: формировать умения по использованию математических знаний для решения различных математических задач и оценки полученных результатов.

7. Подведение итогов урока

Цель: Дать качественную

оценку работы обучающегося.

Организует обсуждение.

-Какую цель ставили перед собой на уроке?

-Смогли ли ее достичь?

Продолжи фразы:

-сегодня на уроке я узнал …

- сегодня на уроке я научился…

- сегодня на уроке я повторил…

-сегодня на уроке мне было трудно...

- Как вы считаете, достаточно хорошо научились применять эти формулы или стоит продолжить отработку навыков применения на следующем уроке?

Обучающиеся отвечают на поставленные вопросы.

Регулятивные:

осуществлять самоконтроль;

Коммуникативные:

высказывать свои суждения, доказывать правоту;

аргументировать, формулировать выводы на основе анализа предметного материала;

Познавательные: систематизировать, обобщить изученное;

анализировать, синтезировать и сравнивать информацию.

8. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению

Цель:

Обеспечение понимания обучающимся цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.

Учитель обращает внимание на Д/З, записанное в электронной тетради:

-На следующем уроке мы продолжим отработку применения этих формул. Вывести формулы sin(α + β) и sin(α - β)

№1Вычислите:

cos 47o cos 17o + sin 47o sin 17o

№2.Вычислите косинусы углов:

а) 150о; б)135о

№3. Вычислите: cos (x + y), если известно, что

sin x = 3/5, 0 < x </2 ;

cos y = – 3/5,< y < 3/2

Обучающиеся просматривают и задают вопросы.

Личностные:

проявлять творческую активность при решении учебной задачи.

Познавательные: уметь осуществлять выбор наиболее эффективных способах решения задач.

9. Рефлексия

Цель этапа:

Инициировать рефлексию обучающегося по поводу психоэмоционального состояния, мотивации, его собственной деятельности и взаимодействия с учителем.

Учитель предлагает оценить работу на уроке!

-Урок очень понравился, мне все было понятно;

- Урок вызвал интерес, я все вспомнил, что учили ранее, но есть вопросы, по которым нужна консультация;

-Урок помог привести в систему знания, но дома некоторые задания самостоятельно выполнить не смогу;

-Урок не понравился, нужна консультация.

Обучающиеся высказывают своё мнение.

Личностные: самоопределение.