| 12+ Свидетельство СМИ ЭЛ № ФС 77 - 70917 Лицензия на образовательную деятельность №0001058 |
Пользовательское соглашение Контактная и правовая информация |
 | Дмитрий1524 Я учитель математики. Работаю в сфере образования 4 года. Россия |
Методические аспекты использования активных методов обучения математике в 8 классе на примере изучаемой темы «Методы решения комбинаторных задач»
Методические аспекты использования активных методов обучения математике в 8 классе на примере изучаемой темы «Методы решения комбинаторных задач»
Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей являются обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности - умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит обучающемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.
Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий. В связи с чем, актуальной задачей является рассмотрение данной темы с точки зрения активных методик ее изложения участникам образовательного процесса - обучающимся.
Именно при проведении уроков учитель имеет возможность реализовать различные модели взаимодействия, поскольку тема «Методы решения комбинаторных задач» практически обуславливает возможность использования активных методик взаимодействия и организации на уроке. Способы решения таких практико-ориентированных задач позволяют формировать устойчивый интерес к изучению математики, развивать интеллект воспитанников, способность ориентироваться в окружающей действительности, строить прогнозы.
Данный раздел очень важен для развития математического мышления, позволяет формировать достаточный перечень образовательных результатов:
овладение символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные алгебраические умения;
развитие логического мышления и речи – умения логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;
обучение работе с информацией, представленной в таблицах, на диаграммах, графиках;
решение задач по комбинаторике;
составление таблиц, построение диаграмм, графиков на основе данных;
формирование представлений об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.
При изучении элементов комбинаторики обогащаются представления о современной картине мира, поскольку в повседневной жизни нередко возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов разрешения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не уступить ни одной из них, для этого необходимо рассматривать и прогнозировать различные ситуации. Этим и занимается комбинаторика, в которой изучают различные комбинации, подчинённые тем или иным условиям, которые можно составить из рассматриваемых объектов.
В рамках данной темы рассмотрим такую технологию взаимодействия на уроке, как «метод 6 шляп».
Рис.1. Структура метода «6 шляп»
Метод шести шляп позволяет развить у обучающихся гибкость ума, креативность, поможет правильно принять решение и более точно соотносить свой образ мыслей с поставленными целями и стоящими задачами. Особенно хорошо он подходит для оценки необычных и неординарных идей, когда важно учесть любое мнение и рассмотреть ситуацию в различных ее сегментах решения. Так как основной задачей урока является умение применять различные методы решения комбинаторных задач, то в рамках данной технологии обучающиеся, находясь в состоянии генерации идей, смогут определить свои идеи, осуществлять в сотрудничестве с другими обучающимися поиск наиболее эффективного способа разрешения задачи и поделится своими идеями с другими.
В контексте данной темы рассмотрим рабочую модель способов организации по формированию универсальных учебных действий в процессе решения определенной задачи.
Рис. 2. Модель взаимодействия участников команд.
Принцип работы: Обучающиеся делятся на команды согласно жеребьевке или личному желанию каждого (лучше всего деление на команды производить учителю, чтобы качественно распределить обязанности и уровень подготовки). После того, как обучающиеся поделены, они занимают соответствующие позиции за столами, обладающими своими характеристиками и названиями. Названия столов:
желтая шляпа;
зеленая шляпа;
белая шляпа;
синяя шляпа;
красная шляпа.
Каждый стол обладает особенностями согласно распределению по цветам шляп. «Желтая шляпа» решают комбинаторные задачи методом таблиц, «зеленая» - методом графов, «белая шляпа» - перебором различных вариантов, «синяя шляпа» - деревом возможных решений, «красная шляпа» - правилом умножения.
Осуществив деление на команды и рассмотрев свои роли, обучающиеся решают задачи, предложенные в карточке (у каждой из команд одна и та же задача), своим методом, после чего учитель организует урок таким образом, чтобы команды могли участвовать в обсуждении после каждой решенной задачи. Затем команды выбирают по представителю защиты своего метода на определенной задаче, и ведется активный диалог по выбору оптимального метода решения. Решив один пример, двое из участников команд меняются столами, осуществляя переход. Таким образом, каждый использует свои возможности в решении задания тем или иным методом.
Класс: 8.
Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний, урок-беседа.
Образовательная технология «Метод 6 шляп».
Тема урока «Методы решения комбинаторных задач»
Цель урока: повторить и систематизировать знания и умения обучающихся решать комбинаторные задачи различными методами.
Оборудование и материалы для урока: мультимедийный проектор, экран, групповые карточки с заданиями, презентация.
Планируемые образовательные результаты:
Предметные результаты:
уметь применять правило произведения, правило сложения при решении комбинаторных задач;
уметь определять выборки по таблицам, диаграммам, графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи;
уметь решать комбинаторные задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;
уметь решать задачи по комбинаторике на основе использования изученных методов и обосновывать решение;
решать простейшие комбинаторные задачи методом прямого и организованного перебора (метод перебора);
уметь представлять комбинаторную задачу в виде таблиц, диаграмм, схем (метод графов, метод таблиц, дерево решений).
Метапредметные
Регулятивные УУД
планирование - определение последовательности промежуточных целей при решении комплекса учебно - познавательных задач с учетом конечного результата;
оценка - выделение и осознание обучающимися того, что уже сделано на данном этапе и что нужно сделать для решения учебно-познавательной задачи;
коррекция - внесение необходимых дополнений и корректив в работе при выполнении промежуточных этапов и предвосхищение результата в соответствии с установленным эталоном;
формирование умений видеть проблемы в своей деятельности посредством рефлексии своей деятельности в конце урока и в процессе обсуждения [32].
Познавательные УУД
поиск и выделение необходимой информации из условия для понимания алгоритма решения и принципа задачи, применение методов информационного поиска;
выбор наиболее эффективных способов решения задачи;
смысловое чтение условия текстовой информации; извлечение из представленной задачи необходимой информации на основе анализа текста условия; умение определять главное и второстепенное;
моделирование - преобразование объекта представленной формы в математическую модель и наоборот; умение работать с готовой математической моделью, видеть в модели необходимые данные для составления нужного арифметического тождества;
установление причинно-следственных связей компонентов и данных при решении задач.
Коммуникативные УУД
планирование учебного сотрудничества; постановка вопросов; разрешение конфликтов; умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.
Личностные УУД
обеспечение обучающимся возможности самостоятельно осуществлять динамику роста в плане личностного развития, ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, уметь контролировать и оценивать учебную деятельность и ее результаты.
В предметную область «Математика» включен раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». При проведении уроков по этому разделу учитель имеет возможность формировать устойчивый интерес к изучению математики, развивать мышление у обучающихся, способность ориентироваться в окружающей действительности, строить прогнозы и решать практические задачи различными методами. Данный урок знакомит обучающихся с различными методами решения комбинаторных задач. Задачи являются необычными с точки зрения формулировки, но практически обусловлены в повседневной жизни, помогают осознавать, что многие законы природы и общества имеют комбинаторный характер.
Технологическая карта урока
| № п/п | Этапы урока. Содержание. Время. | Деятельность учителя | Деятельность ученика | Универсальные учебные действия | ||
| Коммуникативные | Познавательные | Регулятивные | ||||
| 1 | Организационный момент, характеризующийся внешней и внутренней готовностью обучающихся к уроку | Приветствие. Организация положительной мотивации на уроке. Определение целей и задач урока. | Настраивается на урок. Анализирует предстоящие действия на уроке, предвкушая учебно-познавательную деятельность | умение задавать вопросы в соответствии с требованиями и задачами коммуникации, касающихся предстоящих учебных действий | анализируют и предвосхищают возможные учебно - познавательные действия | принимают и сохраняют учебную цель и задачу |
| 2 | Организация восприятия и осмысления темы. Осуществление деления на команды и распределений ролей (шляп). | Учитель предоставляет обучающимся на интерактивной доске схему ролей и раздает соответствующим командам шляпы определенного цвета.
С каждым из методов обучающиеся знакомы, поэтому урок проходит в режиме обобщения и систематизации знаний. Учитель обсуждает с обучающимися пример решения одной задачи и акцентирует внимание каждой команды на методы решения (у каждой команды свой) путем разбора. Приложение 20. | Обучающиеся знакомятся с правилами предстоящего урока. Вместе с учителем обсуждают возможности деления на команды. Обсуждают предстоящие роли и внимательно изучают с учителем разбор задачи на возможность решения несколькими способами. После получают индивидуальные задания на карточках и приступают к решению. | в дискуссии уметь выдвинуть контраргументы, перефразировать свою мысль (владение механизмом эквивалентных замен); самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, распределять роли, договариваться друг с другом и т.д.); выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации. | самостоятельно предполагать, какая информация нужна для решения предметной учебной задачи, состоящей из нескольких шагов; анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления. Выявлять причины и следствия простых явлений; строить логическое рассуждение, включающее установление причинно- следственных связей; владеть приемами гибкого чтения и рационального слушания как средством самообразования. | самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и индивидуальной учебной деятельности; выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат, выбирать из предложенных и искать самостоятельно средства достижения цели; работая по плану, сверять свои действия с целью и, при необходимости, исправлять ошибки самостоятельно. |
| 3 | Этап 1. Решение задачи № 1. | Учитель представляет на интерактивной доске задачу: Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап - на байдарках, велосипедах или пешком. И третий этап пути - пешком или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов? | Обучающиеся в своих командах обсуждают возможные идеи по решению задачи, определяя способы решения задачи. Обучающиеся оформляют задачу на ватмане в рамках модели «World Cafe» и после завершения работы всех команд над заданием обсуждают вместе с учителем наиболее выгодный в данном случае метод решения. Примерный результат одной из команд «Синяя шляпа»: Приложение 21. | в дискуссии уметь выдвинуть контраргументы, перефразировать свою мысль (владение механизмом эквивалентных замен). при необходимости корректно убеждать других в правоте своей позиции (точки зрения); понимать позицию другого, различать в его речи: мнение (точку зрения), доказательство (аргументы), факты, гипотезы, аксиомы, теории; самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, распределять роли, договариваться друг с другом и т.д.; владеть устной и письменной речью на основе представления о тексте как продукте речевой (коммуникативной) деятельности. | самостоятельно отбирать для решения жизненных задач необходимые источники информации; анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления. Выявлять причины и следствия простых явлений; осуществлять сравнение, сериацию и классификацию, самостоятельно выбирая основания и критерии для указанных логических задач; строить логическое рассуждение, включающее установление причинно- следственных связей; создавать модели с выделением существенных характеристик объекта; представлять информацию в виде конспектов, таблиц, схем, графиков. | определять и формулировать цель деятельности, составлять план действий по решению проблемы (задачи); выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат; составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта); работать по предложенному и самостоятельно составленному плану или плану учителя; уметь оценить степень успешности своей коллективной и индивидуальной образовательной деятельности. |
| 4 | Этап 2. Решение задачи № 2. | Учитель представляет на интерактивной доске задачу: Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик. | Обучающиеся в своих командах обсуждают возможные идеи по решению задачи, определяя способы решения задачи. Примерный результат одной из команд «Желтая шляпа»: Приложение 22. | в дискуссии уметь выдвинуть контраргументы, перефразировать свою мысль (владение механизмом эквивалентных замен). при необходимости корректно убеждать других в правоте своей позиции (точки зрения); понимать позицию другого, различать в его речи: мнение (точку зрения), доказательство (аргументы), факты, гипотезы, аксиомы, теории; самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, распределять роли, договариваться друг с другом и т.д.; владеть устной и письменной речью на основе представления о тексте как продукте речевой (коммуникативной) деятельности. | самостоятельно отбирать для решения жизненных задач необходимые источники информации; анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления. Выявлять причины и следствия простых явлений; осуществлять сравнение, сериацию и классификацию, самостоятельно выбирая основания и критерии для указанных логических задач; строить логическое рассуждение, включающее установление причинно- следственных связей; создавать модели с выделением существенных характеристик объекта; представлять информацию в виде конспектов, таблиц, схем, графиков. | определять и формулировать цель деятельности, составлять план действий по решению проблемы (задачи); выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат; составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта); работать по предложенному и самостоятельно составленному плану или плану учителя; уметь оценить степень успешности своей коллективной и индивидуальной образовательной деятельности. |
| 5 | Этап 3. Решение задачи № 3 | Учитель представляет на интерактивной доске задачу: Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий? | Обучающиеся в своих командах обсуждают возможные идеи по решению задачи, определяя способы решения задачи. Примерный результат одной из команд «Зеленая шляпа»: Приложение 23. | в дискуссии уметь выдвинуть контраргументы, перефразировать свою мысль (владение механизмом эквивалентных замен). при необходимости корректно убеждать других в правоте своей позиции (точки зрения); понимать позицию другого, различать в его речи: мнение (точку зрения), доказательство (аргументы), факты, гипотезы, аксиомы, теории; самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, распределять роли, договариваться друг с другом и т.д.; владеть устной и письменной речью на основе представления о тексте как продукте речевой (коммуникативной) деятельности. | самостоятельно отбирать для решения жизненных задач необходимые источники информации; анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления. Выявлять причины и следствия простых явлений; осуществлять сравнение, сериацию и классификацию, самостоятельно выбирая основания и критерии для указанных логических задач; строить логическое рассуждение, включающее установление причинно- следственных связей; создавать модели с выделением существенных характеристик объекта; представлять информацию в виде конспектов, таблиц, схем, графиков. | определять и формулировать цель деятельности, составлять план действий по решению проблемы (задачи); выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат; составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта); работать по предложенному и самостоятельно составленному плану или плану учителя; уметь оценить степень успешности своей коллективной и индивидуальной образовательной деятельности. |
| 6 | Этап 4. Решение задачи № 4 | Учитель представляет на интерактивной доске задачу: У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста. Вопрос: как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи? | Обучающиеся в своих командах обсуждают возможные идеи по решению задачи, определяя способы решения задачи. Примерный результат одной из команд «Белая шляпа»: Приложение 24. | в дискуссии уметь выдвинуть контраргументы, перефразировать свою мысль (владение механизмом эквивалентных замен). при необходимости корректно убеждать других в правоте своей позиции (точки зрения); понимать позицию другого, различать в его речи: мнение (точку зрения), доказательство (аргументы), факты, гипотезы, аксиомы, теории; самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, распределять роли, договариваться друг с другом и т.д.; владеть устной и письменной речью на основе представления о тексте как продукте речевой (коммуникативной) деятельности. | самостоятельно отбирать для решения жизненных задач необходимые источники информации; анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления. Выявлять причины и следствия простых явлений; осуществлять сравнение, сериацию и классификацию, самостоятельно выбирая основания и критерии для указанных логических задач; строить логическое рассуждение, включающее установление причинно- следственных связей; создавать модели с выделением существенных характеристик объекта; представлять информацию в виде конспектов, таблиц, схем, графиков. | определять и формулировать цель деятельности, составлять план действий по решению проблемы (задачи); выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат; составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта); работать по предложенному и самостоятельно составленному плану или плану учителя; уметь оценить степень успешности своей коллективной и индивидуальной образовательной деятельности. |
| 7 | Этап 5. Решение задачи № 5 | Учитель представляет на интерактивной доске задачу: 6 учеников сдают зачет по математатике. Сколькими способами их можно расположить в списке? | Обучающиеся в своих командах обсуждают возможные идеи по решению задачи, определяя способы решения задачи. Примерный результат одной из команд «Красная шляпа»: Приложение 25. | в дискуссии уметь выдвинуть контраргументы, перефразировать свою мысль (владение механизмом эквивалентных замен). при необходимости корректно убеждать других в правоте своей позиции (точки зрения); понимать позицию другого, различать в его речи: мнение (точку зрения), доказательство (аргументы), факты, гипотезы, аксиомы, теории; самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе; владеть устной и письменной речью на основе представления о тексте как продукте речевой (коммуникативной) деятельности. | самостоятельно отбирать для решения жизненных задач необходимые источники информации; анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления. Выявлять причины и следствия простых явлений; осуществлять сравнение, сериацию и классификацию, самостоятельно выбирая основания и критерии для указанных логических задач; строить логическое рассуждение, включающее установление причинно- следственных связей; создавать модели с выделением существенных характеристик объекта; представлять информацию в виде конспектов, таблиц, схем, графиков. | определять и формулировать цель деятельности, составлять план действий по решению проблемы (задачи); выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат; составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта); работать по предложенному и самостоятельно составленному плану или плану учителя; уметь оценить степень успешности своей коллективной и индивидуальной образовательной деятельности. |
| 5 | Подведение итогов | Учитель вызывает к доске консультантов команды для обсуждения и оглашения результатов работы команд и обсуждения того, какой метод наиболее эффективен для решения задач по комбинаторике. | Обучающиеся выступают у доски с защитой своего метода и доказательствами эффективности использования того или иного метода, определяя плюсы и минусы. Обучающиеся обсуждают с учителем сложности работы в команде и заданий, которые были представлены в идее карточек. | постановка вопросов - инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации; умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации. | структурирование знаний; синтез - составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов; постановка и формулирование проблемы; рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности. | целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно; — прогнозирование – предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик; оценка – выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения. |
Приложение 20. Разбор задачи. Решение комбинаторной задачи различными методами.
URL адрес:
| Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? Решение команды «Белая шляпа»: Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем. Для того, чтобы простым перебором рассмотреть все двузначные числа, начнем искать такие пары, начиная с первого числа ставя в соответствие оставшиеся цифры, например, возьмем 1, оставшиеся цифры перебираем: 12, 13, 14, 15, и наоборот: 21, 31, 41, 51. После рассмотрим цифру 2 на первом месте: 23, 24, 25 и наоборот: 32, 42, 52. После рассмотрим на первом месте цифру 3: 34, 35 и наоборот: 43,53. После цифру 5: 54 и 45. Рассмотрим также повторяющиеся цифры в числе: 11, 22, 33, 44, 55. Итого, получившийся набор цифр представляет собой следующее множества двузначных чисел: 12, 13, 14, 15, 21, 31, 41, 51, 23, 24, 25, 32, 42, 52, 34, 35, 43, 53, 54, 45, 11, 22, 33, 44, 55. Итого 25 цифр. Ответ 25. | Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5? Решение команды «Зеленая шляпа» Схематично расставляем вершины графа, обозначаем их соответствующими числами, как дано в условии задачи. После ставим соответствующей вершине графа другую вершину, задавая соответствующее направление стрелками. Каждой вершине ставится в соответствие 4 других вершины. Соединив все вершины стрелками, получили граф, схема, которая позволит определить количество исходных цифр. Количество двухзначных чисел равно количеству связей в графе. Так как двузначное число может содержать в себе повторяющиеся числа, то обозначим соответствующими дугами связь, начинающейся и заканчивающейся в этой же вершине графа. Таким образом, получаем количество таких связей между вершинами:
| ||
| Решение команды «Желтая шляпа» Решение комбинаторных задач можно выполнить и с помощью таблиц. Они схожи с деревом возможных вариантов, поскольку предлагают наглядное решение ситуации. Для нахождения правильного ответа нужно сформировать таблицу, причем она будет зеркальной: горизонтальные и вертикальные условия будут одинаковыми (в нашем случае число наоборот). Заполняя таблицу данными, условимся, что выписанные в столбец цифры будут десятками, а числа, выписанные горизонтально - единицами. Таким образом, сопоставляя числу, выбранном в вертикальном столбце десяток число из единиц на соответствующем пересечении получаем искомое двузначное число. Ответ: 25.
| Решение команды «Синяя шляпа» Некоторые комбинаторные задачи можно решить, только составляя схемы, в которых будет подробно указана информация о каждом элементе. Составление дерева возможных вариантов - еще один способ нахождения ответа. Верхние вершине полученных веток - десятки, висячие вершины - единицы. Сопоставляя висячие вершины к десяткам, за которые они закреплены, получим искомое двузначное число.
Ответ: 25. | Решение команды «Красная шляпа»
Есть еще один способ, с помощью которого можно решить комбинаторные задачи, - правило умножения. Он прекрасно подходит в том случае, когда по условию не нужно перечислять все возможные варианты решения, необходимо просто найти их максимальное количество. Этот метод единственный в своем роде, им пользуются очень часто, когда только начинают решать комбинаторные задачи.
Для получения ответа необходимо уточнить, сколько всего есть чисел для записи двузначного числа, для десятков и единиц. Всего цифр 5, то есть существуют 5 классов двухзначных чисел, в каждый класс входит 5 единиц, поэтому всего таких чисел будет Ответ: 25. | |
. Ответ: 25 чисел.
.
Приложение 21. Решение задачи № 1 «Синяя шляпа»
Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив путешествие на поезде П, на автобусе - А, на байдарках - Б, велосипедах - В, пешком - Х, на канатной дороге - К.
Ответ: на рисунке перечислены все 12 возможных вариантов путешествия школьных туристов.
Приложение 22. Решение задачи № 2 «Желтая шляпа»
Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - имена девочек, вверху первая строка - имена мальчиков.
| Андрей | Миша | Игорь | |
| Маша | Маша - Андрей | Маша - Миша | Маша - Игорь |
| Оля | Оля - Андрей | Оля - Миша | Оля - Игорь |
| Вера | Вера - Андрей | Вера - Миша | Вера - Игорь |
| Ира | Ира - Андрей | Ира - Миша | Ира - Игорь |
Ответ: Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы.
Приложение 23. Решение задачи № 3 «Зеленая шляпа»
Данная задача представлена в виде графа, где указано количество связей между соответствующими элементами. Количество таких связей и будет нашим ответом.
Ответ: 10 рукопожатий.
Приложение 23. Решение задачи № 4 «Белая шляпа»
Данная задача имеет два варианта решения. Так как в начале продажи билетов касса пуста, то ребятам нужно выстроиться следующим образом:
Первый с 50 купюрой, второй со 100 получит сдачу. Касса вновь пуста. Третий с 50 купюрой, четвертый со 100 купюрой получит сдачу.
Первый и второй с 50 купюрой, третий и четвертый со 100 купюрами.
Приложение 24. Решение задачи № 4 «Красная шляпа»
Решение.
Первым в списке может оказаться любой из 6 учеников, вторым в списке может быть любой из оставшихся 5 учеников, третьим - любой из оставшихся 4 учеников, четвертым - любой из оставшихся 3 учеников, пятым - любой из оставшихся 2 учеников, шестым - последний 1 ученик. 
. Ответ: 720 способами.
