Кубические уравнения в школе

ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ

ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»

Учитель Математики Высшей категории

Как решать кубические уравнения

3 метода: Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения. Нахождение целых решений при помощи разложения на множители. Использование дискриминанта.

Кубические уравнения имеют вид ax3 + bx2 + cx + d = 0. Способ решения таких уравнений известен уже несколько столетий (он был открыт в 16 веке итальянскими математиками). Решить некоторые кубические уравнения довольно сложно, но при правильном подходе (и хорошем уровне теоретических знаний) вы сможете решать даже самые сложные кубические уравнения.

 

Метод 1 из 3: Решение при помощи формулы для решения квадратного уравнения

1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член.Как отмечалось выше, кубические уравнения имеют вид ax3 + bx2 + cx + d = 0, где коэффициенты "b", "с" и "d" могут быть равны 0, то есть кубическое уравнение может состоять только из одного члена (с переменной в третьей степени). Сначала проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член, то есть "d". Если свободного члена нет, вы можете решить данное кубическое уравнение при помощи формулы для решения квадратного уравнения.

Если свободный член есть, используйте другой метод решения (смотрите следующие разделы).

 

2. Так как в данном уравнении свободного члена нет, то все члены этого уравнения содержат переменную "х", которую можно вынести за скобки:x(ax2 + bx + c).

Пример. 3x3 + -2x2 + 14x = 0. Если вынести "х" за скобки, вы получите x(3x2+ -2x + 14) = 0.

 

3. Обратите внимание, что уравнение в скобках – это квадратное уравнение вида ax2 + bx + c, которое можно решить при помощи формулы ({-b +/-√ (b2- 4ac)}/2a). Решите квадратное уравнение, и вы решите кубическое уравнение.

В нашем примере подставьте значения коэффициентов "а", "b", "с" (3, -2, 14) в формулу:

{-b +/-√ (b2- 4ac)}/2a

{-(-2) +/-√ ((-2)2- 4(3)(14))}/2(3)

{2 +/-√ (4 - (12)(14))}/6

{2 +/-√ (4 - (168)}/6

{2 +/-√ (-164)}/6

Решение 1:

{2 + √(-164)}/6

{2 + 12,8i}/6

Решение 2:

{2 – 12,8i}/6

 

4. Помните, что квадратные уравнения имеют два решения, а кубические – три решения. Вы нашли два решения квадратного, а следовательно и кубического уравнения. В случаях, когда вы выносите "х" за скобки, третье решение всегда равно 0.

Это верно, так как любое число или выражение, умноженное на 0, равно 0. Так как вы вынесли "х" за скобки, то вы разложили кубическое уравнение на два множителя ("х" и квадратное уравнение), один из которых должен быть равен 0, чтобы все уравнение равнялось 0.

 

Метод 2 из 3: Нахождение целых решений при помощи разложения на множители

1. Проверьте, имеет ли данное вам кубическое уравнение свободный член.Описанный в предыдущем разделе метод не годится для решения кубических уравнений, в которых присутствует свободный член. В этом случае вам придется воспользоваться методом, который описан в этом или следующем разделах.

Пример. 2x3 + 9x2 + 13x = -6. Здесь перенесите свободный член d = -6 на левую сторону уравнения, чтобы на правой стороне получить 0: 2x3 + 9x2 + 13x + 6 = 0.

 

2. Найдите множители коэффициента "а" (коэффициент при x3) и свободного члена "d". Множители числа – это числа, которые при перемножении дают исходное число. Например, множителями числа 6 являются числа 1, 2, 3, 6 (1*6 = 6 и 2*3 = 6).

В нашем примере а = 2 и d = 6 . Множители 2 – это числа 1 и 2. Множители 6 – это числа 1, 2, 3 и 6.

 

3. Разделите множители коэффициента "а" на множители свободного члена "d". Вы получите дроби и целые числа. Целым решением данного вам кубического уравнения будет либо одно из этих целых чисел, либо отрицательное значение одного из этих целых чисел.

В нашем примере разделите множители "а" (1, 2) на множители "d" (1, 2, 3, 6) и получите: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, 2/3. Теперь добавьте к этому ряду чисел их отрицательные значения: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, -1/6, 2, -2, 2/3, -2/3. Целые решения данного вам кубического уравнения находятся в этом ряду чисел.

 

4. Теперь вы можете найти целые решения вашего кубического уравнения, подставив в него целые числа из найденного ряда чисел. Но если вы не хотите тратить время на это, воспользуйтесь делением по схеме Горнера. Такая схема подразумевает деление целых чисел на значения "а", "b", "с", "d" данного кубического уравнения. Если остаток равен 0, целое число является одним из решений кубического уравнения.

Деление по схеме Горнера – непростая тема; для получения дополнительной информации по ней перейдите по ссылке, указанной выше. Вот пример того, как найти одно из решений данного вам кубического уравнения при помощи деления по схеме Горнера:

-1 | 2 9 13 6

__| -2-7-6

__| 2 7 6 0

Так как остаток 0, то одним из решений уравнения является целое число -1.

 

Метод 3 из 3: Использование дискриминанта

1. В этом методе вы будете работать со значениями коэффициентов "а", "b", "с", "d". Поэтому лучше выписать значения этих коэффициентов заранее.

Пример. x3 - 3x2 + 3x - 1. Здесь a = 1, b = -3, c = 3, d = -1. Не забывайте, что когда перед "х" коэффициента нет, то это значит, что коэффициент равен 1.

 

2. Вычислите Δ0 = b2 - 3ac. В этом методе потребуется провести несколько сложных вычислений, но если вы уясните его, вы сможете решать самые сложные кубические уравнения.

В нашем примере:

b2 - 3ac

(-3)2 - 3(1)(3)

9 - 3(1)(3)

9 - 9 = 0 = Δ0

 

3. Вычислите Δ1= 2b3 - 9abc + 27a2d.

В нашем примере:

2(-3)3 - 9(1)(-3)(3) + 27(1)2(-1)

2(-27) - 9(-9) + 27(-1)

-54 + 81 - 27

81 - 81 = 0 = Δ1

 

4. Вычислите Δ = Δ12 - 4Δ03) ÷ -27a2. Теперь вычислите дискриминант уравнения при помощи найденных значений Δ0 и Δ1. Дискриминант – это число, дающее вам информацию о корнях многочлена (вы, возможно, уже знаете, что дискриминант квадратного уравнения равен b2 - 4ac). В случае кубического уравнения, если дискриминант положительный, то уравнение имеет три решения; если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет одно или два решения; если дискриминант отрицательный, то уравнение имеет только одно решение. Кубическое уравнение всегда имеет по крайней мере одно решение, потому что график такого уравнения пересекает ось X по крайней мере в одной точке.

В нашем примере Δ0 = 0 и Δ1 = 0, поэтому найти Δ не составит труда.

Δ12 - 4Δ03) ÷ -27a2

(0)2 - 4(0)3) ÷ -27(1)2

0 - 0 ÷ 27

0 = Δ, поэтому данное вам уравнение имеет одно или два решения.

 

5. Вычислите C = 3√(√((Δ12 - 4Δ03) + Δ1)/ 2). Эта величина позволит вам найти корни кубического уравнения.

В нашем примере:

3√(√((Δ12 - 4Δ03) + Δ1)/ 2)

3√(√((02 - 4(0)3) + (0))/ 2)

3√(√((0 - 0) + (0))/ 2)

0 = C

 

6. Корни (решения) кубического уравнения вычисляются по формуле (b +unC + (Δ0/unC)) / 3a, где u = (-1 + √(-3))/2, а n равно либо 1, либо 2, либо 3.

Если подставить в эту формулу соответствующие значения величин, вы получите возможные решения данного вам кубического уравнения. Подставьте их в исходное уравнение и если равенство соблюдено, то решения правильные. Например, если, подставив значения в формулу, вы получили 1, подставьте 1 в x3 - 3x2 + 3x - 1 и получите 0. То есть равенство соблюдено, и 1 является одним из решений данного вам кубического уравнения.