Методическая разработка занятия по дисциплине «Математика» на тему «Нахождение неопределённого и определённого интегралов. Геометрическое приложение определенного интеграла»

Федеральное агентство железнодорожного транспорта

ФГБОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения»

Медицинский колледж железнодорожного транспорта

 

Методическая разработка

занятия по дисциплине «Математика»

Тема: «Нахождение неопределённого и определённого интегралов. Геометрическое приложение определенного интеграла»

 

Разработала:

Шелепова И.В.

 

Иркутск 2019

 

Методическая разработка занятия по теме «Нахождение неопределённого и определённого интегралов. Геометрическое приложение определенного интеграла» содержит технологическую карту, ход занятия, заключение, список используемых источников, приложения.

Предназначена для преподавателей математики, работающих по программам подготовки специалистов среднего звена 31.02.05 Стоматология ортопедическая, 31.02.06 Стоматология профилактическая, 34.02.01 Сестринское дело.

СОДЕРЖАНИЕ

 

 

Введение

 

Новое образование состоит в постоянном поиске методов и приёмов обучения созвучных времени, позволяющие специалисту, в дальнейшем самостоятельно решать стоящие перед ним задачи, быть этичными и интеллектуальными личностями. Это можно достичь используя, стиль диалоговой работы на занятии и математических способностей и достижений студентов при изучении математики. Студенту должно быть интересно на занятии, интерес – это синоним мотивации.

 Данное занятие было разработано для студентов 2 курса.

Раздел «Основы интегрального и дифференциального исчисления» является одним из самых сложных для восприятия разделов математики. Это обусловлено сложностью самого материала, слабо сформированной школьной базой по данному вопросу и ограниченным количеством времени на его изучение на первом и, особенно на втором курсах. На данном занятии студенты закрепляют знания, умения и навыки по рассматриваемой теме. Здесь они повторяют, закрепляют и систематизируют основные методы и приёмы вычисления неопределённого и определённого интегралов, учатся применять знания при решении конкретных практических задач. Целепологание занятия проводится через цитирование  высказываний великих людей. Ход занятия сопровождается демонстрацией слайдов по каждому этапному моменту. В конце занятия предлагается тестирование с оригинальной  графической самооценкой. Студенты имеют возможность высказать свои впечатления о занятии короткими фразами и пожелания на будущее. Занятие рассчитано на 90 минут с дальнейшим его обсуждением.

 

Технологическая карта занятия по дисциплине «Математика»

Наименование дисциплины: Математика

Тема занятия: «Нахождение неопределённого и определённого интегралов. Геометрическое приложение определенного интеграла»

Вид занятия: практическое

Тип занятия: закрепление знаний, умений и навыков

Учебная цель:

Закрепить знания, умения и навыки, полученные на предыдущих  занятиях по данной теме.

Развивающая цель:

Развивать умения и навыки решать задачи

Воспитательная цель:

Стремиться к воспитанию навыков  вычислительной культуры при решении задач, внимательности,  аккуратности и трудолюбия.

Формируемые компетенции: ОК З. Принимать решения в стандартных и нестандартных ситуациях и нести за них ответственность;

ОК 6. Работать в коллективе и команде, эффективно общаться с коллегами, руководством, потребителями.

Междисциплинарные связи: физика.

Время проведения: 90 минут.

Оснащение занятия: дидактические материалы, доска, мультимедийный проектор, экран, презентация, лист самооценки, таблица интегралов.

Место проведения – учебная аудитория.

СТРУКТУРА ЗАНЯТИЯ

 

ХОД ЗАНЯТИЯ

 

1. Организационный момент

Здравствуйте, присаживайтесь. Откройте тетради, запишите дату и тему занятия. Тема: «Нахождение неопределённого и определённого интегралов. Геометрическое приложение определенного интеграла». Отметим отсутствующих.

 

2. Мотивация учебной деятельности (Обострить внимание на значимость этой темы, связь её с физикой.)

Определённый интеграл имеет большое практическое  применение. С его помощью можно вычислять объёмы и площади поверхностей геометрических тел, длину кривой линии, площади плоских фигур, важные физические величины (работу, силу, теплоту и др.).

Как вы думаете, какое из высказываний, которые вы видите на экране,  более всего подходит к теме нашего занятия? Презентация слайд 2

«Недостаточно только получить знания, надо их систематизировать и найти им достойное приложение».Гёте И. (Немецкий поэт и мыслитель18 века.)

«Не в количестве знаний заключается образование, но в полном понимании и искусном применении всего того, что знаешь.» Дистервег А. (Немецкий педагог и политик 19 века.)

«Повторение – мать учения». (Русская народная пословица.)

- Кто бы из вас и выбрал 1 высказывание?                      Почему?

- Кто бы из вас и выбрал 2 высказывание?                      Почему?

- Кто бы из вас и выбрал 3 высказывание?                      Почему?

1-й студент: Мне понравилась пословица. Я считаю, что одной из целей занятия должно быть повторение пройденного материала.

2-й студент: Мне больше понравилось второе высказывание И.Гёте. Я считаю, что нам нужно кроме повторения ещё всё разложить по полочкам, т.е. систематизировать знания и умения.

3-й студент: А я считаю, что все три высказывания подходят к теме нашего занятия, и мы должны сегодня повторять, систематизировать и применять знания на практике.

Вы выбрали все три? И правильно! Значит целью нашего занятия будет: Повторение, систематизация и применение  знаний по теме «Нахождение неопределённого и определённого интегралов. Геометрическое приложение определенного интеграла».

презентация слайд 3

Сегодня  оценка будет складываться из вашей работы в течении всего занятия.

На столах у вас лежит ЛИСТ САМООЦЕНКИ презентация слайд 4.

Подпишите эти листы Ф.И.О.

 3. Актуализация опорных знаний:

Проводится фронтальный опрос. (Вопросы и правильные ответы последовательно высвечиваются на экране в виде слайдов) презентация слайд 5

1) Что называется неопределённым интегралом?

2) Как обозначается, читается  неопределённый интеграл?

3) Дописать на доске (наверху) продолжение формулы 

4) Дописать на доске (наверху) продолжение формулы 

5) Дописать на доске (наверху) продолжение формулы   

6) Дописать на доске (наверху) продолжение формулы  

7) Дописать на доске (наверху) продолжение формулы 

8) Как обозначается (читается) определённый интеграл

9) Дописать на доске формулу Ньютона – Лейбница 

10)После этого преподаватель обращает внимание студентов на слайд, где изображены различные виды фигур ограниченных линиями и требуется написать для каждой фигуры, формулу для вычисления ее площади, с помощью определенного интеграла. Презентация слайд 6

11) Как найти точки пересечения графика функции с осью ОХ?

12) Как найти точки пересечения графика функции с осью ОY?

13) Как найти вершину параболы?

14) Как найти точки пересечения двух графиков?

 

Преподаватель на доске решает задачи

Задача № 1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = -х + 8; у = ; у =2. Построим графики указанных функций в одной системе координат  

 

 

Найдем  пределы интегрирования -абсциссы точек пересечения графиков А,В,С. Для этого решим уравнение:  -х + 8 =  т.е  ХВ = 4.   = 2  т.е ХА=0;  -х + 8=2   т.е ХС=6.  Площадь искомого АВС равна сумме площадей  АВD  и ВСD. Площади каждого из последних равны разности двух  соответствующих  определённых интегралов.

SABD=  = 4(кв.ед).

SBСD= = 2(кв.ед).

SАBС =SBСD+SBСD=4+2=6 (кв.ед.).                  Ответ: 6 кв.ед.

 

Задача № 2   Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: у = х2+1;  у = - х2+4х +1.

Построим графики указанных функций в одной системе координат

 

Найдем  пределы интегрирования - абсциссы точек пересечения графиков А  и В. Для этого решим уравнение:  х2+1= - х2+4х +1  2х2-4х =0    х(х-2)=0  или х=2. Площадь искомой фигуры равна разности двух определённых интегралов на промежутке [0;2].     S=  =   =

= (+8) = 2 (кв.ед.)              Ответ: 2  кв.единиц.

 

4. Обобщение и систематизация знаний (решение задач)

Приступаем к решению типовых задач.

Вызывает студентов для решения интегралов

 

Задача 3: Вычислить интеграл 

Задача 4: Вычислить интеграл   

 Задача 5:  Вычислить определенный интеграл      

Задача 6: Вычислить определённый интеграл     

Напоминается, что определённый интеграл вычисляется по формуле Ньютона –Лейбница:

    

Те студенты, которые выходили к доске, выставляют баллы за свои решения в лист самооценки

 

5. Применение знаний и умений, в новой ситуации

Определённый интеграл имеет большое практическое применение (с его помощью можно вычислять объёмы и площади поверхностей геометрических тел, важные физические величины, такие как работу, силу, теплоту и др.). Мы рассмотрим применение определённых интегралов на примере  вычисления площади плоской  фигуры неправильной формы, где другими способами, точно её вычислить очень сложно. Выполняется небольшая самостоятельная работа (студенты в парах решают задачу №7). Презентация слайд 7

Задача 7: Вычислить площадь земельного участка ограниченного участком параболы

у = - х2+4х и отрезком прямой у = х.

В конце самостоятельной работы на экране демонстрируется правильное решение.

Решение:   Построим графики указанных функций в одной системе координат.

Найдём абсциссы точек пересечения графиков.  Для этого решим уравнение - х2 +4х=х   -х2 +4х -х=0   - х2 +3х=0    х(3-х)=0    х=0 или х=3. Площадь искомой фигуры равна разности площадей двух криволинейных трапеций, а значит разности двух определённых интегралов на промежутке [0;3].    S= | = (-9+27/2) -0 =9/2 = 4,5 (кв.ед).

Кто правильно решил задачу №7, проставляет самооценку.

 

6. Пояснение домашнего задания.

Прежде, чем переходить к тестированию, запишите домашнее задание (оно расположено на ваших столах)  и посмотрите краткие пояснения к ней на экране.

Презентация слайд 8

Задача № 1 Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами

У= - х2+8х -5,  у =  х2 -2х +3.

Задача №2 Вычислить площадь фигуры, ограниченной  линиями: у = , у = 0, х = 1, х = 9.

 

7. Тестирование

И для закрепления того, что мы с вами прошли, выполним тест по вариантам №1 и №2. Переверните листы самооценки, обнаружите тест. В каждом вопросе выберите правильный ответ и  закрасьте ручкой соответствующие кружочки на рисунке. Верхний ряд кружков соответствует ответу «а», средний – «б», нижний – «в». Первый столбец слева соответствует первому вопросу теста и т.д. Затем соедините кружки линией.     - Забавная рожица для ответов на вопросы теста.

Вариант № 1

1 Вопрос. Выберите правильное продолжение решения:   

а)                б)   в) 

2 Вопрос. Интегрирование – это действие обратное

а) вычитанию                 б) дифференцированию                      в) сложению

3 Вопрос. Чему равен интеграл        

а)  = 5cosx +c                  б)= 2cosx +c                                           в) = -10cosx +c

4 Вопрос. Написать правильное продолжение формулы 

а)                                      б)                       в)  

5 Вопрос. Oпределённый  интеграл   равен:    а) 8    б) 100   в) -20

Вариант №2

1Вопрос. Выберите правильное продолжение решения:

             а)              б)   в) 

2 Вопрос. Правильность интегрирования можно проверить:

а) сложением                   б) дифференцированием                      в) вычитанием

3 Вопрос. Чему равен интеграл 

а)  = 5sinx +c                     б)= 2sinx +c                                           в) = 8sinx +c

4 Вопрос. Написать правильное продолжение формулы  =

а)                                      б)                         в)  cosx + c

5 Вопрос. Oпределённый  интеграл    равен:  а) 1       б) 10   в) -30

Если ответы верные, то получается улыбка, как показано на рисунке.

П осчитайте количество верных ответов и заполните листы самооценки. Поставьте оценку за урок!

 

8. Рефлексия

Ваши впечатления  о занятии

а) Довольны ли вы своими баллами и своей самооценкой?

б) Понравилась ли вам такая форма проведения занятия?

в) Какой этап занятия более всего понравился?

г) Кто из ваших товарищей был на уроке самым активным?

д) Чей ответ больше всего понравился?

Заключение

Проведение занятия в данной форме позволяет преподавателю выступить в роли организатора. Преподаватель направляет, консультирует, дает рекомендации. Студенты в результате быстрее ориентируются в учебном материале, у них развивается интерес к самостоятельной работе, активизируется познавательная деятельность.

 

Список используемых источников:

Богомолов Н.В. Практические занятия по математике: Учебное пособие для техникумов.- 3-е изд.- М.: Высшая школа, 2010.-495с.

Дадаян А.А. Математика: Учебник 2-е изд.- М.: Форум- Инфра – М, 2011. – 552с.

Гилярова М.Г. Математика для медицинских колледжей РОСТОВ-на-ДОНУ, Феникс, 2014.- 442с.

Григорьев В.П. Ю.А.Дубинский. Элементы высшей математики. -М.: АСАDEMA,2010.

Электронный ресурс – режим доступа: http://knowledge.allbest.ru/mathematics

Приложение

 

 

 

 

Вариант № 1

1 Вопрос. Выберите правильное продолжение решения:   

а)                б)   в) 

2 Вопрос. Интегрирование – это действие обратное

а) вычитанию                 б) дифференцированию                      в) сложению

3 Вопрос. Чему равен интеграл        

а)  = 5cosx +c                  б)= 2cosx +c                                           в) = -10cosx +c

4 Вопрос. Написать правильное продолжение формулы 

а)                                      б)                       в)  

5 Вопрос. Oпределённый  интеграл   равен:   

а) 8    б) 100   в) -20

Вариант №2

1Вопрос. Выберите правильное продолжение решения:

   а)              б)   в) 

2 Вопрос. Правильность интегрирования можно проверить:

а) сложением                   б) дифференцированием                      в) вычитанием

3 Вопрос. Чему равен интеграл 

а)  = 5sinx +c                     б)= 2sinx +c                                           в) = 8sinx +c

4 Вопрос. Написать правильное продолжение формулы

а)                                      б)                         в)  cosx + c

5 Вопрос. Oпределённый  интеграл    равен: 

а) 1       б) 10   в) -30

 

Основные формулы интегрирования

(табличные интегралы)