Урок «Геометрическая прогрессия»
Тема урока: «Геометрическая прогрессия» «Прогрессио (лат)-движение вперед» Учитель математики БОУ г.Омска «СОШ №53» Ильяшева З.Ж.
УЧЕБНАЯ ЗАДАЧА 1 ЧТО Я УЗНАЮ НА УРОКЕ. 2 ЧЕМУ НАУЧУСЬ. 3 ГДЕ МОГУТ ПРИГОДИТЬСЯ ЭТИ УМЕНИЯ И ЗНАНИЯ.
Проверка домашнего задания.№275 Дана геометрическая прогрессия 2,6,18... 1) Вычислить b8 2)Найти номер члена последовательности, равного 162. 1) bn = b1 ·q n-1 b1= 2,b2 = 6 q =6/2=3 b8=2*37 =2*2187=4374 2) bn=162,n-? 2*3n-1 =162 3n-1 =162/2 3n-1 =81, 3n-1 =34 n-1=4, n=5. Ответ: b8=4374 , n=5.
Повышенный уровень д/з №324Пусть bn -число клеток после n-го деления. Тогда bn =a2n .Если n=10,то b10 = 210 a =1024а. Текст задания:Рост дрожжевых клеток происходит делением каждой клетки на две части . Сколько стало клеток после десятикратного их деления,если первоначально было а клеток?
Повышенный уровень д/з №278. Вкладчик 01.01.2004г, внес в сберегательный банк 30000р. Какой была сумма его вклада на 01.01.2006г, если сбербанк начислял ежегодно 6% от суммы вклада? 1)30000*0,06=1800(р)-6% от суммы 2)30000+1800=31800(р)-через год 3)31800*0,06=1908(р)- 6% от 31800 4)31800+1908=33708(р) Ответ: через 2 года сумма вклада составит 33708р.
«Сложные проценты»
Задача 6§20. Вкладчик поместил в банк а рублей под ежегодные р%.Какую сумму он будет иметь на счету через 3 года? Через год на вкладе будет а+а*0,01р=а(1+0,01р)рублей. Через 2 года сумма вклада увеличивается еще на р%,но уже от суммы,которая оказалась на счету через год, и станет(в рублях)равной а(1+0,01р)+(а(1+0,01р))*0,01р=а(1+0,01р)(1+0,01р)=а(1+0,01р)² Найдем сумму(в рублях),которая будет на счету через 3 года:а(1+0,01р)²+(а(1+0,01р)²)*0,01р=а(1+0,01р)² * (1+0,01р)=а(1+0,01р)³. Ответ: а(1+0,01р)³.
Если при вычислении процентов на каждом следующем шаге исходят от величины,полученной на предыдущем шаге, то говорят о начислении сложных процентов (процентов на проценты). В этом случае применяется формула сложных процентов:
Формула сложного процента а(1+ 0,01 х) =в где а — первоначальное значение величины, в- новое значение величины, х — количество процентов n- количество промежутков времени а(1- 0,01х) =в периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.
2 способ решения задачи №278: а= 30000(первоначальное значение), х=6(%),n=2 (количество промежутков времени) 30000(1+0,01*6)² =30000*1,06² =30000*1,1236=33708р Ответ:33708 р
ИНФУЗОРИИ… Летом инфузории размножаются бесполым способом делением пополам.Результат каждого удвоения называют поколением Вопрос: сколько будет инфузорий после 15-го размножения? Все организмы обладают интенсивностью размножения в геометрической прогрессии
РЕШЕНИЕ b15 = 2·214 = 32 768 Численность любого вида при отсутствии ограничений растёт в соответствии с геометрической прогрессией; Кривая роста численности любого вида при отсутствии ограничений называется экспонентой.
Способность к размножению у бактерий настолько велика, что если бы они не гибли от разных причин, а беспрерывно размножались, то за трое суток общая масса потомства одной только бактерии могла бы составить 7500 тонн. Таким громадным количеством бактерий можно было бы заполнить около 375 железнодорожных вагонов. бактерии…
Интенсивность размножения бактерий используют… в пищевой промышленности (для приготовления напитков, кисломолочных продуктов, при квашении, солении и др.) в сельском хозяйстве (для приготовления силоса, корма для животных и др.) в фармацевтической промышленности (для создания лекарств, вакцин) в коммунальном хозяйстве и природоохранных мероприятиях (для очистки сточных вод,ликвидации нефтяных пятен)
В каких процессах ещё встречаются такие закономерности? Деление ядер урана происходит с помощью нейтронов. Нейтрон, ударяя по ядру урана раскалывает его на две части. Получается два нейтрона. Затем два нейтрона, ударяя по двум ядрам, раскалывают их еще на 4 части и т.д. — это геометрическая прогрессия. При повышении температуры в арифметической прогрессии скорость химической реакции вырастает в геометрической прогрессии.
Вписанные друг в друга правильные треугольники — это геометрическая прогрессия. Денежные вклады под проценты — это пример геометрической последовательности.
Вспомни Заполни таблицу
Реккурентная формула Формула нахождения знаменателя Характеристическое свойство Формула n- члена
Реккурентная формула bn+1 =qbn Формула нахождения знаменателя Характеристическое свойство Формула n- члена bn = b1 ·q n-1
Теория 1.Можно ли назвать последовательность чисел ,каждый член которого больше предыдущего геометрической прогрессией? 2. Какая последовательность называется геометрической прогрессией? 3. Что называется знаменателем геометрической прогрессии? 4. Какова формула n-го члена геометрической прогрессии?
5. Сформулируйте основное свойство геометрической прогрессии. 6. Какое число не является членом геометрической прогрессии 3,6,12,24... 1)48; 2)25; 3) 192; 4)96? 7.Назовите три следующих числа последовательности 1/2;1/4...,если известно,что она является геометрической прогрессией. 8. Для геометрической прогрессии найти произведение первого и третьего членов,если второй член равен -4. 9. Найти знаменатель геометрической прогрессии,если ее четвертый член равен 5, а шестой 20
Решить задания :работа с учебником №316(1,3)
ОГЭ
А Б В 1 3 2
Тест-прогноз
Тест-прогноз Ответы 2 вариант №1(1б) 2 №2(1б) 16 №3(2б) -32 №4(2б) 5 №5(3б) 128 №6(4б) 3)-63 1 вариант №1(1б) 3 №2(1б) -3 №3(2б) 80 №4(2б) 30 №5(3б) 3 №6(4б) 3)54
Письмо из прошлого Задачи на прогрессии, дошедшие до нас из древности, были связаны с запросами хозяйственной жизни: распределение продуктов, деление наследства и др.
Письмо из прошлого Задача из папируса Райнда: «У семи лиц по семи кошек, каждая кошка съедает по семи мышей, каждая мышь съедает по семи колосьев,из колоса может вырасти по семи мер ячменя. Как велики числа этого ряда и какова их сумма?
Одна из задач интересна в исторической связи и носит имя "задачи о семи старухах". Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного? Одна из задач интересна в исторической связи и носит имя "задачи о семи старухах". Старухи направляются в Рим, каждая имеет 7 мулов, каждый мул тащит 7 мешков, в каждом мешке находится 7 хлебов, у каждого хлеба лежит 7 ножей, каждый нож нарежет 7 кусков хлеба. Чему равно общее число всего перечисленного? В историческом отношении эта задача интересна тем, что она тождественна с задачей, которая встречалась в папирусе Райнда (Египет), то есть через три тысячи лет после египетских школьников задачу предлагалось разрешить итальянским школьникам.
Общее число всего перечисленного Общее число всего перечисленного 7+49+343+2401+16807+117649=137256 1 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 3 7 6 5 4 1 2 У каждой старухи 7 мулов - всего 49 мулов Каждый мул тащит 7 мешков- всего 343 мешка 3 7 6 5 4 1 2 В каждом мешке 7 хлебов - всего 2401 хлеб У каждого хлеба лежит 7 ножей –всего 16807ножей 3 7 6 5 4 1 2 3 7 6 5 4 1 2 Каждый нож нарежет 7 кусков хлеба – всего 117649 кусков хлеба
Другой способ решения задачи 7, 49, 343, 2401, 16807, 117649 –это геометрическая прогрессия, первый член b1= 7 и знаменатель прогрессии q=7. bn= b1 q n-1. b6= 7 ·76-1= 7 ·75= 76= 117649. Sn =(b1(q n -1))/(q-1); S6 = (7(7 6 -1))/(7-1) = (7(117649 -1))/6= =7 ·117648:6=137256.
Еще две старинные задачи Шли семь старцев У каждого старца по семь костылей; На каждом костыле по семь сучков; На каждом сучке по семь кошелей; В каждом кошеле по семь пирогов; В каждом пироге по семь воробьёв. Сколько всего воробьёв? Ответ: 117649 воробьёв Каждый из 7 человек имеет 7 кошек. Каждая кошка съедает по 7 мышек, каждая мышка за одно лето может уничтожить 7 ячменных колосков, а из зёрен одного колоска может вырасти 7 горстей ячменного зерна. Сколько горстей зерна ежегодно спасается благодаря кошкам? Ответ: 16807 горстей
Домашнее задание Параграф 20, 1) №276 Повышенный уровень :1)№281 Общее задание: 2)Придумать задачу,где используется геометрическая прогрессия.
Итог урока 1Что узнали на уроке? 2Чему научились? 3Где могут пригодиться эти знания?
