Сборник тестов по геометрии на тему «Тела вращения»

Т Е С Т 1

Цилиндр. Площадь поверхности цилиндра.

Вариант 1

А1. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 12π, а высота цилиндра равна 3. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

¤ 1) 24π ¤ 2) 16π ¤ 3) 22π ¤ 4) 20π

А2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 10 см2 , площадь основания равна 5 см2 . Вычислить высоту и площадь боковой поверхности цилиндра.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
А3. Через образующую цилиндра проведено два сечения, из которых одно осевое с площадью, равной S. Угол между плоскостями сечений равен 30о . Найдите площадь второго сечения.

¤ 1) ¤ 2) S ¤ 3) ¤ 4)

B1. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус основания равен 10 см, расстояние между прямой АВ и осью цилиндра равно 8 см, АВ=13 см. Определите высоту цилиндра.

Ответ:________________________________________________________________________

В2. Высота цилиндра равна h, радиус основания – r. В этот цилиндр наклонно к оси вписан квадрат так, что все его вершины находятся на окружностях оснований. Найдите сторону квадрата.

Ответ:________________________________________________________________________

С1. Диагональ развертки боковой поверхности цилиндра составляет со стороной основания развертки угол β. Вычислите угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью основания.

Ответ:_________________________________________________________________

Т Е С Т 1

Цилиндр. Площадь поверхности цилиндра.

Вариант 2

А1. Площадь боковой поверхности прямого кругового цилиндра равна 20π, а высота цилиндра равна 5. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.

¤ 1) 24π ¤ 2) 32π ¤ 3) 28π ¤ 4) 36π

А2. Площадь осевого сечения цилиндра равна 16 см2 , площадь основания равна 8 см2 . Вычислить высоту и площадь боковой поверхности цилиндра.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)
А3. Через образующую цилиндра проведено два сечения, из которых одно осевое с площадью, равной S. Угол между плоскостями сечений равен 45о . Найдите площадь второго сечения.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4) S

B1. Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус основания равен 5 см, высота цилиндра равна 6 см, АВ=10 см. Определите расстояние между прямой АВ и осью цилиндра.

Ответ:________________________________________________________________________

В2. Радиус основания цилиндра равен r . В этот цилиндр наклонно к оси вписан квадрат со стороной a так, что все его вершины находятся на окружностях оснований. Найдите высоту цилиндра.

Ответ:________________________________________________________________________

С1. Угол между диагональю осевого сечения цилиндра и плоскостью его основания равен β. Вычислите угол между диагональю развертки его боковой поверхности и стороной основания развертки.

Ответ:________________________________________________________________________

 

Т Е С Т 2

Прямой круговой конус

Вариант 1

А1. Найдите высоту прямого кругового конуса, если площадь его осевого сечения равна 6 см2 , а площадь основания равна 8 см2 .

¤ 1) 3 2) 3 ¤ 3) 6 ¤ 4) 4

А2. Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной 90o

¤ 1) 60o ¤ 2) 2 arcsin ¤ 3) 2 arcsin ¤ 4) 30o

А3. Длина окружности оснований усеченного конуса равна 4π и 10π. Высота конуса равна 4. Найдите площадь поверхности усеченного конуса.

¤ 1) 64 π ¤ 2) 68 π ¤ 3) 52 π ¤ 1) 74 π

B1. Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 60o . Определите площадь сечения.

Ответ:__________________________________________________________________________

В2. Образующая конуса равна 13 см, высота – 12 см. Этот конус пересечен прямой, параллельной основанию. Расстояние ее от основания равно 6 см, а от высоты – 2 см. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри конуса.

Ответ:__________________________________________________________________________

С1. Образующая усеченного конуса равна L и составляет с плоскостью основания угол α. Диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ответ:__________________________________________________________________________

Т Е С Т 2

Прямой круговой конус

Вариант 2

А1. Найдите высоту прямого кругового конуса, если площадь его осевого сечения равна 8 см2 , а площадь основания равна 12 см2 .

1) 4 ¤ 2) 4 ¤ 3) 6 ¤ 4) 6

А2. Определите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной 120o

¤ 1) 90o ¤ 2) 2 arcsin ¤ 3) 2 arcsin ¤ 4) 60o

А3. Длина окружности оснований усеченного конуса равна 4π и 28π. Высота конуса равна 5. Найдите площадь поверхности усеченного конуса.

¤ 1) 420 π ¤ 2) 412 π ¤ 3) 416 π ¤ 1) 408 π

B1. Высота конуса равна радиусу R его основания. Через вершину конуса проведена плоскость, отсекающая от окружности основания дугу в 90o . Определите площадь сечения.

Ответ:__________________________________________________________________________

В2. Образующая конуса равна 17 см, высота – 8 см. Этот конус пересечен прямой, параллельной основанию. Расстояние ее от основания равно 4 см, а от высоты – 6 см. Найдите длину отрезка этой прямой, заключенного внутри конуса.

Ответ:__________________________________________________________________________

С1. Образующая усеченного конуса составляет с плоскостью нижнего основания угол α. Диагональ его осевого сечения перпендикулярна образующей конуса. Сумма длин окружностей равна 2 πm. Найдите площадь боковой поверхности конуса.

Ответ:__________________________________________________________________________

Т Е С Т 3

Сфера и шар. Уравнение сферы.

Вариант 1

А1. Точки А и В лежат на сфере радиуса R. Найдите расстояние от центра сферы до прямой АВ, если АВ=m.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

А2. Найдите координаты центра С и радиуса R сферы, заданной уравнением

¤ 1) C (-3; 2; 0), R= ¤ 2) C (3; -2;0), R=5 ¤ 3) C (-3; 2;0), R=5 ¤ 4) C (3; -2;0), R=

А3. Напишите уравнение сферы с центром в точке С (4; -1; 3), проходящей через точку А(-2; 3;1)

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B1. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 25 и 5 лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если расстояние от центра до плоскости треугольника равно 8.

Ответ:__________________________________________________________________________

B2. Определите при каких значениях параметра a уравнение

задает сферу.

Ответ:__________________________________________________________________________

С1. Два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют общую хорду длиной 12. Известно, что площади этих сечений 100π и 64π. Найдите радиус шара.

Ответ:__________________________________________________________________________

Т Е С Т 3

Сфера и шар. Уравнение сферы.

Вариант 2

А1. Точки А и В лежат на сфере радиуса R. Расстояние от центра сферы до прямой АВ равно a. Найдите длину отрезка АВ.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

А2. Найдите координаты центра С и радиуса R сферы, заданной уравнением

¤ 1) C (-4; 0; 3), R= ¤ 2) C (4; 0; -3), R=7 ¤ 3) C (-4; 0;3), R=7 ¤ 4) C (4; 0; -3), R=

А3. Напишите уравнение сферы с центром в точке С (-3; 1; -2), проходящей через точку А (3; 4; -1)

¤ 1) ¤ 2)

¤ 3) ¤ 4)

B1. Вершины прямоугольного треугольника с катетами 15 и лежат на сфере. Найдите радиус сферы, если расстояние от центра до плоскости треугольника равно 5.

Ответ:__________________________________________________________________________

B2. Определите при каких значениях параметра a уравнение

задает сферу.

Ответ:__________________________________________________________________________

С1. Два взаимно перпендикулярных сечения шара имеют общую хорду длиной 12. Известно, что площади этих сечений 256π и 100π. Найдите радиус шара.

Ответ:__________________________________________________________________________

Т Е С Т 4

Взаимное расположение сферы и плоскости, сферы и прямой.

Вариант 1

А1. Линия пересечения сферы и плоскости, удаленной от центра на 8, имеет длину 12 π. Найдите площадь поверхности сферы.

¤ 1) 396 π ¤ 2) 400 π ¤ 3) 408 π ¤ 4) 362π

А2. Сфера радиуса R касается граней двугранного угла, величина которого равна α. Определите расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла.

¤ 1) ¤ 2) R*tg ¤ 3) ¤ 4) R*ctg

А3. Найдите длину хорды сферы , принадлежащей оси абсцисс.

¤ 1) 2 ¤ 2) 4 ¤ 3) 8 ¤ 4) 2

В1. Сечение шара двумя параллельными плоскостями, между которыми лежит центр шара, имеют площади 144π и 25π. Вычислите площадь поверхности шара, если расстояние между параллельными плоскостями равно 17.

Ответ:__________________________________________________________________________

В2. Напишите уравнение плоскости, в которой лежат общие точки сфер, заданных уравнениями

и

Ответ:_________________________________________________________________

С1. Найдите координаты точек пересечения прямой, заданной уравнением и сферы, заданной уравнением

Ответ:_________________________________________________________________

Т Е С Т 4

Взаимное расположение сферы и плоскости, сферы и прямой.

Вариант 2

А1. Сечение шара плоскостью, удаленной от его центра на 15, имеет площадь 64 π. Найдите площадь поверхности шара.

¤ 1) 1156 π ¤ 2) 1024 π ¤ 3) 1172 π ¤ 4) 1096π

А2. Сфера касается граней двугранного угла, величина которого равна α. Расстояние от центра сферы до ребра двугранного угла равно l. Определите радиус сферы.

¤ 1) l tg ¤ 2) l sin ¤ 3) l cos ¤ 4) l ctg

А3. Найдите длину хорды сферы , принадлежащей оси ординат..

¤ 1) 2 ¤ 2) 10 ¤ 3) 4 ¤ 4) 2

В1. Сечение шара двумя параллельными плоскостями, которые лежат по одну сторону от центра шара, имеют площади 576π и 100π. Вычислите площадь поверхности шара, если расстояние между параллельными плоскостями равно 14.

Ответ:__________________________________________________________________________

В2. Напишите уравнение плоскости, в которой лежат общие точки сфер, заданных уравнениями

и

Ответ:_________________________________________________________________

С1. Найдите координаты точек пересечения прямой, заданной уравнением и сферы, заданной уравнением

Ответ:_________________________________________________________________

Т Е С Т 5

Комбинации фигур вращения.

Вариант 1

А1. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 5 см и 12 см, вращается вокруг гипотенузы. Вычислите площадь поверхности полученного тела вращения.

¤ 1) см2 ¤ 2) 82π см2 ¤ 3) см2 ¤ 4) 78π см2

А2. В цилиндр вписан шар. Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади поверхности шара.

¤ 1) 3:2 ¤ 2) 2:1 ¤ 3) 4:3 ¤ 4) 5:2

А3. В шар вписан конус, радиус основания которого равен r, высота – H. Определите площадь поверхности шара.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) π( ¤ 4)

B1. В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Найдите величину угла между осью конуса и его образующей, если площадь полной поверхности цилиндра относится к площади основания конуса как 3:2, а ось цилиндра совпадает с осью конуса.

Ответ:__________________________________________________________________________

С1. На плоскости лежат три одинаковых шара радиуса R, касающихся друг друга. Сверху в ямку, образованную шарами, положен четвертый шар того же радиуса. Найдите расстояние от верхней точки четвертого шара до плоскости.

Ответ:_________________________________________________________________________

 

Т Е С Т 5

Комбинации фигур вращения.

Вариант 2

А1. Прямоугольный треугольник с катетами, равными 8 см и 15 см, вращается вокруг гипотенузы. Вычислите площадь поверхности полученного тела вращения.

¤ 1) 162π см2 ¤ 2) см2 ¤ 3) 164π см2 ¤ 4) см2

А2. В цилиндр вписан шар. Найдите отношение площади боковой поверхности цилиндра к площади поверхности шара.

¤ 1) 2:1 ¤ 2) 3:2 ¤ 3) 1:1 ¤ 4) 2:3

А3. В шар вписан конус, радиус основания которого равен r, высота – L. Определите площадь поверхности шара.

¤ 1) π( ¤ 2) ¤ 3) πr ¤ 4) πL

B1. В конус вписан цилиндр, высота которого равна радиусу основания конуса. Найдите величину угла между осью конуса и его образующей, если площадь полной поверхности цилиндра относится к площади основания конуса как 8:9, а ось цилиндра совпадает с осью конуса.

Ответ:__________________________________________________________________________

С1. На плоскости лежат четыре одинаковых шара радиуса R так, что каждый из шаров касается двух соседних. Сверху в ямку, образованную шарами, положен пятый шар того же радиуса. Найдите расстояние от верхней точки пятого шара до плоскости.

Ответ:_________________________________________________________________________

                                                                       Т Е С Т 6

Комбинации многогранников и тел вращения.

Вариант 1

А1. В правильную треугольную призму вписан цилиндр. Найдите площадь его поверхности, если сторона основания призмы равна 2, а высота – 3.

¤ 1) 6π ¤ 2) 8π ¤ 3) 10π ¤ 4) 5π

А2. Вокруг правильной треугольной пирамиды описан конус. Вычислите площадь боковой поверхности конуса, если сторона основания пирамиды равна a, боковые ребра наклонены к основанию под углом 30o .

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

А3. В правильную четырехугольную призму вписана сфера. Найдите отношение площади полной поверхности призмы к площади сферы.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

В1. Около шара описана правильная треугольная усеченная пирамида, стороны оснований которой равны a и b. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Ответ:_________________________________________________________________

В2. В куб с ребром, равным a, вписан шар. Вычислите радиус шара, касающегося данного шара и трех граней куба, имеющих общую вершину.

Ответ:_________________________________________________________________

С1. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. В этот конус вписана правильная треугольная пирамида. Найдите отношение площадей боковых поверхностей пирамиды и конуса.

Ответ:_________________________________________________________________

Т Е С Т 6

Комбинации многогранников и тел вращения.

Вариант 2

А1. Вокруг правильной треугольной призмы описан цилиндр. Найдите площадь его поверхности, если высота призмы равна 4, а высота основания призмы – 6.

¤ 1) 64π ¤ 2) 56π ¤ 3) 68π ¤ 4) 60π

А2. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна a, боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 45o. Вычислите площадь боковой поверхности вписанного в пирамиду конуса.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) 4)

А3. Вокруг куба описана сфера. Найдите отношение площади сферы к площади полной поверхности куба.

¤ 1) ¤ 2) ¤ 3) ¤ 4)

В1. Около шара описана правильная треугольная усеченная пирамида, стороны оснований которой равны a и b. Найдите площадь поверхности шара.

Ответ:_________________________________________________________________

В2. В куб вписан шар. Радиус шара, касающегося данного шара и трех граней куба, имеющих общую вершину, равен R. Вычислите длину ребра куба.

Ответ:_________________________________________________________________

С1. Осевым сечением конуса является равносторонний треугольник. В этот конус вписана правильная четырехугольная пирамида. Найдите отношение площадей боковых поверхностей пирамиды и конуса.

Ответ:_________________________________________________________________

Т Е С Т 7

Обобщение темы «Цилиндр, конус, шар».

Вариант 1

А1. Прямоугольник со сторонами, равными 10 см и 12 см, вращается вокруг большей стороны. Найдите полную площадь поверхности полученного тела вращения.

¤ 1) 460π см2 ¤ 2) 420π см2 ¤ 3) 440 π см2 ¤ 4) 400π см2

А2. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной a. Вычислить площадь сечения, проходящей через две образующие конуса, угол между которыми равен 60o

¤ 1) а2 ¤ 2) а2 ¤ 3) а2 ¤ 4) а2

А3. Определите площадь полной поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований равны 6 см и 10 см, высота равна 3 см.

¤ 1) 212π см2 ¤ 2) 224π см2 ¤ 3) 220π см2 ¤ 4) 216π см2

А4. Найдите площадь поверхности сферы, заданной уравнением + ++6x-8y+2z-7=0

¤ 1) 132π ¤ 2) 136π ¤ 3) 140 π ¤ 4) 128 π

А5. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Определите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 15 см, 15 см и 24 см.

¤ 1) 1 см ¤ 2) 2 см ¤ 3) 3 см ¤ 4) 4 см

А6. В конус с углом при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписана сфера радиуса R. Найдите величину r, если известны R и .

¤ 1) R tg( - ¤ 2) R tg( + ¤ 3) R tg ¤ 4) R ctg

В1. Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площади полученных сечений равны см2 и

Ответ: _______________________________________________________________________________

В2. Равнобедренный треугольник вращается вокруг своей оси симметрии. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 30 см, а площадь полной поверхности тела вращения равна 60

Ответ:__________________________________________________________________________

В3. Сфера радиуса R касается всех ребер правильной треугольной призмы. Найдите длину бокового ребра призмы и расстояние от центра сферы до плоскостей боковых граней.

Ответ:__________________________________________________________________________

С1. Две параллельные плоскости пересекают диаметр сферы АВ в точках С и D, делящих его в отношении АС:СD:DB=1:2:3. Определите отношение радиусов сечений (меньшего к большему), если прямая, содержащая данный диаметр, образует с плоскостями угол .

Ответ:__________________________________________________________________________

С2. Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды. Найдите радиус такой сферы, если все ребра пирамиды равны 18 см.

Ответ:__________________________________________________________________________

 

 

 

Т Е С Т 7

Обобщение темы «Цилиндр, конус, шар».

Вариант 2

А1. Прямоугольник со сторонами, равными 8 см и 10 см, вращается вокруг меньшей стороны. Найдите полную площадь поверхности полученного тела вращения.

¤ 1) 360π см2 ¤ 2) 354π см2 ¤ 3) 368 π см2 ¤ 4) 376π см2

А2. Осевым сечением конуса является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной a. Вычислить площадь сечения, проходящей через две образующие конуса, угол между которыми равен 45o .

¤ 1) а2 ¤ 2) а2 ¤ 3) а2 ¤ 4) а2

А3. Определите площадь полной поверхности усеченного конуса, если радиусы его оснований равны 5 см и 8 см, высота равна 4 см.

¤ 1) 150π см2 ¤ 2) 154π см2 ¤ 3) 158π см2 ¤ 4) 146π см2

А4. Найдите площадь поверхности сферы, заданной уравнением + +-4x+2y+6z-4=0

¤ 1) 68π ¤ 2) 80π ¤ 3) 76π ¤ 4) 72π

А5. Стороны треугольника касаются сферы радиуса 5 см. Определите расстояние от центра сферы до плоскости треугольника, если его стороны равны 10 см, 10 см и 12 см.

¤ 1) 1 см ¤ 2) 2 см ¤ 3) 3 см ¤ 4) 4 см

А6. В конус с углом при вершине осевого сечения и радиусом основания r вписана сфера радиуса R. Найдите величину R, если известны r и .

¤ 1) r tg( - ¤ 2) r tg( + ¤ 3) r tg ¤ 4) r ctg

В1. Через образующую цилиндра проведены две взаимно перпендикулярные плоскости. Площади полученных сечений равны см2 и

Ответ: _______________________________________________________________________________

В2. Равнобедренный треугольник вращается вокруг своей оси симметрии. Найдите стороны этого треугольника, если его периметр равен 30 см, а площадь полной поверхности тела вращения равна 90

Ответ:__________________________________________________________________________

В3. Сфера радиуса R касается всех ребер правильной треугольной призмы. Найдите длину ребра основания призмы и расстояние от центра сферы до плоскостей оснований призмы.

Ответ:__________________________________________________________________________

С1. Две параллельные плоскости пересекают диаметр сферы АВ в точках С и D, делящих его в отношении АС:СD:DB=1:3:4. Определите отношение радиусов сечений (меньшего к большему), если прямая, содержащая данный диаметр, образует с плоскостями угол .

Ответ:__________________________________________________________________________

С2. Сфера касается всех ребер правильной четырехугольной пирамиды. Найдите радиус такой сферы, если все ребра пирамиды равны 22 см.

Ответ:__________________________________________________________________________

 

 

ОТВЕТЫ К ТЕСТАМ