Математический турнир в 9 классе

Математический турнир в 9 классе.

Разминка.

1.Можно ли в листе бумаги, вырванном из школьной тетради, прорезать такую дыру, в которую пролезет взрослый человек?

2.Петя тратит 1/3 часть своего времени на занятия в школе, ¼ на игру в футбол, 1/5 на прослушивание музыки, 1/6 на телевизор, 1/7 на решение задач по математике. Можно ли так жить?

3.За весну Обломов похудел на 25%, затем за лето прибавил в весе 20%, за осень похудел на 10%, а за зиму прибавил 20%. Похудел ли он или поправился за год?

4.Какое наибольшее число воскресений может быть в году?

5.Четыре девочки – Катя, Маша, Лена и Нина участвовали в концерте. Они пели песни. Каждую песню исполняли три девочки. Катя спела 8 песен – больше всех, а Лена спела 5 песен – меньше всех. Сколько песен было спето?

Решения задач.

1.Ответ. Можно. Примерный способ показан на рис. Количество изгибов полоски можно делать больше или меньше, в зависимости от солидности того, кто должен пролезть.

2.Ответ. Если Петя может делать несколько дел одновременно, то можно; если же нет, то нельзя: сумма данных чисел больше единицы.

3.Ответ. Похудел. Если в начале весны Обломов весил х кг, то к концу года он стал весить 0,75* 1,2*0,9*1,2 х= 0,972 х кг

4.Ответ. 53.

Среди любых семи последовательно идущих дней обязательно встречается одно воскресенье. Поскольку 365= 52*7+1,

366= 52*7+2, то в любом году получается 52 семёрки дней (недель) и ещё остаток - 1 или 2 дня. В каждой семёрке ровно одно воскресенье, а в остатке одно или ни одного. Всего получается не более 53 воскресений. Пример года, когда было 53 воскресенья – 1984-й. Столько же воскресений в 1989, 1995, 2000, 2006, 2011, 2017, 2022 и т. д. годах.

5.Ответ. 9 песен. Если за каждую песню давать каждой её исполнительнице по конфете, то общее число призовых конфет будет кратно трём.

1 тур

1. Три лягушки.

Три лягушки находятся на дне колодца глубиной 60 м. За день они поднимаются на 18 м каждая, а потом спускаются первая на 12 м, вторая на 16 м, а третья на 17 м и остаются на своих местах до следующего дня. На следующий день каждая лягушка проделывает снова такой же маршрут и т.д. Через сколько дней лягушки выйдут из колодца?

2. На базаре.

За 9 кг орехов и 2 кг фейхоа заплатили столько же денег, сколько за 6 кг гранат. А за 6 кг орехов, 5 кг фейхоа и 4 кг гранат заплатили 43 р.

Сколько стоит 1 кг орехов, 1 кг гранат и 1 кг фейхоа в отдельности, если известно, что стоимость каждого продукта выражается целым числом?

3. Дедушка и внучка.

Сколько дедушке лет, столько месяцев внучке. Дедушке с внучкой вместе 91 год. Сколько лет дедушке и сколько внучке?

Ответы и решения.

1.Каждая лягушка в последний день поднимается на 18 м и выходит из колодца. А в предшествующие дни первая лягушка поднималась ежедневно на 18 – 12 = 6(м), (60 – 18) : 6 = 7 (дней), вторая на –

18 –16 = 2 (м), (60 -18 ) : 2= 21 (день), а третья – на 18 – 17 = 1(м),

(60 -18) : 1 = 42 (дня). Учитывая ещё последний день, заключаем, что первая лягушка выйдет из колодца через 8 дней, вторая – через 22 дня, а третья через 43 дня.

2.Пусть x, y, z – соответственно стоимости одного килограмма орехов, фейхоа и гранат. По условию 9x+2y=6z, 6x+5y+4z=43. Откуда получаем 18x+9,5y=64,5.

Видно, что y может быть только нечётным числом, y=2n+1, n=0, 1, 2,…. Теперь имеем 18x+19n=55. Целое положительное x=2 получается только при n=1.

Теперь y=3, z=4. Значит, орехи стоят 2р., фейхоа 3 р., а гранаты 4 р. за килограмм.

3.Пусть внучке x месяцев, а дедушке х лет, тогда х:12+х=91, 13х=91*12, х=84.

Дедушке 84 года, внучке 7 лет.

2 тур

1.Три велосипедиста.

Три велосипедиста начали с общего старта движение по круговой дорожке. Первый делает полный круг за 21 минуту, второй – за 35 минут, а третий – за 15 минут. Через сколько минут они ещё раз окажутся вместе в начальном пункте?

2.Разделить поровну.

Требуется разделить 5 одинаковых яблок между 8 мальчиками. Можете это сделать с наименьшим числом разрезов?

3.Разлейте молоко.

В вашем распоряжении имеются 4 ёмкости: 200г, 400г, 600г., 800г – все цилиндрической формы. Ёмкость 400г наполнена молоком, остальные – пустые. Пользуясь только этими ёмкостями, разлейте молоко так, чтобы в каждой ёмкости оказалось по 100 г молока.

Ответы и решения.

1.Находим наименьшее общее кратное чисел 21, 35, 15, а именно 105, т. е. через 1 ч.45 мин.

2.Имеем:

5/8= 4/8+ 1/8 = 1/2+1/8; отсюда видно, что 4 яблока нужно разделить пополам и только 1 яблоко на 8 частей. Таким образом, каждый мальчик получит одну вторую и одну восьмую яблока.

3.Из ёмкости 400 г выливаем молоко в 200-граммовую ёмкость до наполнения. В 400-граммовой ёмкости осталось 200 г молока. Наклоняя цилиндр ёмкостью 200 г, выливаем молоко из него в 600-граммовую ёмкость до тех пор, пока уровень молока в цилиндре ёмкостью 200 г не совпадёт с диагональю осевого сечения этого цилиндра. В результате в ёмкостях 200г и 600 г получится по 100 г молока. Потом 100 г молока , содержащиеся в 200-граммовой ёмкости, выливаем в 800-граммовую ёмкость. Далее из 400-граммовой ёмкости выливаем молоко в 200-граммовую ёмкость до тех пор, пока уровень молока не совпадёт с диагональю осевого сечения цилиндра ёмкостью 200 г. В этот раз цилиндр ёмкостью 200 г надо держать под углом так, чтобы диагональ осевого сечения цилиндра приняло горизонтальное положение. Таким образом, в каждой ёмкости получится по 100 г молока.

Литература

Васильев Н.Б., Гутенмахер В.Л., Раббот Ж.М., Тоом А.Л.

Заочные математические олимпиады. М. Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. , 1987.

Кордемский Б.А., Ахадов А.А. Удивительный мир чисел. М., Просвещение. 1986