Курс по выбору «Многочлены» (Алгебра, 9 класс)

а) 2х2 + 3х – 6;

б) 16х – 14;

в) 6х2 – 2х;

г) 4;

д) 8х3 + 8х ;

е) - 2х3 + х2 + 1;

ж) 2х3 + 24х;

з) х4 .

3) Найдите свободные члены и суммы коэффициентов многочленов:

а) (3х2 – 4х + 2)10;

б) (х2 + х - 1)1998.

Ответ: а) 210; 1. б) -1; 1.

После изучения этой темы учащиеся должны :

уметь выписывать строку коэффициентов и определять степень многочлена по его стандартному виду, называть старший коэффициент и свободный член многочлена; знать, что число коэффициентов многочлена на единицу больше его степени;

уметь приводить многочлен к стандартному виду, выполняя действия сложения, вычитания и умножения многочленов;

знать, что старший коэффициент произведения двух ненулевых многочленов равен произведению их старших коэффициентов;

знать, что степень произведения двух ненулевых многочленов равна сумме степеней этих многочленов;

знать, что произведение двух ненулевых многочленов является ненулевым многочленом; если произведение двух многочленов равно нулю, то хотя бы один из этих многочленов нулевой.

Занятие 2 – 3

Тема занятия: Значения и корни многочленов. Схема Горнера

Цели занятия:

1. Введение понятий «корень многочлена», «значение многочлена»; знакомство с приемом нахождения значения многочлена по схеме Горнера.

2. Развитие вычислительных навыков, памяти, мышления, внимания.

3. Привитие интереса к предмету математики, воспитание культуры речи.

Ход занятия:

Актуализация знаний.

Устно:

а) Для многочлена f(x) = 2x3+3x2 – 2x + 5 найдите f(0), f(1), f(-1), f(2).

б) Найдите корни многочлена: (х – 3)(х + 5)х, x2 + 4, x4 – 81, 2х – 18,

x2 – 7x + 12.

Изучение нового материала:

Занятие посвящено повторению понятия корня многочлена, а также обсуждению понятия равенства многочленов и знакомству со схемой Горнера. Введем несколько определений, которые пригодятся нам при решении задач.

Пусть у нас дан многочлен a0xn + a1xn-1+ … + an-1x + an.

Определение. Число с называется корнем многочлена f(х), если значение многочлена при х = с равно нулю.

Число корней ненулевого многочлена не превосходит его степени. Для любого натурального числа п можно указать многочлены степени n, имеющие ровно n корней.

Например, многочлен f(x) = (x – 1)(x – 2)(x - 3)…(x – n) имеет n корней, которыми будут являться числа 1, 2, 3, ... , n.

В тоже время существуют многочлены, число корней которых меньше их степени. Так многочлен (х2 +1), степень которого равна 2, вообще не имеет корней из множества действительных чисел.

Обсудим теперь понятие равенства многочленов. Если мы смотрим на многочлен как на формальное выражение с переменной х, то естественно считать, что два многочлена равны, если они имеют одинаковую степень и соответствующие их коэффициенты равны. Такое равенство многочленов называется равенством в алгебраическом смысле, то есть если:

f(x) = a0xn + a1xn-1+ … + an-1x + an

и

g(x) = a0xm + a1xm-1+ … + am-1x + am , и многочлены f(x) и g(x) равны, то m = n и a0 = b0, …, an = bn.

Однако на многочлен

f(x) = a0xn + a1xn-1+ … + an-1x + an

можно смотреть, как на функцию. Но тогда можно говорить о равенстве двух многочленов как о равенстве двух функций. Известно, что две функции называются равными, если они имеют одну и ту же область определения и каждому числу из этой области определения обе функции ставят в соответствие одно и то же число. Равенство многочленов, понимаемое в этом смысле, будем называть равенством в функциональном смысле. Если многочлены f(x) и g(x) равны, то для любого c  R имеем f(с) = g(с).

Итак, мы располагаем двумя понятиями о равенстве на множестве многочленов. Эти определения понятия равенства многочленов эквивалентны. Иначе говоря, если два многочлена равны в алгебраическом смысле, то они равны и в функциональном смысле, и обратно.

Для решения задач важно запомнить:

Значение f (0) равно свободному члену многочлена;

f (1) равно сумме коэффициентов многочлена.

Нахождение значений многочлена в соответствии с определением не представляет никаких принципиальных трудностей, однако вычисления при этом могут оказаться достаточно громоздкими. Для упрощения вычислений существует прием, называемой схемой Горнера – по имени английского математика 16 века. Эта схема состоит в заполнении некоторой таблицы из двух строк.

Например, чтобы вычислить значение многочлена f = 2x4 – 9x3 – 32x2 – 57 при х = 7, строка его коэффициентов записывается первой, старший коэффициент «дублируется» во второй строке, а перед ним ставится значение переменной 7, при котором мы вычисляем значение многочлена. Получается таблица, пустые клетки которой нужно заполнить.

 

Это делается по единому правилу: стоящее слева от заполняемой клетки число умножается на 7 и складывается с числом, стоящим над ней. Поэтому в первой пустой клетке получится 2 ∙ 7 + (-9) = 5, во второй - 5 ∙ 7 + (-32) = 3, в третьей 3 ∙ 7 + 0 = 21 и в последней - 21 ∙ 7 + (-57) = 90. Полностью заполненная схема Горнера выглядит так:

Такие «непонятные» вычисления приводят к ответу: f (7) = 90 – это последнее число второй строки.

Задача вычисления значений многочлена является абсолютно алгоритмической, но не всегда лёгкой: непосредственная подстановка требует обычно большого объёма вычислений и промежуточных записей. Эти вычислительные трудности целесообразно использовать в качестве проблемной ситуации, приводящей к основному рабочему приёму – схеме Горнера.

При изложении схемы Горнера следует особо обратить внимание на правильность записи первой строки для многочленов, у которых имеются нулевые коэффициенты. При записи схемы полезно проводить полужирную или двойную черту для отделения числа с от первого числа во второй строке и для отделения значения f(с) от предыдущих чисел. В первом случае эта черта подчеркивает, что с не входит во вторую строку, во втором случае мы не только графически отделяем нужный результат, но и показываем учащимся, что между этими черточками стоят коэффициенты частного от деления f на (х – с) с остатком.

Применяя схему Горнера, полезно обращать внимание на развитие вычислительной культуры учащихся. Следует обратить внимание на упражнения, связанные с восстановлением схемы Горнера по её фрагментам. Эти упражнения представляются несколько искусственными, но то из них, где требуется восстановить верхнюю строчку по нижней, полезно чисто практически: оно может быть использовано для быстрого и компактного умножения многочлена на линейный двучлен.

Так, для умножения многочлена 2x4 - 9x3 - 3x2 – 5 на х + 2 его можно рассмотреть как частное и записать его коэффициенты в нижней строке, т.е. начать вычисления с таблицы:

Далее идёт заполнение. В первой клетке первой строки стоит 2; затем, чтобы получить – 9 после сложения с 2  (-2) = - 4, во вторую клетку ставим - 5 и , рассуждая аналогично, получаем схему:

Таким образом, (2x4 - 9x3 - 3x2 – 5)( х + 2) = 2x5 – 5x4 - 21x3 – 6х2 - 5х – 10.

Можно сформулировать и правило умножения по схеме Горнера: для получения «верхнего» числа (кроме первого) надо из «нижнего» вычесть произведение предыдущего на число, стоящее слева вне строки коэффициентов.

Можно также отметить, что именно схема Горнера как более экономная используется при вычислениях на компьютерах и что она может использоваться как один из наиболее простых примеров алгоритма, содержащего цикл, при обучении программированию.

Для выработки навыков нахождения значения многочлена по схеме Горнера можно предложить учащимся следующие задания:

Используя схему Горнера, вычислите значение f (c):

а) f = x3 – 5x2 + 3x – 4, если с = - 1; - 2; - 3; 4, 5, 6.

б) f = x4 + 3x2 + 2x + 1, если с = 1; 2; 3; - 2;

в) f = x5 – 3x4 + 5x3 – 7х2 + 4х – 6, если с = 2; 3; - 2; - 3;

Решение:

а) Составляем таблицу и заполняем её, используя правило. Числа, записанные в последнем столбике, и есть значения многочлена f при заданных значениях с.

 

б) и в) аналогично.

Какие из чисел 1; - 1; 2; - 2; 3; - 3 являются корнями уравнения:

а) x3 – 6x2 + 11x – 6 = 0;

б) 3x5 – 2x4 – 19x3 – 5х2 – х – 6 = 0;

в) x6 + 3x5 – 11x4 – 21х3 + 40х2 + 36х – 48 = 0?

Решение:

б) Составляем схему Горнера и находим значения многочлена при

х =  1; х =  2; х =  3.

При х = 3 и х = - 2 значения многочлена равны нулю. Значит, числа 3 и – 2 являются корнями данного уравнения.

Ответы: а) 1; 2; 3. в) 1; 2; - 2.

Восстановите схему Горнера, заполнив пустые клетки:

 

а)

 

 

б)

 

 

в)

 

Решение:

 

а)

 

Последовательно находим: а0 = 1;

2 = 1  1 + а1, а1= 1;

- 1 = 2  1 + а2, а2= - 3;

- 2 = - 1  1 + а3, а3= - 1;

- 3 = - 2  1 + а4, а4= - 1.

 

б)

 

Для определения с решаем уравнение 12с – 7 = - 19

12с = - 12

с = - 1.

После определения с схема Горнера заполняется обычным образом.

Ответ:

 

 

 

 

в)

 

Для нахождения с решаем уравнение 3с2 – 12с – 1 = - 13,

3с2 – 12с – 1 + 13 = 0,

3с2 – 12с + 12 = 0,

3(с2 – 4с + 4) = 0,

3(с – 2)2 = 0,

(с – 2)2 = 0.

с = 2

 

Ответ:

 

После изучения материала этого занятия учащиеся должны уметь применять схему Горнера для вычисления значений многочлена и нахождения корней многочленов и целых алгебраических уравнений.

Занятие 4

Тема занятия: Целые и дробные корни многочленов

Цели занятия:

Ознакомление учащихся с теоремой о целых корнях, с теоремой о рациональных корнях; применение этих теорем к выполнению заданий.

Развитие вычислительных навыков учащихся, памяти внимания.

Воспитание самостоятельности и взаимопомощи.

Ход занятия:

Мы очень часто сталкиваемся с многочленами, коэффициентами которого являются целые числа. Вопрос заключается в том, как отыскать рациональные корни многочленов.

В случае многочленов с целыми коэффициентами всегда можно отыскать его рациональные, в частности, целые корни, если конечно, они есть.

Теорема ( о целых корнях ). Если целое число k – корень многочлена с целыми коэффициентами, то k – делитель его свободного члена.

На этой теореме основан алгоритм поиска целых корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и поочерёдно вычислить значение многочлена от всех этих чисел. Однако этот алгоритм может быть существенно упрощен, если применить дополнительное утверждение, основанное на одной из формул сокращённого умножения. Именно: из тождества

хn - yn = ( x – y )( хn – 1 + хn – 2y +x yn – 2 + yn – 1) вытекает, что для целых чисел b и c число bn - cn делится на b – c.

Теорема( дополнительная теорема о целых корнях ). Если целое число

k – корень многочлена f с целыми коэффициентами, то k - 1 – делитель числа f(1), k + 1 – делитель числа f( -1).

Доказательство: При с = 1 f (k) – f (1) делится на k – 1, и если f (k) = 0, то

-f (1), а значит, и f (1) делится на k – 1. Что и требовалось доказать.

В связи с теоремой о целых корнях необходимо поставить и решить с учащимися вопрос об обратном утверждении. Естественно, что это утверждение неверно, хотя учащиеся часто полагают противное. Опровергнуть его можно двумя способами – привести простой контрпример ( х2 – 4 = 0 или 2х – 1 = 0) и «привести к абсурду» саму мысль о его справедливости: в этом случае квадратное уравнение имело бы не максимум два корня, а столько корней, притом целых, сколько делителей у его свободного члена.

Дополнительную теорему о целых корнях можно не рассматривать, хотя её доказательство применяется при решении задач. Применяя эту теорему, учащиеся вычисляют значения многочлена.

 

Рассмотрение алгоритма поиска целых корней многочленов связано с комбинаторной задачей о числе делителей натурального числа. Эта задача может быть предложена учащимся для самостоятельного решения. Например, для числа 1568 = 25  72 все делители можно записать в виде таблицы:

 

В первой строке записаны все степени числа 2 (от нулевой до пятой), вторая строка получается умножением первой на 7, а третья – умножением второй на 7. Такая запись делает почти очевидным утверждение, что число делителей числа вида pk  gl , где p и g – простые числа, равно

(k + 1)(l + 1). Эта формула легко переносится и на общий случай – на любое число простых делителей числа. Так, число 27 53 7 132 имеет

8  4  2  3 = 192 делителя.

Способ отыскания рациональных корней многочленов с целыми коэффициентами дается следующей теоремой.

Теорема ( о рациональных корнях ). Пусть рациональное число p/q – корень многочлена с целыми коэффициентами, причём дробь p/q несократима. Тогда числитель дроби p – делитель свободного, а знаменатель q – делитель старшего коэффициента многочлена.

Доказательство:

Пусть f(х) = а0хn+а1xn-1 + а2хn-2+... + аn-1х + аn,(а0,а1,...,аn  Z). Запишем условие того, что х0=p/q является корнем многочлена f(x) , числа р , q являются взаимно простыми. Поэтому дробь p/q несократима.

Так как p/q - корень многочлена, то имеем f( p/q ) = 0 или

а0(p/q)n+а1(p/q)n-1 + а2(p/q)n-2+... + аn = 0.

Умножая обе части этого равенства на qn , получим:

а0pn+а1pn-1 q + а2pn-2 q2+... + аnqn = 0.

Оставляя слагаемое а0pn в левой части равенства и перенося все

остальные слагаемые в правую часть с противоположным знаком, получим:

а0pn = -( а1pn-1 + …+ аn-1p qn-2 + аnqn-1)q.

Из этого равенства следует, что произведение а0pn делится на q. Но поскольку pn и q не имеют общих множителей, то на q делится а0.

Аналогично, исходя из равенства

аnpn = -( а0pn-1 + а1pn-2q + …+ аn-1p qn-1 )p

получим, что аn делится на p. Теорема доказана.

Важным следствием теоремы о рациональных корнях является следующее утверждение:

Теорема. Если старший коэффициент многочлена с целыми коэффициентами равен 1, то всякий рациональный корень многочлена является целым числом.

Эта теорема даёт алгоритм поиска рациональных корней многочлена с целыми коэффициентами: выписать все делители свободного члена и все положительные делители старшего коэффициента и поочерёдно вычислять значения многочлена от этих чисел.

Данная теорема может быть сформулирована и другими способами, полезными для решения задач:

Многочлен с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 не может иметь дробных корней.

Корни многочлена с целыми коэффициентами и со старшим коэффициентом 1 либо целые, либо иррациональные.

Пример 1. Найти все рациональные корни многочлена

2x3 - 7x2 + 5х – 1.

Решение: Пусть p/q – корень уравнения, тогда p нужно искать среди делителей свободного члена, а q – среди делителей старшего коэффициента, т.е. p =  1, q =  1,  2. Таким образом, рациональные корни уравнения 2x3 - 7x2 + 5х – 1 = 0 нужно искать среди чисел  1,  ½. Подставляя поочерёдно данные числа в уравнение, получаем, что корнем является только число ½.

Ответ: ½.

Пример 2. Найти целые корни многочлена

f(х) = 2x3 + 2/3x2 – 1/2 x + 5/6.

Решение: Не все коэффициенты данного многочлена f(х) целые, поэтому сразу применить теорему о целых корнях нельзя. Рассмотрим многочлен f1(х) = 6  f(х) = 12x3 + 4x2 – 3 x + 5.

Корни многочлена f1(х) и f(х) совпадают. Ищем целые корни многочлена f1(х) среди делителей его свободного члена:  1,  5. Имеем f1(1) = 18, f1(- 1) = 0, f1(5) = 1590, f1(- 5) = 1380. Значит, f (х) имеет один целый корень х = - 1.

Ответ: - 1.

Для усвоения этой темы можно предложить учащимся следующие задания:

Для чисел 5, 11, 17 выпишите все:

а) натуральные делители;

б) целые делители.

Сколько натуральных делителей имеет простое число?

Ответ: Простое число p имеет два делителя: 1 и p и четыре целых делителя  1,  p.

Перечислите натуральные делители каждого из чисел:

а) 4; 9; 25; 49; 121;

б) 8; 27; 125;

в) 25; 36; 54; 73.

Ответ: Если p – простое число, то

а) p2 имеет делители 1, p, p2.

б) p3 имеет делители 1, p, p2, p3.

в) 25 имеет делители 1, 2, 22, 23, 24, 25. Остальные аналогично.

Какие из чисел 1; 2; - 3; - 5 являются корнями многочлена:

а) x3 – 38x2 + 37;

б) x3 + 3x2 + 50;

в) 2х4 – 5x3 + 11x2 –16x – 4?

Ответ: а) х = 1;

б) х = - 5;

в) х = 2.

4. Найдите все рациональные числа, которые являются корнями уравнения при каком-либо целом а: х4 + 3x2 + 5 = 7x3 + аx + 13.

Ответ: Перепишем уравнение в виде х4 + 3x2 + 5 - 7x3 - аx – 13 = 0. Получаем х4 - 7x3 + 3x2 - аx – 8 = 0. Старший коэффициент уравнения равен 1, так что все его рациональные корни целые и являются делителями числа 8. С другой стороны, если с – целый корень уравнения, то после подстановки его в уравнение получается верное равенство, которое можно рассматривать как уравнение относительно а. Это уравнение всегда имеет решение, поскольку с  0. Поэтому всякий делитель числа 8 при некотором а является корнем уравнения. Значит, корнями являются числа  1,  2,  4,  8.

5. Найдите целые корни многочленов:

а) f(х) = x3 - x2 – 29х + 45;

б) f(х) = x3 - 6x2 + 11х - 6;

в) f(х) = х4 + x3 - 11x2 – 5х + 30.

Ответ: а) 5; б) 1; 2; 3; в) 2; - 3.

После изучения этой темы учащиеся должны:

уметь решать квадратные уравнения с помощью теоремы Виета;

уметь находить целые и дробные корни многочленов и уравнений любых степеней с целыми коэффициентами;

знать формулировки теорем о целых и дробных корнях;

уметь перечислять делители небольших целых чисел.

Занятие 5 – 6

Тема занятия: Делимость многочленов. Деление многочленов с остатком

Цели занятия:

Знакомство учащихся с делением многочленов «уголком»; знакомство с приёмом деления многочлена на линейный двучлен с помощью схемы Горнера.

Развитие умения обобщать, конкретизировать; развитие вычислительных навыков.

Воспитание активности и самостоятельности.

Ход занятия:

Начать объяснение нового материала с введения определения.

Определение. Если многочлен f(x) делится на многочлен g(x) без остатка, то g(x) называют делителем многочлена f(x).

Теорема. Для того, чтобы многочлен g(x) был делителем многочлена f(x), необходимо и достаточно, чтобы f(x) можно было представить в виде

f(x) = g(x)q(x). (1)

Доказательство:

Необходимость: Пусть g(x) делитель f(x): f(x) = g(x)q(x) + r(x), где r(x) – остаток и он равен нулю. таким образом выполняется равенство из теоремы.

Достаточность: Пусть f(x) = g(x)q(x). Следовательно, остаток от деления многочлена f(x) на g(x) равен нулю, то g(x) делитель f(x). Теорема доказана.

В дальнейшем вместо фразы «многочлен f(х) делится на многочлен g(х)» будем писать: f(х) : g(х). В этой записи символ : заменяет слово «делиться на».

Например, x2 – 1 делится на х – 1, т.к. x2 – 1 = (х – 1) ( х + 1), x2 + 1 не делится на х – 1.

Многочлен q(x) в равенстве (1) называется частным от деления f(x) на g(x).

Заметим, что многочлен q(x) в равенстве (1) определяется однозначно: если бы существовал ещё один многочлен q1(x), удовлетворяющий равенству (1), то мы получили бы, что

f(x) = g(x)q(x) = g(x)q1(x),

откуда

g(x)(q(x) - q1(x)) = 0.

Но многочлен g(x) по условию ненулевой, и, значит, нулевым является многочлен q(x) - q1(x), т.е. q(x) = q1(x)).

Делимость многочленов обладает теми же свойствами, что и делимость целых чисел. Рассмотрим эти свойства, причем доказательства в этом случае учащимся даются в виде лекции.

Свойства делимости многочленов

1.Если f(х):g(х), g(х):h(х),то f(х):h(х) (свойство транзитивности)

Доказательство:

Деление f(х):h(х) означает следующее : $ j(х) : f(х) = g(х) × j (х).

Деление g(х):h(х) означает, что $ y(х) : f(х) = g(х) × y (х) . Следовательно,

f(x) = (j (х) × y (х))h(х) т.е. h(х) - делитель f(х) .

2. Если f(х):g(х), g(х):h(х), то[f(х) ± g(х)]:h(х).

Доказательство:

Деление f(х):g(х) означает следующее:

f(х) = h(х) × j (х). , а g(х) h(х) означает, что g(х) = h(х) × y (х).

Следовательно, f(х) ± g(х) = h(х) × (j(х) ± y(х)), т.е. h(х) - делитель суммы или разности.

3. Если f(х):h(х), то для любого g(х) имеем [f(х) × g(х)]:h(х).

Доказательство:

Так как f(х):h(х), то f(х) = h(х) ×j (х). Рассмотрим произведение

f(x)  g(x) = h(x)  j (х) × g(х)].

Отсюда следует, что h(x) – делитель произведения.

4. Всякий многочлен f(x) делится на многочлен нулевой степени.

Доказательство:

Пусть с  Р, с – многочлен нулевой степени (с  0). Многочлен f(x) можно представить в виде

f(x) = a0xn + a1xn-1+ … + aт-1х + an = c (a0 xn/с + a1xn-1/с + … + an/с).

таким образом, с – делитель многочлена f(x).

5. Если f(х):g(x) , то f(х) : (с  g(x)), (с  0).
Доказательство:

Пусть f(x):g(х), это означает, что

f(x) = g(x)  h(x) = c  ((g(x)  h(x))/с) = c  g(x)  1/с  h(x). Следовательно, c  g(x) – делитель многочлена f(x).

6. Многочлены f(x) и g(х) одновременно делятся друг на друга тогда и только тогда, когда g(x) = c  f(x), (с  0).

Доказательство.

1. Пусть f(x):g(х) и g(х):f(x), тогда

а) f(х) = g(х) × j (х) и deg f(х) = deg g(х) + deg j (х);

б) g(х) = f(х) ×  (х) и deg g(х) = deg f(х) + deg  (х).

Складывая данные равенства, получим

deg f(х) + deg g(х) = deg f(х) + deg g(х) + deg j (х) + deg  (х). Отсюда имеем deg j (х) + deg  (х) = 0. Так как степени неотрицательны, то deg j (х) = 0 и deg  (х) = 0. Тогда g(x) = f(x) × y (х) = c  f(x).

2. Пусть g(x) = c  f(x), то это означает, что g(x) : f(x). Но f(x) = 1/с  g(x) означает, что f(x) : g(x). Что и требовалось доказать.

7. Делители многочлена f(х) являются также делителями многочлена

c  f(x).

Доказательство:

Пусть h(х) – делитель многочлена f(х), т.е. f(х) = h(х) × j (х). Умножая обе части равенства на с , получаем c  f(х) = h(х)  [с × j (х)] .

Таким образом, h(х) является делителем многочлена с × j (х). Что и требовалось доказать.

Причем, можно допустить и возможность доказательства учащимися нескольких свойств самостоятельно.

До сих пор мы говорили, что если деление многочлена на многочлен возможно, то частное существует, но как его найти, мы еще не знаем. Существует несколько способов нахождения частного. Один из них: метод неопределенных коэффициентов.

Рассмотрим пример 1 .

Методом неопределенных коэффициентов найти частное от деления многочлена f(х) = х4 + 5х3 + 5х2 - 1 на многочлен g(х) = х + 1 .

Решение. По определению делимости многочленов и по свойству степени произведения имеем f(х) = g(х)  q(х) и deg q(х) = 4 - 1 = 3 . Следовательно, q(x) можно искать в виде q(x) = aх3 + bх2 + сх + d . Значит

х4 + 5х3 + 5х2 - 1 = (х + 1)( aх3 + bх2 + сх + d);

х4 + 5х3 + 5х2 - 1 = aх4 + (b + a)х3 + (с + b)х2 + (d + c)x –d .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х (равенство многочленов в алгебраическом смысле), получим систему для определения коэффициентов :

a = 1,

b + a = 5,

c + b = 5,

d + c =0,

d = -1.

Откуда а = 1, b = 4, с = 1, d = -1.

Ответ: искомое частное q(х) = х3 + 4х2 + х - 1 .

Делимость многочленов имеет большое значение для решения уравнений: если многочлен f делится на многочлен q, т.е. представляется в виде f = q h, то уравнение f (x) = 0 равносильно уравнению q (x) h(x) = 0. Поэтому дальше надо решить уравнение q (x) = 0 и h(x) = 0, каждое из которых имеет степень, меньшую степени многочлена f, т.е. существенно проще.

Таким образом, для решения уравнений полезно уметь раскладывать многочлены на множители. Однако эта задача очень трудная, и для её решения полезным оказывается деление многочленов с остатком.

Сначала учащиеся вспоминают основные свойства делимости целых чисел и замечают, что эти свойства похожи на свойства делимости многочленов. Учитель указывает на еще одну важную аналогию, что при делении целого числа n на целое число m  0 однозначно определяется частное и остаток. Иначе говоря, для всякой пары целых чисел n и m  0 существует и при том единственная пара целых чисел q(частное) и г(остаток), которые удовлетворяют двум соотношениям: n = mq + r, 0  r  m. Например, при делении n = 73 на m = 13 имеем частное q = 5, остаток r = 8, так как 73 = 13  5 + 8, 0  8  13. При делении 19 на (- 5) получаем частноеq = - 3 и остаток r = 4, так как 19 = (- 5)  (- 3) + 4, 0  4  - 5.

Аналогичный факт имеет место и для многочленов.

Остатком от деления многочлена f(х) на многочлен g(х) ≠ 0 называется такой многочлен r(х), что:

разность f(х) – r(х) делится на g(х);

многочлен r(х) либо нулевой, либо имеет степень меньшую, чем степень многочлена g(х).

Т.е. многочлен f(х) можно представить в виде f(х) = g(х)q(х) + r(х), где q(х) – некоторый многочлен.

Теорема (о делении с остатком). Для любого многочлена f(х) и любого ненулевого многочлена g(х) существует единственная пара многочленов q(х) и r(х), для которой выполняется равенство

f(х) = g(х)q(х) + r(х),

где многочлен r(х) либо нулевой, либо имеет степень, меньшую, чем степень g(х).

На практике для нахождения частного и остатка обычно применяют метод вычисления, названный «деление углом». Этим приёмом можно любой многочлен f разделить с остатком на любой многочлен g ≠ 0.

Пример 1.

f = 4x5 – 3x3 + х – 1 2х2 – 3 = g

g q1 = 4x5 – 6x3 2х3 + 1,5х = q1 + q2

f1 = 3x3 + х – 1

g q2 = 3x3 – 4,5х

f2 = 5,5х –1 = r

Ответ: q = 2x3 + 1,5x r = 5,5x – 1.

Рассмотрим пример, когда остаток равен нулю.

Пример 2. Найти частное и остаток при делении многочлена

f(х) = х4 + 2х3 - 2х2 – 5х – 2 на многочлен g(х) = х2 + 3х + 2.

Решение:

х4 + 2х3 - 2х2 – 5х – 2 х2 + 3х + 2

х4 + 3х3 + 2х2 х2 - х - 1

- х3 - 4х2 – 5х – 2

- х3 - 3х2 – 2х

- х2 – 3х – 2

- х2 – 3х – 2

0

Итак, частное равно х2 - х – 1, остаток равен нулю. Значит,

х4 + 2х3 - 2х2 – 5х – 2 = (х2 + 3х + 2) (х2 - х – 1), то есть (х4 + 2х3 - 2х2 – 5х – 2) : (х2 + 3х + 2).

Ответ: q(х) = х2 - х – 1, r(х) = 0.

При выполнении заданий необходимо запомнить следующее: при умножении многочлена f на число частное и остаток умножаются на это число, а при умножении многочлена q на это число частное делится на это число, а остаток не меняется.

После изучения метода деления многочленов с остатком полезно явным образом обратить внимание учащихся на его очень существенные недостатки. Так, из него совершенно неясно, всегда ли существует остаток от деления одного многочлена на другой, и даже остается логическая возможность существования нескольких остатков.

Схему деления уголком учащиеся должны освоить, однако чрезмерного внимания ей уделять не следует, т.к. в задачах «разумной» трудности непосредственно делить с остатком на многочлен, степени, большей 1, приходится редко, а на линейные многочлены следует делить по схеме Горнера.

Задания для самостоятельной работы

1. Верны ли следующие утверждения:

а) (х4+16):(х2+4);

б) (х4 -16):(х2 -4);

в) (х4 -16):(х + 2);

г) (х2+4):(х4-16);

д) (х2+2х-3):(х + 1);

е) (х2+2х-3):(х - 1).

Ответ: а) нет; б) да; с) да; д) нет; е) нет; е) да.

2. Методом неопределенных коэффициентов найдите частное от
деления f(x) на g(x):

а) f(x) = x4 – 5x3 + 5х2 – 1, g(x)= х – 1;

Решение: По определению делимости многочленов и по свойству степени произведения имеем f(х) = g(х)  q(х) и deg q(х) = 4 - 1 = 3 . Следовательно,

q(x) можно искать в виде q(x) = aх3 + bх2 + сх + d . Значит

х4 - 5х3 + 5х2 - 1 = (х - 1)( aх3 + bх2 + сх + d);

х4 + 5х3 + 5х2 - 1 = aх4 + (b - a)х3 + (с - b)х2 + (d - c)x –d .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему для определения коэффициентов :

a = 1,

b - a = -5,

c - b = 5,

d - c =0,

d = 1.

Откуда получаем: а = 1, b = -4, с = 1, d = 1.

Ответ: х3 - 4х2 + х + 1 .

б) f(x) = 3x4 – 4x3 + 1, g(x)= (х – 1)2;

Решение: По определению делимости многочленов и по свойству степени произведения имеем f(х) = g(х)  q(х) и deg q(х) = 4 - 2 = 2 . Следовательно, q(x) можно искать в виде q(x) = aх2 + bх + с . Значит

3x4 – 4x3 + 1 = (х - 1)2( aх2 + bх + с);

3x4 – 4x3 + 1 = aх4 + (b - 2a)х3 + (с - 2b +а)х2 + (b - 2c)x+ c .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему для определения коэффициентов :

a = 3,

b - 2a = -4,

с - 2b +а = 0,

b - 2c = 0,

Откуда а = 3, b = 2, с = 1.

Ответ: 3х2 + 2х + 1 .

в) f(x) = 2x3 + x2 + 2х2 +3, g(x)= х + 1;

Ответ: 2х2 - х + 3.

 

Выполните деление «уголком»:

а) f = x3 – 5x2 + 7x – 2, q = х2 – 3х + 1;

б) f = x3 + 5x2 + 8x + 6, q = х2 + 2х + 2;

в) f = x4 – 4x3 + 9х2 – 10х + 6, q = х2 – 2х + 3;

г) f = x4 + 4x3 + 9х2 + 10х + 6, q = х2 + 2х + 2;

д) f = x5 + х2 – 4х – 2, q = х3 + 2х + 1;

е) f = x5 + 5x3 –х2 + 6х – 2, q = х3 + 3х – 1;

ж) f = 2x5 + 4x4 + 8x3 + 5х2 + 8х + 3, q = х2 + 2х + 3;

Ответ: 1) а) g = х – 2; б) g = х + 3; в) g = х2 – 2 х + 2; г) g = х2 + 2 х + 3;

д) g = х2 – 2; е) g = х2 + 2; ж) g = 2х3 + 2 х + 1.

Какие из многочленов

а) f1 = x2 + 3x + 2;

б) f2 = x3 – 3x2 + 2;

в) f3 = x4 – 3x2 + 2;

г) f4 = x4 – 2x3 + 2х2 – 9х + 8;

д) f5 = x4 + x3 + 3х2 + 4х + 1;

е) f6 = 2x5 – 5x3 – 8х + 10

делятся на: а) х –1;

б) х + 1?

Ответ: а) f2 , f3 , f4 ; б) f1 , f3 , f5 .

Разделите с остатком многочлен f на многочлен q:

а) f = x4 + 5x3 + 4х2 – 5х + 3, q = х2 + 3х + 1;

б) f = x4 + 3x3 – 5х2 + 4х – 2, q = х2 – 3х + 1.

Ответ: а) g = х2 + 2 х – 3; r = 2х + 6;

б) g = х2 + 6 х + 12; r = 34х – 14;

Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. Выделить из дроби целую и правильную части – это значит представить её в виде суммы многочлена ( «целой части» ) и правильной дроби ( «правильной части» ).

Выделите правильную часть из дроби f/q , где:

а) f = 2x – 1, q = х + 2;

б) f = 2x – 1, q = 3х + 4;

в) f = x3 – 5x2 + 5х – 2, q = х2 – 3х – 1;

г) f = x3 + 5х2 – 8х – 4, q = х2 – 2х – 2.

После изучения темы учащиеся должны:

знать свойства делимости многочленов;

уметь выполнять деление многочленов «углом»;

уметь применять метод неопределенных коэффициентов;

применять схему Горнера при делении многочлена на линейный двучлен.

Занятие 7 – 8

Тема занятия: Корни и линейные множители многочленов. Теорема Безу

Цели занятия:

1. Знакомство учащихся с теоремой Безу, доказательство следствий на уроке, показ учащимся практического применения теоремы Безу при решении задач.

2. Развитие устойчивого познавательного интереса, вычислительного навыка при решении задач, умения абстрагировать и обобщать полученные результаты.

3. Воспитание математической культуры, аккуратности и взаимопомощи.

Ход занятия:

Данное занятие учитель проводит в виде лекции, а для лучшего усвоения включает упражнения с разобранными решениями, которые можно либо заранее вынести на доску, либо рассматривать на уроке (абстрактно-дедуктивный метод).

Рассмотрим пример. Разделить многочлен f(х) = х3 + Зх2 - 7х - 6 на х - 1, х - 2, х + 3 с остатком.

Деление можно выполнить любым способом.

В итоге получим

f(x) = (x - 1)( x2 + 4х - 3) - 9, r = -9;

f( х) = (х - 2)(х2 + 5х + 3), r = 0;

f( х) = (х + 3)(х2 - 7) + 15, r = 15,

где r - остаток,

Подсчитаем значения многочлена в точках х = 1, х = 2, х = -3.

получим f(1) = 1 + 3 – 7 – 6 = - 9,

f(2) = 8 + 12 – 14 – 6 = 0,

f(-3) = - 27 + 27 + 21 – 6 = 15.

Можно заметить, что в рассмотренном примере в остатке всякий раз получается число, равное значению многочлена в соответствующей точке. Такое совпадение не случайно. Справедлива следующая теорема, играющая важную роль в теории многочленов и ее приложениях.

Теорема Безу. Остаток от деления многочлена на двучлен х–а равен значению многочлена при х = а .

Доказательство. Рассмотрим произвольный многочлен f(х) и разделим его с остатком на двучлен х - а. Так как степень этого двучлена равна 1, то остаток либо равен нулю, либо имеет степень нуль. И в том и в другом случае остаток r есть число. Значит, многочлен f(x) можно записать в виде

f(x) = (x - a)q(x) + r

Положив в этом тождестве х = а, получим, что f(а) = r. Теорема доказана.

Следствие 1. Многочлен f(x) делится на х- а тогда и только тогда, когда число а является его корнем.

Пример 1. Многочлен f(x) при делении на (х-3) дает остаток 5, а при делении на (х-1) - остаток 7. Какой остаток дает f(x) при делении на

(х - 3)(х - 1) ?

Решение. Делитель (х - 3)(х - 1) имеет степень 2 . Поэтому остаток есть многочлен степени не выше первой, т.е. r(x) = ax + b и нам нужно найти a и b. Обозначим частное через q(x). Тогда f(x) = ((x - 3)(x - 1))q(x) + (ax + b).

При х = 3 получим f(3) = За + b , но по условию и в силу теоремы Безу

f(3) = 5 , поэтому За + b = 5 . Аналогично при х = 1 получим а + b = 7.

Решая систему двух линейных уравнений За + b = 5 ,

а + b = 7 , получим а = - 1, b = 8.

Значит, r(х) = - х + 8.

Ответ: r(х) = - х + 8.

Выполним еще одно задание для лучшего усвоения теоретического материала темы, при выполнении которого учитель уделяет внимание математической культуре, правильности оформления и записи задачи.

Пример 2. При каких a и b многочлен f(х) = x3 +aх2 +bх + аb при делении на х-2 имеет остаток 15, а на х+1 делится без остатка.

Решение. По теореме Безу f(2) = 15 и f(-1) = 0. Вычисляя f(2) и f(-1) для определения a и b, получаем систему

8 + 4a + 2b + ab = 15,

-1+ a – b + ab = 0.

решая которую, находим два ее решения

a1 = 1, a2 = 1,

b1 = 1 и b2 = 1.

Условию задачи удовлетворяют два многочлена

f1(х) = х3 +х2 + x + 1 и f2(x) = х3 +3х2 -х-3.

Ответ: f1(х) = х3 +х2 + x + 1,

f2(x) = х3 +3х2 -х-3.

Следствие 2. Если 1, 2, … n – различные корни многочлена f(х), то f(х): ((х - 1) (х - 2)… (х - n)).

Следствие 3. Число различных корней многочлена, отличного от нуля, не больше, чем его степень.

Доказательство. Пусть f(х) многочлен, f(х)  0 и deg f(x) = n.

Предположим, что f(х) имеет k различных корней и пусть 1, 2, … k - эти корни. Тогда по следствию 2

f(х) = ((х - 1) (х - 2)… (х - k))q(x)

и, значит,

deg f(x) = deg ((х - 1) (х - 2)… (х - k)) + deg q(x)

или n = k + deg q(x). Так как deg q(x)  0 , то k = n.

Уже упоминался тот факт, что если два многочлена равны, т.е. их значения совпадают при любом х  R , то совпадают и их коэффициенты при одинаковых степенях х.

Следствие 4. Если значения двух многочленов совпадают, степени которых не меньше n, совпадают в n + 1 точке, то эти многочлены равны.

Доказательство. Пусть 1, 2, … n+1 - различные числа, f(х) и g(х) –два многочлена, степени которых не больше n, принимающие в этих точках равные значения. Пусть h(х) = f(х) – g(x). Если h(х) не является нулевым многочленом, то deg q(x)  0 . Имеем h(i) = f(i) - g(i) = 0

(i = 1,2,...,n+1) т.е. h(х) имеет, по крайней мере, n+ 1 корень. Это противоречит следствию 3. Следовательно, h(х) есть нулевой многочлен, т.е. f(х) = g(х), что и требовалось доказать.

Задания для самостоятельной работы

Найдите остаток от деления многочлена f(х) на g( х):

а) f(х) = x4 + 14x3 – 27х + 22, g(х) = х - 3;

б) f(х) = x4 + 9x3 + 17х2 – 2х - 40, g(х) = х + 1;

в) f(х) = 3x4 - 5x3 - 11х2 – 7х + 12, g(x) = х - 1;

г) f(х) = х5 + 2x4 - 3x3 + 4х2 – 5х + 6, g(x) = х + 1;

д) f(х) = x4 - 3x3 + 5х2 – 2х + 7, g(x) = х - 2;

е) f(х) = x4 + 7x3 + 2х2 – 3х - 5, g(x) = х + 1;

ж) f(х) = 2x4 - 3x3 - 4х2 + 8х + 1, g(x) = х - 2;

з) f(х) = x5 - 3х2 + 7х + 14, g(x) = х + 1;

Ответ: