Статья «Контрпримеры в курсе математики средней школы»

Сведения об авторе:

Егорова Елена Викторовна

Учитель математики, высшая квалификационная категория

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение городского округа "Город Архангельск" "Средняя  школа № 52 имени Героя Советского Союза Г.И. Катарина"

Архангельская область, город Архангельск

 

Контрпримеры в курсе математики средней школы

Цель работы – исследование контрпримеров в курсе математики средней школы и их значение в методическом и психологическом аспектах.

В ней сформулированы психологические закономерности формирования умений и навыков решения задач, усвоения учебного материала, памяти, внимания, восприятия, мышления, выделения существенных признаков различных объектов и варьирование несущественных признаков, опираясь на которые можно успешно применять контрпримеры в обучении математике.

«Истинно ли утверждение S?» – это, пожалуй, наиболее типичный для математики вопрос, когда утверждение имеет вид: «Каждый элемент класса А принадлежит также классу В: А ⊂ В» доказать, что подобное утверждение истинно, – значит доказать включение А ⊂ В. Доказать, что оно ложно, – значит найти элемент класса А, не принадлежащий классу В, иными словами, привести контрпример.

Вообще говоря, примеры в математике бывают двух типов – иллюстративные примеры и контрпримеры. Первые показывают, почему то или иное утверждение имеет смысл, а вторые – почему то или иное утверждение лишено смысла.

Можно утверждать, что любой пример является в то же время и контрпримером для некоторого утверждения и наоборот.

Так, пример неквадрируемой фигуры является иллюстративным для утверждения: «Существуют неквадрируемые фигуры», а для утверждения «Любая фигура квадрируема» он является контрпримером.

Большая часть математических учебников и пособий посвящена доказательству верных утверждений. В этой работе я хочу обратиться к контрпримерам для ложных утверждений.

Как уже говорилось, в математическом понимании, контрпример – это пример, иллюстрирующий не выполнимость данного утверждения. Заметим, что в методическом понимании контрпример имеет ещё одно значение: контрпример – задача, провоцирующая учащегося на ошибку и позволяющая нарушить неосознанно возникшую ассоциативную связь в процессе изучения теории и решения задач.

Вообще, понятие контрпримера я встретила в работах только одного автора-методиста Грудёнова Якова Иосифовича, а использование контрпримеров в обучении математике описано рядом методистов и психологов (Е.И. Лященко, А.Ф. Эсаулов, Л.Г.Гурьева и др.).

Контрпримеры можно эффективно использовать при формировании понятий, при доказательстве математических утверждений, при решении задач, что способствует осознанию изучаемой теории и нужно использовать, так как умение привести свой контрпример является одним из показателей развития мышления школьника.

§1. Основные понятия и психологические закономерности

①. Основные понятия

1. Ассоциацией называется такая связь двух процессов Р₁и Р₂, протекающих в сознании, при которой первый процесс влечёт за собой возникновение второго.

2. Ассоциация называется обобщённой, если компоненты её членов варьируются в зависимости от условия решаемой задачи и эти вариации влияют на полученный результат.

3. Ассоциация называется константной, если её существенные компоненты всегда неизменны; изменяться в ней могут лишь несущественные компоненты, то есть те, которые не влияют на результат решаемой задачи.

4. Проявление каждой обобщённой ассоциации эквивалентно одному или нескольким умозаключениям.

5. Умения и навыки решения задач есть определённая система ассоциаций, преимущественно обобщённых.

6. Ошибочной обобщённой ассоциацией называется такая ассоциация, при наличии которой учащиеся неверно решают отдельные задачи данного типа либо не догадываются применить к ним известный им способ решения.

7. Стимулирующим звеном называется промежуточный мыслительный процесс, который вводится между двумя другими процессами, протекающими в сознании учащихся, помогая устанавливать связи между ними, углублять понимание и активизировать мыслительную деятельность. В качестве стимулирующих звеньев могут выступать следующие процессы:

1) вспоминание, применение по ходу ознакомления с материалом (или по ходу выполнения упражнений) определений, аксиом, теорем, законов, различных правил, в том числе мнемонических правил, которые как раз и предназначены для лучшего запоминания тех или иных фактов;

2) созерцание, представление наглядных образов (моделей, графиков, рисунков, диаграмм);

3) любая деятельность с ними;

4) оперирование знаками и символами;

5) любые рассуждения, действия, углубляющие понимание.

8. Усвоением учебного материала назовём совокупность процессов, направленных на понимание этого материала, его запоминание, формирование умений и навыков его применения.

②. Закономерности формирования умений и навыков решения задач

I.1. Ассоциация (Р₁; Р₂) образуется, если процессы Р₁ и Р₂, протекающие в нашем сознании, возникают по ходу деятельности и повторяются или непосредственно друг за другом, или с участием стимулирующего звена М. Если это звено в дальнейшем сохраняется, то образуется две ассоциации: (Р₁; М) и (М; Р₂).

I.2. Если существенные компоненты двух процессов, протекающих в нашем сознании, при их повторении друг за другом варьируются, то может образоваться обобщённая ассоциация; если они всегда неизменны – константная.

I.3. Проявление ассоциации в процессе решения задачи сопровождается чувством уверенности в правильности полученного результата, тем самым уменьшается вероятность самоконтроля.

I.4. (Закономерность Шеварева) Если в процессе деятельности соблюдается три условия:

- учащиеся выполняют задания одного типа;

- в этих заданиях неизменно повторяется некоторая особенность;

- осознание этой особенности необязательно для получения верного результата; то степень осознания этой повторяющейся особенности снижается, то есть у учащихся образуется ошибочная обобщённая ассоциация.

I.5. Если какая-нибудь особенность М, присущая отдельным задачам данного типа, не отражена в системе упражнений или в рассматриваемых способах решения задач, то у учащихся может образоваться ошибочная обобщённая ассоциация, в состав которой не входит осознание особенности М.

I.6. Для формирования обобщённой ассоциации требуется тем меньше упражнений, чем более учащийся развит и обогащён знаниями, умениями и навыками, относящимися к данной области науки.

I.7. Для сохранения и упрочения обобщённых ассоциаций рассредоточенное повторение эффективнее концентрированного.

I.8. Если задачи решаются обоснованно с опорой на изучаемые определения, аксиомы, теоремы, то достигается глубокое понимание и формируются прочные, устойчивые умения и навыки.

I.9. Если при изучении новой темы выполняются условия:

- учащимся предлагают задачи одного типа;

- решение каждой из них сводится к одной и той же операции;

- эту операцию (её результат) учащимся не приходится выбирать среди других, которые возможны в сходных ситуациях;

- данные задач не являются для учащихся непривычными;

- они уверены в безошибочности своих действий; то учащиеся при решении второй или третьей задачи перестают вспоминать и применять изучаемые определения, аксиомы, теоремы, прекращают обосновывать решения задач.

Если хотя бы одно из перечисленных условий нарушается при решении какой-то задачи, то учащиеся начинают обосновывать решений этой и одной-двух последующих задач.

③. Закономерности усвоения учебного материала и закономерности памяти

Влияние мотивов деятельности и эмоций

II.1. Установки (направленность) на полноту, прочность, точность запоминания материала вызывают определённые формы активной мыслительной деятельности, что приводит соответственно к полному, точному, прочному запоминанию. Влияние этих установок на учащихся усиливается по мере овладения приёмами мыслительной деятельности.

II.2. Материал относительно большого объёма усваивается неохотно.

II.3. На прочность усвоения учебного материала большое влияние оказывают мотивы деятельности учащихся, их интерес к изучаемой теме, к предмету, осознание значимости, важности данного материала, устойчивые интересы и потребности, положительные эмоции, возникающие при успешном усвоении материала, отрицательные эмоции, вызванные переживаниями, чувством стыда или досады на себя из-за невнимательности, временных неудач при выполнении посильного задания.

Зависимость между пониманием и запоминанием

II.4. Определённый уровень понимания материала – необходимое условие его запоминания.

II.5. Если материал плохо понят, то он усваивается формально, запоминается неточно, искажения не замечаются и часто возникает иллюзия запоминания и усвоения.

II.6. Понимание затрудняется, если установка на полноту и точность запоминания появляется до осознания материала в целом. В остальных случаях установка на запоминание способствует лучшему пониманию.

Основная закономерность памяти и её следствия

II.7. (Основная закономерность памяти) Если соблюдаются два условия: учащийся выполняет над материалом активную мыслительную деятельность и эта деятельность способствует углублённому пониманию материала, то происходит успешное запоминание материала (произвольное или непроизвольное).

II.7*. (Закономерность Смирнова-Зинченко) Учащийся может запомнить материал непроизвольно, если выполняет над ним активную мыслительную деятельность и она направлена на понимание этого материала.

II.7**. Применение любого приёма мыслительной деятельности в процессе изучения материала приводит к его эффективному усвоению.

Забывание. Повторение

II.8. (Закономерность Эббингауса) Забывание более интенсивно протекает сразу после изучения материала (в первые часы, минуты и даже секунды), а затем оно замедляется.

II.9. Повторение путём разнообразной деятельности, сводящейся хотя бы к некоторой реконструкции материала, эффективнее, чем его повторение в неизменном виде.

II.10. Рассредоточенное во времени повторение эффективнее, чем концентрированное.

④. Закономерности внимания

III.1. Деятельность, осуществляемая на основе произвольного внимания, требует к себе значительных волевых усилий и быстрее утомляет человека, чем деятельность, выполняемая на основе послепроизвольного внимания.

III.2. Внимание к деятельности может возникнуть и усилиться под влиянием одного или нескольких из следующих условий:

- относительной интенсивности раздражителей;

- их относительной новизны;

- неожиданности их появления;

- контраста между ними;

- ожидания определённых событий или впечатлений;

- при наличии положительных или отрицательных эмоций.

III.3. Необходимыми условиями длительного сохранения послепроизвольного внимания являются посильность выполняемой деятельности, наличие соответствующих знаний, умений и навыков.

III.4. Достаточными условиями длительного поддержания внимания является одно или несколько из следующих условий:

- выполняемая деятельность значима для человека;

- у него имеется чувство ответственности за её успешное завершение;

- она совпадает с направлением постоянных интересов человека либо становится для него интересной хотя бы только в данный момент.

III.5. Внимание к деятельности усиливается, если выполняется хотя бы одно из условий:

- имеют место активные умственные усилия;

- углубляется понимание соответствующего материала;

- возрастает уверенность;

- возникают новые идеи, открытия.

III.6. Внимание к деятельности ослабляется, если:

- задание непосильно;

- теряется уверенность;

- работа совершается в чрезмерно быстром или медленном темпе;

- она сводится к однообразным операциям;

- исчезает интерес к ней;

- выполняемая работа слишком проста.

III.7. Внимание облегчается, если:

- мыслительная деятельность сопровождается соответствующей моторной деятельностью;

- объекты, которыми мы оперируем, воспринимаются зрительно.

⑤. Закономерности восприятия

IV.1. Восприятие объектов облегчается, если они расположены в определённой, сторого продуманной системе, требующей минимальных усилий со стороны наших органов чувств. Восприятие объектов, расположенных хаотически, осуществляется неохотно и требует значительных волевых усилий.

IV.2. Предварительная подготовка к наблюдению, чётко поставленная задача, как и в какой последовательности вести наблюдение, прошлый опыт человека и его знания облегчают восприятие, делают его более богатым.

IV.3. Активная мыслительная деятельность в процессе наблюдения приводит к более полному, богатому восприятию. При пассивном созерцании объекта от внимания человека ускользают многие детали.

IV.4. Легче наблюдать единичные отличия среди многих черт сходства, чем наоборот. Различия между объектами (ситуациями) привлекают к себе внимание более, чем их сходства.

⑥. Закономерности мышления

V.1. Вероятность вспоминания теоремы, нужной для решения задачи возрастает, если:

- теорема и данные задачи выражены в одних и тех же понятиях;

- искомые и данные задачи сближены анализом и синтезом настолько, что в оставшийся интервал как раз «укладывается» данная теорема, целиком заполняя этот интервал.

V.2. а) Последовательность рассуждений (А, В, С, …, М), повторяющаяся при решении однотипных задач, может «свёртываться» до составной ассоциации (А, М), которая в дальнейшем в случае необходимости легко «развёртывается» в первоначальную цепь рассуждений.

б) Если ассоциация (А, М) образована без промежуточных звеньев, то «вклинивать» их в дальнейшем между процессами А и М очень трудно.

V.3. (Закономерность Гальперина) Мыслительные операции можно целенаправленно формировать путём постепенного перехода от развёрнутых внешних действий, заранее запрограммированных и выполняемых в заданной последовательности, ко всё более свёрнутым умственным действиям.

V.4. Активность мыслительной деятельности по ходу ознакомления с материалом возрастает, если соблюдаются следующие условия:

- учащийся, знакомясь с материалом, одновременно выполняет конкретное задание, помогающее глубже понять данный материал;

- это задание направляет усилия учащегося на использование определённого приёма мыслительной деятельности;

- учащийся обладает знаниями, необходимыми для выполнения этого задания, и навыками применения данного приёма;

- этот приём соответствует содержанию материала, и чем в большей мере, тем сильнее активизируется деятельность;

- материал не является чрезмерно лёгким.

§2. Роль контрпримера в изучении математических предложений

Изучение математических предложений можно подразделить на три этапа: введение, усвоение и закрепление.

На этапе введения на уроке создаётся такая ситуация, когда учащиеся либо сами «открывают» новые теоремы, самостоятельно формулируют новые для них определения, аксиомы либо подготавливаются к их пониманию.

Усвоение сводится к тому, чтобы учащиеся научились применять определения, аксиомы, теоремы, быстро и безошибочно запоминали их, понимали каждое слово в их формулировках.

Закрепление определений, аксиом, теорем осуществляется на последующих уроках и сводится к повторению их формулировок и отработке навыков применения к решению задач.

Контрпримеры целесообразно применять на втором и третьем этапах, так как при введении не стоит «загромождать» мышление учащихся. У некоторых из них может сложиться ошибочная обобщённая ассоциация, вследствие которой они не смогут правильно понять материал и решать задачи.

Роль контрпримеров в формировании понятий

Математическое понятие – отражение в мозгу человека существенных свойств, форм и количественных отношений действительного мира. Содержание понятия – совокупность существенных признаков объектов, охватываемых понятием, а объём понятия – совокупность всех объектов, к которым применимо данное понятие.

Под контрпримером для понятия в методике подразумевается объект, у которого нарушено хотя бы одно из существенных свойств, форм и количественных отношений.

При введении понятия учителю необходимо излагать материал логически верными умозаключениями. У него уже сформирован образ (как бы своя картинка) данного понятия. С помощью слов и иллюстраций он должен помочь ученику создать свой образ, имеющий точный и правильный смысл данного понятия.

Рассмотрим, например, как формируется у учащихся 11 класса понятие логарифмической функции.

Логарифмическая функция – функция вида y = log_a x, a > 0, a≠1 со свойствами:

1) D_y = (0; +∞);

2) E_y = ( –∞; +∞);

3) a > 1 – функция возрастает, 0 < a < 1 – функция убывает;

4) a > 1 – при x > 1 функция положительна, при x < 1 функция отрицательна,

0 < a < 1 – при x > 1 функция отрицательна, а при x < 1 функция положительна.

Данное понятие вводится, а затем мы приступаем к его усвоению и закреплению.

Если учащимся предложить построить графики некоторых функций вида y = log_a x, с целью запомнить свойства функции, то согласно закономерности I.9, это не принесёт особого результата. Они будут опираться только на данный рисунок и не станут обосновывать решение. Если же учащимся дать упражнение, в котором чередуются примеры и контрпримеры, то происходит нарушение сразу всех условий закономерности I.9 и им приходится подробно обосновывать решение каждого примера.

Упражнение: Какие из следующих графиков, предложенных на рисунке являются графиками функции y = log_a x (если нет, то почему?), если а) а > 1; б) 0 < а < 1?

а) б) в)

г) д)

Для а > 1 верным является только рисунок (б), а остальные – контрпримеры, для 0 < а < 1 верный рисунок (а), а другие – контрпримеры. Так эти примеры названы в методической литературе Грудёнова Я.И. Нам же кажется, что контрпримерами в математическом понимании эти задания не являются. Это упражнение провоцирует учащегося на ошибку. Предположим, он её допустил, и на вопрос: «Является ли графиком функции y = log_a x, при 0 < а < 1, график, изображённый на рисунке (д)?» даёт ответ «Да». Ученик аргументирует свой ответ свойствами: убывание функции и прохождение графика через точку (1; 0). Учитель сразу замечает, что сделана ошибка, а вот учащимся это необходимо объяснить. Предлагаем контрпример: «Найти у при х = – 1». Одного ученика можно попросить найти значение у по графику, а другого по определению логарифма. Если второй учащийся выступает у доски, то у него должна появиться запись: y = log_a (– 1), значит а^у = – 1.

На этом этапе уже большинство учащихся замечает ошибку и делает вывод, что график на рисунке (д) не является графиком функции y = log_a x при 0 < а < 1.

Рассмотрим ещё один пример. В методической литературе говорится о том, что задание «Проверить на чётность функцию y = cos(x – π/3)» является контрпримером для тех классов, где свойство чётности изучается формально. Там учащиеся ошибочно предполагают, что это чётная функция, т.к. функция y = cos(x) – чётная. Нам же кажется, что контрпримером является не само задание, а пример: при x = π/3

cos(x – π/3) = 1, cos(– x – π/3) = – ½, то есть cos(– х) ≠ cos(x).

Хочется подчеркнуть, что необходимость в контрпримере возникает лишь тогда, когда происходит искажение в определении понятия. Если же учащиеся не совершают ошибок, то может сложиться впечатление, что они всё правильно поняли и хорошо усвоили. Конечно, может это и так. А если нет? Что же тогда делать?

Учителю постоянно нужно составлять системы упражнений с провоцирующими на ошибки заданиями. Например, набор рисунков для проверки усвоения понятий функций y = cos(x) и y = sin(x): «Какие из предложенных графиков являются графиками функции а) y = cos(x); б) y = sin(x)?»

Для контрпримеров в данном задании можно использовать значения функций при х = π или х = π/2.

а) б)

 

в) г)

 

д) е)

Следующий пример – чертежи, помогающие проверить усвоение понятия параллелограмма. Возьмём его определение: параллелограмм – четырёхугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Согласно этому определению построим несколько примеров, провоцирующих на ошибки.

а)б)в)

г) д) е)

Они могут возникнуть при разборе чертежей (б), (в) и (д). Если это произойдёт, то для (б) и (д) можно предложить ещё контрпримеры, которые изображены на следующем рисунке.

а) б)

Доказав, что АВСК – параллелограмм, многие учащиеся по аналогии заявляют, что и МКРО тоже параллелограмм. В этом случае даётся контрпример, изображённый на рисунке (а), аналогично с ЕОРF – конртпример на рисунке (б).

Анализ ошибки позволяет усилить активность мыслительной деятельности и внимание к решению последующих задач. Активность мыслительной деятельности возрастает, так как нарушается одно из условий закономерности I.9 – устраняется излишняя самоуверенность учащихся в безошибочности своих действий. Внимание усиливается благодаря соблюдению целого ряда условий: неожиданности появления контрпримера, его относительной новизне и контрасту в сравнении с предыдущими упражнениями, положительными эмоциями, посильности заданий, усилению активности мыслительной деятельности, углублению понимания и т.д. (закономерности III.2 – III.5).

Роль контрпримеров в изучении математических утверждений

О любом математическом утверждении, если оно не лишено смысла, можно сделать вывод истинно оно или ложно. Например, сразу ясно, что утверждение «Число 3 – чётное» является ложным. Условимся называть такие утверждения простыми, в логике они обозначаются большими буквами А, В, С… .

А вот утверждение «Если любая функция всюду непрерывна, то она дифференцируема по крайней мере в одной точке.» требует доказательства или опровержения. Оно имеет сложную структуру. Логически это можно записать так: (∀f(x))(A(f(x)) → B(f(x))).

Вообще, большинство математических утверждений в логике можно записать в виде А и В; А или В; если А, то В или в комбинации этих операций вместе с кванторами существования или всеобщности.

Чем же, по сути, является контрпример для математического утверждения? Это не что иное, как иллюстрация отрицания данного предложения.

И правда, ведь утверждение и его отрицание не могут быть одновременно ложными или одновременно истинными. Если мы иллюстрируем истинность отрицания, то тем самым показываем ложность самого предложения.

В учебниках старших классов, при работе по обычной программе преподавания математики, заданий на контрпримеры нет совсем. И тогда необходимость в них возникает лишь в тех случаях, когда учащиеся допускают ошибки в своих ответах.

Как мне кажется, существует три этапа построения контрпримера:

1. Необходимость, смысл в контрпримере;

2. Характеристики, свойства контрпримера;

Нахождение самого примера.

1. Контрпример необходим для того, чтобы не доказывать утверждение, а с помощью примера показать, что оно ложно. Во всём курсе математики изучаются прямые и обратные теоремы.

Например, возьмём теорему из курса математического анализа: «Если функция f(x) интегрируема на отрезке [a, b], то и функция | f(x)| интегрируема на отрезке [a, b]». Она справедлива и это необходимо доказывать. А вот обратная ей теорема не верна, что достаточно проиллюстрировать контрпримером.

В школе уже обращается внимание на связь прямой и обратной теорем. В некоторых классах это происходит формально, учащиеся знают, что не всякая теорема имеет обратную, но не всегда это понимают. Поэтому на каждую такую теорему нужно обращать особое внимание и показывать справедлива она или нет. Например, прямая теорема «Если углы вертикальные, то они равны» и обратная ей «Если два угла равны, то они вертикальны». Эту, вторую теорему не нужно доказывать, потому что достаточно привести контрпример, который бы показывал, что она не верна.

2. Как мы уже выяснили, логически контрпример является иллюстрацией отрицания данного предложения.

Значит, характеристиками, свойствами наших контрпримеров будут: для первого – одновременно интегрируемость | f(x)| и не интегрируемость f(x), а для второго – равенство углов и их не вертикальность.

3. Из свойств контрпримера ясно, что необходимо найти объект (или объекты), удовлетворяющий им. В нашем случае это будут для первого – функция D(х) = , а для второго – углы равнобедренного треугольника, смежные углы по 900, накрест лежащие углы при пересечении двух параллельных прямых третьей.

Если первых два этапа не вызывают у учащихся и студентов больших затруднений, то третий обычно заводит их в тупик. Он является творческой работой, для которой необходим определённый запас знаний, наборы примеров и т.д..

Контпримеры, как уже говорилось, лучше использовать при усвоении и закреплении математических предложений.

Например, при закреплении признаков подобия треугольников, предложить учащимся сначала три задачи одного типа: «Указать подобные треугольники. Данные обозначены на чертежах».

а) б) в)

Поскольку все эти задачи решаются с применением одной и той же теоремы, то по закономерностям I.9 и III.6 у хорошо успевающих учащихся может снизиться и активность мыслительной деятельности и внимание. Но это необходимо сделать так, что в классе есть такие учащиеся, которые смогут дать достаточно аргументированное объяснение только при решении третьей задачи и лишь только после того, как прослушают образцы решения предыдущих. Значит, их внимание к третьей задаче будет уже достаточно устойчивым, потому что она стала им посильной, возникла уверенность и т.д. (III.3, III.5). А для тех учащихся, внимание которых снизилось, подготавливаем контрпример (с методической точки зрения): «Треугольники АВС и КВМ с общим углом В подобны. Параллельны ли стороны АС и КМ?».

Почти все учащиеся утверждают, что АС‖КМ, ссылаясь на теорему: «Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному». Тогда, как здесь надо было опираться на обратную теорему, которая не верна, что можно проиллюстрировать контрпримером.

Анализируем ошибку и по закономерностям III.2 – III.5 внимание снова усиливается.

Следовательно, в создавшейся ситуации можно опять дать группу из трёх-четырёх задач одного типа на применение уже другого признака подобия: «Указать подобные треугольники. Данные обозначены на чертежах».

Теперь уже внимание ослабляется менее интенсивно, так как учащиеся ожидают конртпример, а это усиливает внимание (III.2). Последнюю группу задач завершаем упражнением, провоцирующим на ошибку. И когда оно появляется, в классе возникает оживление и резко усиливается интерес.

Многие учащиеся догадываются, что здесь что-то не так. Учителю лучше вызвать того ученика, который может допустить ошибку. Как только дан не верный ответ, учащиеся реагируют на это и обосновывают верное решение. А вот привести контрпример они затрудняются, поэтому его показывает учитель. По этому чертежу сразу видно, что треугольники могут быть подобны, а могут и не быть подобными.

С помощью таких упражнений учитель преднамеренно провоцирует учащихся на ошибку. И если они недостаточно внимательны, не вникают в смысл произносимых объяснений или у них имеется ошибочная ассоциация, то в классе обязательно кто-либо допускает ошибку. При этом возможны две ситуации:

Часть учащихся заметила ошибку, тогда каждый спешит сообщить о своей догадке;

Никто не заметил ошибку, реплика учителя: «Ошибка!» - воспринимается как неожиданность и тогда объяснения учителя все слушают с особым вниманием.

В обеих ситуациях последующие задачи решают ещё более сосредоточенно (I.9).

При работе по программе углублённого изучения математики встречаются задания на контрпримеры, но не столько в учебниках, сколько в пособиях для учителей. Эти упражнения можно классифицировать по формулировке:

Доказать, что утверждение … не верно;

Верно ли утверждение …, справедливо ли утверждение …;

Доказать …;

Привести пример …, найти объект ….

Рассмотрим эту классификацию поподробнее.

1. Такая формулировка задания даёт прямую подсказку, что нужно привести контрпример. Например, доказать, что в теоремах о непрерывных функциях все данные существенны, то есть, отбросив хотя бы одно из условий, мы получим неверное утверждение. Здесь ученику надо составить утверждение, в котором не выполняется какое-то из условий, и показать, что оно не верно.

2. Такое упражнение предполагает выбор между доказательством и приведением контрпримера. Пример: «Функция f(x) разрывна в точке х_о. Можно ли утверждать, что функция (f(x))² разрывна в точке х_о?»

3. Утверждение сформулировано в привычном виде, по которому не очень внимательный ученик сразу ринется искать доказательство. Хотя автором предполагается, что будет приведён контрпример и тем самым доказана лживость утверждения. Например, f(x) = r(x) + k(x). Функции r(x) и k(x) разрывны в точке х_о. Доказать, что f(x) разрывна в точке х_о.

4. Привести пример …, найти объект … и ещё много других вариантов, которые, по своей сути, требуют нахождение примера, являющегося контрпримером для некоторого математического предложения. В формулировке чаще всего перечисляются все свойства, которым должен удовлетворять контрпример.

Если контрпримеры включаются в систему упражнений достаточно часто, то в ожидании их (III.2)учащиеся стараются всё время поддерживать своё внимание в напряжении. Постепенно напряжённое внимание перерастает в привычку. Тем самым мы воспитываем внимательность.

Основные особенности методики применения контрпримеров относятся к организации любой работы (с детьми или взрослыми). Всякая работа, выполняемая человеком, становится постепенно привычной. Тогда в соответствии с психологическими закономерностями «усыпляются» бдительность и осторожность, ослабляется внимание. Бесполезно призывать: «Будьте внимательны, осторожны, пунктуальны!». Это ни к чему не приведёт. Достаточно поставить человека в такие условия, чтобы любой его неосторожный, недостаточно продуманный шаг, невнимательность и беспечность неминуемо приводили бы к ошибке. Причём эта ошибка должна быть заметной, бросающейся в глаза, моментально обнаруживаемой и … обязательно наказуемой. Только в этом случае человек мобилизует все свои внутренние резервы и стремится быть в дальнейшем максимально сосредоточенным и пунктуальным.

Если же ошибки, пусть даже незначительные, затушевываются и остаются скрытыми, своевременно не обнаруженными, то создаётся видимость успеха. Все эти мелкие, временно скрытые промахи перерастают в дальнейшем в явный брак, перечёркивают всю работу.

Применительно к обучению математике данный метод сводится к следующему. Выявляем и преднамеренно провоцируем учащихся на ошибки. Не подумал, расслабился, невнимателен – сразу ошибся. «А наказуемость на уроках математики – это оживление всего класса. Смех лучше всяких призывов излечивает от невнимательности.»

Роль контрпримеров в формировании логической грамотности учащихся

Логическая грамотность учащегося это, прежде всего, умение логически, доказательно мыслить и умение грамотно говорить. Из этого ясно, что для логической грамотности необходимо развитие мышления и речи учащихся.

Развитие мышления

Развитие мышления учащихся многократно ускоряется и усиливается, если учитель одновременно учит умелому применению различных мыслительных приёмов. Действительно, мышление учащихся проявляется в умении анализировать и синтезировать, обобщать, конкретизировать и т.д., то есть в умении применять различные приёмы мыслительной деятельности к изучаемому материалу, к решению задачи, к любой жизненной ситуации.

Развитие мышления учащихся, то есть формирование у них умений и навыков применения различных приёмов мыслительной деятельности, осуществляется следующими этапами:

Знакомим учащихся с отдельными мыслительными приёмами. Причём знакомим с этими приёмами обязательно в процессе изучения соответствующего материала.

Совместно с учащимися приходим к выводу, что приём, с которым сегодня познакомились в процессе изучения новой темы или решения задачи, не потребовал лишней траты времени. Более того, этот приём облегчил понимание. Его использование усилило интерес к изучаемому материалу.

Выбор того или иного мыслительного приёма осуществляем в зависимости от содержания изучаемого материала. Поэтому в дальнейшем, когда учащиеся повторно встречаются с тем или иным приёмом, напоминаем, что приём нам уже знаком. Далее выделяем те особенности данной и ранее изученной темы, благодаря которым целесообразно использовать именно данный приём.

Учим комплексному использованию различных мыслительных приёмов во всевозможных комбинациях друг с другом.

В дальнейшем вырабатываем привычку самостоятельного применения мыслительных приёмов. Для этого постоянно напоминаем о целесообразности тех или иных действий, если учащиеся забывают это.

В психологии известен целый ряд приёмов мыслительной деятельности. Одни из них хорошо известны: обобщение, конкретизация, классификация, систематизация, применение анализа, синтеза, аналогии, сравнения; другие не очень – использование стимулирующих звеньев, приёмы реконструкции, мысленного составления плана, выделения смысловых опорных пунктов, прогнозирования и соотнесения.

Контрпримеры конечно же найдут своё применение при работе любым из этих приёмов. Но более широкая возможность появляется при приёмах реконструкции, соотнесения и аналогии.

Приём реконструкции.

Реконструкция – любое эквивалентное изменение материала.

Чтобы реконструировать, но не исказить изучаемый материал, учащийся должен хорошо его понять в результате активной мыслительной деятельности, и тогда, по основной закономерности памяти, материал легко усваивается.

Когда учащиеся воспроизводят материал своими словами, то они часто искажают его, допускают ошибки. Преподавателю нельзя просто исправлять их или требовать от отвечающего верно произнести формулировку математического утверждения. По закономерности II.8 он сразу же это забудет. С помощью контрпримера необходимо добиться понимания сущности ошибки или нелепость искажения.

Например, ученик оговорился: «Прямые на плоскости, не имеющие общей точки, называются параллельными». Допущенную неточность иллюстрируем контрпримером. Прямые a, b, c не имеют общей точки, но не параллельны.

Приём соотнесения.

Он сводится к увязыванию изучаемого материала с прежними знаниями и отдельных частей нового друг с другом. Действия, направленные на выполнение этих задач, помогают включить новый материал в структуру прежних знаний, приводят к познанию взаимосвязей явлений и предметов, то есть усиливают глубину и отчётливость понимания и тем самым ведут к успешному запоминанию.

Этот приём имеет очень большое значение в обучении. Ссылки на законы, правила, на проведённые опыты, на используемые таблицы – всё это помогает глубже понять материал и лучше его усвоить.

Выслушав изученный по учебнику материал или решение задачи, учитель не всегда просит аргументировать свой ответ. А спросив: «Почему?», «На каком основании?» иногда может выяснить, что учащийся опирается на неверное утверждение. Тогда преподавателю нужно иллюстрировать ошибку контрпримером.

Например, в геометрии очень часто учащиеся, используя обратную теорему, опираются на прямую и наоборот. Такое бывает, когда обе теоремы верны, но аргументированного, логически верного ответа уже не получается.

Приём аналогии.

Это очень распространённый приём, но используемый не всегда правильно.

Например, по аналогии с известными теоремами о непрерывности суммы и произведения непрерывных функций, учащиеся высказывают следующие ошибочные предположения:

«Если две функции разрывны в одной и той же точке, то их сумма тоже разрывна в этой точке»;

«Если две функции разрывны в одной и той же точке, то их произведение тоже разрывно в этой точке».

С помощью контрпримеров можно показать, что это неверные утверждения.

Вообще говоря, приведение контрпримера при воспроизведении изучаемого материала, является приёмом конкретизации. Но правильное логическое мышление не найдёт применения, если учащийся не умеет излагать свои мысли. Поэтому для логической грамотности учащихся необходимо также развитие речи как письменной, так и устной.

Развитие речи.

Для развития речи, учащиеся прежде всего должны овладеть терминами и речевыми оборотами, специфическими прежде всего для математики. Не научившись активно владеть языком, ученик с большим трудом понимает объяснения учителя, ответы других учащихся, не успевает вникнуть в смысл того, о чём идёт речь на уроке, не может грамотно выразить свои мысли.

Овладение терминологией сводится к формированию прямых и обратных обобщённых ассоциаций типа: осознание термина – представление образа и, наоборот, осознание образа, символа – мгновенное вспоминание соответствующего термина. Эти ассоциации образуются прежде всего с помощью упражнений «на распознавание» и закрепляются при выполнении заданий других типов. А по закономерностям I.4 и I.9, чтобы учащийся правильно создал образ, необходимо включать в системы упражнений контрпримеры и задания, провоцирующие на ошибки.

Например, упражнение: «Какие из следующих графиков не могут быть (и по какой причине) графиками функции y = ax², если a > 0; a < 0».

а) б) в)

 

г) д) е)

 

Основные идеи методики, способствующей развитию речи учащихся:

Увеличиваем время на разговорную речь учащихся.

Ставим их перед необходимостью сосредоточить свои усилия главным образом на аргументированном, доказательном объяснении решаемой задачи или излагаемого теоретического вопроса.

Опираясь на закономерности I.4, I.9 и другие, ставим учащихся перед выбором либо объяснять решаемую задачу, внимательно прислушиваться к объяснениям, пунктуально и тщательно проверять все условия применяемых теорем, либо ошибаться.

Стремление к вдумчивому обоснованному решению задач всё время подкрепляем путём чередования различных упражнений и использованием контрпримеров.

Целенаправленно обучаем грамотному изложению письменных работ.

Допустимо и полезно в самостоятельных работах предлагать доказывать некоторые неверные утверждения. Если этого не делать, у некоторых учащихся могут укрепиться ложные методы решения задач, основанные на излишнем доверии к предложенной формулировке. Не говоря уже о том, что сама жизнь часто предъявляет неверные формулировки. Иногда из-за опечатки ученик потерял всё время на попытки доказательства неверного утверждения и даже не попытался его опровергнуть.

Кроме того, полезно предлагать решения задач и доказательства теорем, имеющие логические ошибки в ходе решения и доказательства. Это позволяет учащимся анализировать каждый шаг в решении или доказательстве и выявлять всевозможные связи, как содержательные, так и логические, что в свою очередь, способствует развитию логической грамотности школьников. Одним из примеров таких задач являются софизмы. Чаще всего они содержат в себе материал не из одного раздела математики, поэтому софизмы могут выступать как межпредметные связи в курсе математики.

Таким образом, развивая логическое мышление и грамотную речь учащихся, мы формируем их логическую грамотность.

В данной работе предложены возможные варианты использования контрпримеров в процессе обучения математике, например, при усвоении различных математических предложений, при формировании математических понятий.

Контрпример строится учителем и учащимися путём построения отрицания всего утверждения или его части, при этом показаны возможности варьирования словесного и графического построения контрпримеров.

 

Список литературы:

Гелбаум Б., Олмстед Дж., Контрпримеры в анализе, Москва, издательство «Мир», 1967г.

Грудёнов Я. И., Изучение определений, аскиом, теорем, пособие для учителей, Москва, издательство «Просвещение», 1981г.

Грудёнов Я. И., Методы усвоения математических предложений, журнал «Математика в школе», 1977г., № 6

Грудёнов Я. И., Психолого-дидактические основы методики обучения математике, Москва, Педагогика, 1987г.

Грудёнов Я. И., Совершенствование методики работы учителя математики, Москва, издательство «Просвещение», 1990г.

Дубнов Я. С., Ошибки в геометрических доказательствах, Популярные лекции по математике, Москва, Наука, 1969г.

Карп А.П., Даю уроки математики…, Москва, издательство «Просвещение», 1992г.