МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА учебного занятия по дисциплине ОУД. 03 Математика: алгебра, начала анализа, геометрия для профессии 35.01.01 Мастер по лесному хозяйству на тему Решение квадратных уравнений с помощью комплексных чисел

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ПЕРМСКОГО КРАЯ

Краевое государственное автономное  профессиональное

 образовательное учреждение   «Уральский промышленный техникум»

г. Красновишерска Пермского края

МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА

учебного занятия по дисциплине  

ОУД. 03 Математика: алгебра, начала анализа, геометрия

для профессии 35.01.01 Мастер по лесному хозяйству

на тему:

Решение квадратных уравнений с помощью комплексных чисел

Разработала:  Ломова Людмила Александровна,

преподаватель

Красновишерск, 2017

Цели:

Образовательные: расширить понятие числа, ввести понятие комплексного числа, действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

Воспитательные: прививать интерес к математике, ознакомить обучающихся с историей развития комплексных чисел.

Развивающие: развивать творческое мышление, пространственное мышление, научить применять теоретические знания при решении практических задач, формировать активность и самостоятельность.

Используемые технологии и методы:

- проблемный диалог;

- информационно- коммуникационные технологии.

Тип занятия: комбинированный.

План урока:

1. Организационный момент.
2. Повторение материала предыдущего занятия.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление нового материала.
5. Рефлексия.
6. Домашнее задание.

1.Организационный момент (2 мин).

2. Повторение материала  предыдущего занятия (10 мин).

• Множество действительных чисел;
• Множество комплексных чисел;
• Определение и форма записи комплексного числа;
• Изображение комплексного числа на комплексной оси;
• Степени мнимой единицы;

3. Изучение нового материала.

Вопрос группе:

-Как называется картинка, которую вы видите на экране? (Мем).

-Что мы знаем об извлечении корня из отрицательных чисел? (что корень из отрицательных чисел не извлекается).

-А что, если я докажу вам сегодня на уроке, что не так уж этот корень и нереален? А помогут мне в этом числа, с которыми мы познакомились на предыдущем занятии - комплексные числа!

Верно, что во множестве действительных чисел корней из отрицательных чисел быть не может. Об этом нам всем говорили в школе. НО, введение понятия «комплексное число» продвинуло вперед современную математику, а с ней и другие естественные науки.

Так вот,  в множестве комплексных чисел корень из -1 извлекается и очень хорошо! Вспомним знакомую нам формулу           . Корень из -1= i,

Исследование алгебраических уравнений является одним из важнейших вопросов в математике. Например, действительных корней не имеет квадратное уравнение с отрицательным дискриминантом. Простейшим таким уравнением является уравнение

.

Для того чтобы это уравнение имело решение, необходимо расширить множество действительных чисел путем присоединения к нему корня уравнения

.

Обозначим этот корень через . Таким образом, по определению

, или

,

следовательно,

.

Таким образом, действительных чисел явно недостаточно, чтобы построить такую теорию квадратных уравнений, в рамках которой каждое квадратное уравнение было бы разрешимо. Это приводит к необходимости расширять множество действительных чисел до множества, в котором было бы разрешимо любое квадратное уравнение. Такое множество называется множеством комплексных чисел и обозначается С.

Рассматривать будем на таком примере:

Если говорить о действительных числах, то, вы знаете, что корень из отрицательного числа  нельзя извлекать. Однако в комплексных числах можно. Если конкретнее, 2 корня:

Выполним проверку того, что эти корни и права оказываются решением уравнения:

Что и требовалось доказать.

Зачастую используют сокращенную запись, корни записывают в одну строчку в таком виде: .

Такие корни являются сопряженными комплексными корнями.

Теперь вы знаете как можно извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Приведем еще несколько примеров:

, ,

,

,

Решим квадратное уравнение .

Первым шагом определим дискриминант уравнения:

В нашем случае дискриминант оказался отрицательным, и в случае с действительными числами у уравнения нет решений, но у нас вариант с комплексными числами, поэтому можем продолжать решение:

Как известно из формул дискриминанта у нас образуется 2 корня:

 – сопряженные комплексные корни

Т.о., у уравнения  есть 2 сопряженных комплексных корня:

,

Найти корни квадратного уравнения

Решение: на первом месте расположена мнимая единица, и, в принципе, от неё можно избавиться (умножая обе части на ), однако, в этом нет особой надобности.

Для удобства выпишем коэффициенты:

Не теряем «минус» у свободного члена. Уравнение в стандартном виде :

Вычислим дискриминант:

А вот и главное препятствие:

Применение общей формулы извлечения корня осложняется серьёзными затруднениями, связанными с аргументом подкоренного комплексного числа (убедитесь сами). Но существует и другой, «алгебраический» путь! Корень будем искать в виде:

Возведём обе части в квадрат:

Два комплексных числа равны, если равны их действительные и их мнимые части. Таким образом, получаем следующую систему:

Систему проще решить подбором (более основательный путь – выразить из 2-го уравнения  – подставить в 1-е, получить и решить биквадратное уравнение). Из 1-го уравнения следуют, что «икс» по модулю больше, чем «игрек». Кроме того, положительное произведение  сообщает нам, что неизвестные одного знака. Исходя из вышесказанного, и ориентируясь на 2-е уравнение, запишем все подходящие ему пары:

Очевидно, что 1-му уравнению системы удовлетворяют две последние пары, таким образом:

Не помешает промежуточная проверка:

что и требовалось проверить.

В качестве «рабочего» корня можно выбрать любое значение. Понятно, что лучше взять версию без «минусов»:

Находим корни, не забывая, кстати, что :

Ответ:

Проверим, удовлетворяют ли найденные корни уравнению :

1) Подставим :

верное равенство.

2)Подставим

:

верное равенство.

Таким образом, решение найдено правильно.

4. Закрепление нового материала

Решить уравнения:

1. х² + (5 – 2i) x + 5(1– i) = 0;

2. х² + (1 – 2i) х – 2i = 0;

3.

5. Рефлексия

• Мне больше всего удалось…
• Для меня было открытием то, что …
• Что на ваш взгляд не удалось? Почему? Что учесть на будущее?

6. Домашнее задание

1. Составить конспект на тему «Тригонометрическая форма записи комплексного числа»;
2. Решить уравнения:

z^2-2z+5=0

z^2+3z+6=0

z^2-4z+25=0

3z^2-3z+3=0