Дмитрий

Методические аспекты использования активных методов обучения математике в 8 классе на примере изучаемой темы «Методы решения комбинаторных задач»

Участник педагогического конкурса ‒ Всероссийский интернет-конкурс для учителей математики «Технологическая карта урока»

Материал опубликован 5 June 2017

Элементы логики, комбинаторики, статистики и теории вероятностей являются обязательным компонентом школьного образования, усиливающим его прикладное и практическое значение. Этот материал необходим, прежде всего, для формирования функциональной грамотности - умений воспринимать и анализировать информацию, представленную в различных формах, понимать вероятностный характер многих реальных зависимостей, производить простейшие вероятностные расчеты. Изучение основ комбинаторики позволит обучающемуся осуществлять рассмотрение случаев, перебор и подсчет числа вариантов, в том числе в простейших прикладных задачах.

Основы комбинаторики очень важны для оценки вероятностей случайных событий, т.к. именно они позволяют подсчитать принципиально возможное количество различных вариантов развития событий. В связи с чем, актуальной задачей является рассмотрение данной темы с точки зрения активных методик ее изложения участникам образовательного процесса - обучающимся.

Именно при проведении уроков учитель имеет возможность реализовать различные модели взаимодействия, поскольку тема «Методы решения комбинаторных задач» практически обуславливает возможность использования активных методик взаимодействия и организации на уроке. Способы решения таких практико-ориентированных задач позволяют формировать устойчивый интерес к изучению математики, развивать интеллект воспитанников, способность ориентироваться в окружающей действительности, строить прогнозы.

Данный раздел очень важен для развития математического мышления, позволяет формировать достаточный перечень образовательных результатов:

овладение символическим языком алгебры, выработать формально-оперативные алгебраические умения;

развитие логического мышления и речи – умения логически обосновывать суждения, проводить несложные систематизации, приводить примеры и контрпримеры, использовать различные языки математики (словесный, символический, графический) для иллюстрации, интерпретации, аргументации и доказательства;

обучение работе с информацией, представленной в таблицах, на диаграммах, графиках;

решение задач по комбинаторике;

составление таблиц, построение диаграмм, графиков на основе данных;

формирование представлений об изучаемых понятиях и методах как важнейших средствах математического моделирования реальных процессов и явлений.

При изучении элементов комбинаторики обогащаются представления о современной картине мира, поскольку в повседневной жизни нередко возникают проблемы, которые имеют не одно, а несколько различных вариантов разрешения. Чтобы сделать правильный выбор, очень важно не уступить ни одной из них, для этого необходимо рассматривать и прогнозировать различные ситуации. Этим и занимается комбинаторика, в которой изучают различные комбинации, подчинённые тем или иным условиям, которые можно составить из рассматриваемых объектов.

В рамках данной темы рассмотрим такую технологию взаимодействия на уроке, как «метод 6 шляп».

Рис.1. Структура метода «6 шляп»

Метод шести шляп позволяет развить у обучающихся гибкость ума, креативность, поможет правильно принять решение и более точно соотносить свой образ мыслей с поставленными целями и стоящими задачами. Особенно хорошо он подходит для оценки необычных и неординарных идей, когда важно учесть любое мнение и рассмотреть ситуацию в различных ее сегментах решения. Так как основной задачей урока является умение применять различные методы решения комбинаторных задач, то в рамках данной технологии обучающиеся, находясь в состоянии генерации идей, смогут определить свои идеи, осуществлять в сотрудничестве с другими обучающимися поиск наиболее эффективного способа разрешения задачи и поделится своими идеями с другими.

В контексте данной темы рассмотрим рабочую модель способов организации по формированию универсальных учебных действий в процессе решения определенной задачи.

Рис. 2. Модель взаимодействия участников команд.

Принцип работы: Обучающиеся делятся на команды согласно жеребьевке или личному желанию каждого (лучше всего деление на команды производить учителю, чтобы качественно распределить обязанности и уровень подготовки). После того, как обучающиеся поделены, они занимают соответствующие позиции за столами, обладающими своими характеристиками и названиями. Названия столов:

желтая шляпа;

зеленая шляпа;

белая шляпа;

синяя шляпа;

красная шляпа.

Каждый стол обладает особенностями согласно распределению по цветам шляп. «Желтая шляпа» решают комбинаторные задачи методом таблиц, «зеленая» - методом графов, «белая шляпа» - перебором различных вариантов, «синяя шляпа» - деревом возможных решений, «красная шляпа» - правилом умножения.

Осуществив деление на команды и рассмотрев свои роли, обучающиеся решают задачи, предложенные в карточке (у каждой из команд одна и та же задача), своим методом, после чего учитель организует урок таким образом, чтобы команды могли участвовать в обсуждении после каждой решенной задачи. Затем команды выбирают по представителю защиты своего метода на определенной задаче, и ведется активный диалог по выбору оптимального метода решения. Решив один пример, двое из участников команд меняются столами, осуществляя переход. Таким образом, каждый использует свои возможности в решении задания тем или иным методом.

Класс: 8.

Тип урока: урок систематизации и обобщения знаний, урок-беседа.

Образовательная технология «Метод 6 шляп».

Тема урока «Методы решения комбинаторных задач»

Цель урока: повторить и систематизировать знания и умения обучающихся решать комбинаторные задачи различными методами.

Оборудование и материалы для урока: мультимедийный проектор, экран, групповые карточки с заданиями, презентация.

Планируемые образовательные результаты:

Предметные результаты:

уметь применять правило произведения, правило сложения при решении комбинаторных задач;

уметь определять выборки по таблицам, диаграммам, графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи;

уметь решать комбинаторные задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;

уметь решать задачи по комбинаторике на основе использования изученных методов и обосновывать решение;

решать простейшие комбинаторные задачи методом прямого и организованного перебора (метод перебора);

уметь представлять комбинаторную задачу в виде таблиц, диаграмм, схем (метод графов, метод таблиц, дерево решений).

Метапредметные

Регулятивные УУД

планирование - определение последовательности промежуточных целей при решении комплекса учебно - познавательных задач с учетом конечного результата;

оценка - выделение и осознание обучающимися того, что уже сделано на данном этапе и что нужно сделать для решения учебно-познавательной задачи;

коррекция - внесение необходимых дополнений и корректив в работе при выполнении промежуточных этапов и предвосхищение результата в соответствии с установленным эталоном;

формирование умений видеть проблемы в своей деятельности посредством рефлексии своей деятельности в конце урока и в процессе обсуждения [32].

Познавательные УУД

поиск и выделение необходимой информации из условия для понимания алгоритма решения и принципа задачи, применение методов информационного поиска;

выбор наиболее эффективных способов решения задачи;

смысловое чтение условия текстовой информации; извлечение из представленной задачи необходимой информации на основе анализа текста условия; умение определять главное и второстепенное;

моделирование - преобразование объекта представленной формы в математическую модель и наоборот; умение работать с готовой математической моделью, видеть в модели необходимые данные для составления нужного арифметического тождества;

установление причинно-следственных связей компонентов и данных при решении задач.

Коммуникативные УУД

планирование учебного сотрудничества; постановка вопросов; разрешение конфликтов; умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.

Личностные УУД

обеспечение обучающимся возможности самостоятельно осуществлять динамику роста в плане личностного развития, ставить учебные цели, искать и использовать необходимые средства и способы их достижения, уметь контролировать и оценивать учебную деятельность и ее результаты.

В предметную область «Математика» включен раздел «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей». При проведении уроков по этому разделу учитель имеет возможность формировать устойчивый интерес к изучению математики, развивать мышление у обучающихся, способность ориентироваться в окружающей действительности, строить прогнозы и решать практические задачи различными методами. Данный урок знакомит обучающихся с различными методами решения комбинаторных задач. Задачи являются необычными с точки зрения формулировки, но практически обусловлены в повседневной жизни, помогают осознавать, что многие законы природы и общества имеют комбинаторный характер.

Технологическая карта урока

№ п/п

Этапы урока. Содержание. Время.

Деятельность учителя

Деятельность ученика

Универсальные учебные действия

Коммуникативные

Познавательные

Регулятивные

Организационный момент, характеризующийся внешней и внутренней готовностью обучающихся к уроку

Приветствие. Организация положительной мотивации на уроке. Определение целей и задач урока.

Настраивается на урок. Анализирует предстоящие действия на уроке, предвкушая учебно-познавательную деятельность

умение задавать вопросы в соответствии с требованиями и задачами коммуникации, касающихся предстоящих учебных действий

анализируют и предвосхищают возможные учебно - познавательные действия

принимают и сохраняют учебную цель и задачу

Организация восприятия и осмысления темы. Осуществление деления на команды и распределений ролей (шляп).

Учитель предоставляет обучающимся на интерактивной доске схему ролей и раздает соответствующим командам шляпы определенного цвета.

С каждым из методов обучающиеся знакомы, поэтому урок проходит в режиме обобщения и систематизации знаний.

Учитель обсуждает с обучающимися пример решения одной задачи и акцентирует внимание каждой команды на методы решения (у каждой команды свой) путем разбора.

Приложение 20.

Обучающиеся знакомятся с правилами предстоящего урока. Вместе с учителем обсуждают возможности деления на команды. Обсуждают предстоящие роли и внимательно изучают с учителем разбор задачи на возможность решения несколькими способами. После получают индивидуальные задания на карточках и приступают к решению.

в дискуссии уметь выдвинуть контраргументы, перефразировать свою мысль (владение механизмом эквивалентных замен);

самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, распределять роли, договариваться друг с другом и т.д.);

выражать свои мысли в соответствии с задачами коммуникации.

самостоятельно предполагать, какая информация нужна для решения

предметной учебной задачи, состоящей из нескольких шагов;

анализировать, сравнивать, классифицировать и обобщать факты и явления. Выявлять причины и следствия простых явлений;

строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-

следственных связей;

владеть приемами гибкого чтения и рационального слушания как средством самообразования.

самостоятельно обнаруживать и формулировать проблему в классной и

индивидуальной учебной деятельности;

выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат,

выбирать из предложенных и искать самостоятельно средства достижения

цели;

работая по плану, сверять свои действия с целью и, при необходимости,

исправлять ошибки самостоятельно.

Этап 1. Решение задачи № 1.

Учитель представляет на интерактивной доске задачу:

Школьные туристы решили совершить путешествие к горному озеру. Первый этап пути можно преодолеть на поезде или автобусе. Второй этап - на байдарках, велосипедах или пешком. И третий этап пути - пешком или с помощью канатной дороги. Какие возможные варианты путешествия есть у школьных туристов?

Обучающиеся в своих командах обсуждают возможные идеи по решению задачи, определяя способы решения задачи.

Обучающиеся оформляют задачу на ватмане в рамках модели «World Cafe» и после завершения работы всех команд над заданием обсуждают вместе с учителем наиболее выгодный в данном случае метод решения.

Примерный результат одной из команд «Синяя шляпа»:

Приложение 21.

в дискуссии уметь выдвинуть контраргументы, перефразировать свою мысль (владение механизмом эквивалентных замен).

при необходимости корректно убеждать других в правоте своей позиции

(точки зрения);

понимать позицию другого, различать в его речи: мнение (точку зрения),

доказательство (аргументы), факты, гипотезы, аксиомы, теории;

самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе (определять общие цели, распределять роли, договариваться друг с другом и т.д.;

владеть устной и письменной речью на основе представления о тексте как

продукте речевой (коммуникативной) деятельности.

самостоятельно отбирать для решения жизненных задач необходимые источники информации;

осуществлять сравнение, сериацию и классификацию, самостоятельно выбирая основания и критерии для указанных логических задач;

строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-

следственных связей;

создавать модели с выделением существенных характеристик объекта;

представлять информацию в виде конспектов, таблиц, схем, графиков.

определять и формулировать цель деятельности, составлять план действий

по решению проблемы (задачи);

выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат;

составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта);

работать по предложенному и самостоятельно составленному плану или плану учителя;

уметь оценить степень успешности своей коллективной и индивидуальной образовательной деятельности.

Этап 2. Решение задачи № 2.

Учитель представляет на интерактивной доске задачу:

Маша, Оля, Вера, Ира, Андрей, Миша и Игорь готовились стать ведущими на Новогоднем празднике. Назовите возможные варианты, если ведущими могут быть только одна девочка и один мальчик.

Обучающиеся в своих командах обсуждают возможные идеи по решению задачи, определяя способы решения задачи.

Примерный результат одной из команд «Желтая шляпа»:

Приложение 22.

при необходимости корректно убеждать других в правоте своей позиции

(точки зрения);

понимать позицию другого, различать в его речи: мнение (точку зрения),

доказательство (аргументы), факты, гипотезы, аксиомы, теории;

владеть устной и письменной речью на основе представления о тексте как

продукте речевой (коммуникативной) деятельности.

самостоятельно отбирать для решения жизненных задач необходимые источники информации;

строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-

следственных связей;

создавать модели с выделением существенных характеристик объекта;

представлять информацию в виде конспектов, таблиц, схем, графиков.

определять и формулировать цель деятельности, составлять план действий

по решению проблемы (задачи);

выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат;

составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта);

работать по предложенному и самостоятельно составленному плану или плану учителя;

уметь оценить степень успешности своей коллективной и индивидуальной образовательной деятельности.

Этап 3. Решение задачи № 3

Учитель представляет на интерактивной доске задачу:

Пятеро друзей встретились после каникул и обменялись рукопожатиями. Каждый, здороваясь, пожал руку. Сколько всего было сделано рукопожатий?

Обучающиеся в своих командах обсуждают возможные идеи по решению задачи, определяя способы решения задачи.

Примерный результат одной из команд «Зеленая шляпа»:

Приложение 23.

при необходимости корректно убеждать других в правоте своей позиции

(точки зрения);

понимать позицию другого, различать в его речи: мнение (точку зрения),

доказательство (аргументы), факты, гипотезы, аксиомы, теории;

владеть устной и письменной речью на основе представления о тексте как

продукте речевой (коммуникативной) деятельности.

самостоятельно отбирать для решения жизненных задач необходимые источники информации;

строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-

следственных связей;

создавать модели с выделением существенных характеристик объекта;

представлять информацию в виде конспектов, таблиц, схем, графиков.

определять и формулировать цель деятельности, составлять план действий

по решению проблемы (задачи);

выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат;

составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта);

работать по предложенному и самостоятельно составленному плану или плану учителя;

уметь оценить степень успешности своей коллективной и индивидуальной образовательной деятельности.

Этап 4. Решение задачи № 4

Учитель представляет на интерактивной доске задачу:

У кассы кинотеатра стоят четверо ребят. У двух из них сторублевые купюры, у других двух – пятидесятирублевые. Билет в кино стоит 50 рублей. В начале продажи касса пуста.

Вопрос: как должны расположиться ребята, чтобы никому не пришлось ждать сдачи?

Обучающиеся в своих командах обсуждают возможные идеи по решению задачи, определяя способы решения задачи.

Примерный результат одной из команд «Белая шляпа»:

Приложение 24.

при необходимости корректно убеждать других в правоте своей позиции

(точки зрения);

понимать позицию другого, различать в его речи: мнение (точку зрения),

доказательство (аргументы), факты, гипотезы, аксиомы, теории;

владеть устной и письменной речью на основе представления о тексте как

продукте речевой (коммуникативной) деятельности.

самостоятельно отбирать для решения жизненных задач необходимые источники информации;

строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-

следственных связей;

создавать модели с выделением существенных характеристик объекта;

представлять информацию в виде конспектов, таблиц, схем, графиков.

определять и формулировать цель деятельности, составлять план действий

по решению проблемы (задачи);

выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат;

составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта);

работать по предложенному и самостоятельно составленному плану или плану учителя;

уметь оценить степень успешности своей коллективной и индивидуальной образовательной деятельности.

Этап 5. Решение задачи № 5

Учитель представляет на интерактивной доске задачу:

6 учеников сдают зачет по математатике. Сколькими способами их можно расположить в списке?

Обучающиеся в своих командах обсуждают возможные идеи по решению задачи, определяя способы решения задачи.

Примерный результат одной из команд «Красная шляпа»:

Приложение 25.

при необходимости корректно убеждать других в правоте своей позиции

(точки зрения);

понимать позицию другого, различать в его речи: мнение (точку зрения),

доказательство (аргументы), факты, гипотезы, аксиомы, теории;

самостоятельно организовывать учебное взаимодействие в группе;

владеть устной и письменной речью на основе представления о тексте как

продукте речевой (коммуникативной) деятельности.

самостоятельно отбирать для решения жизненных задач необходимые источники информации;

строить логическое рассуждение, включающее установление причинно-

следственных связей; создавать модели с выделением существенных характеристик объекта;

представлять информацию в виде конспектов, таблиц, схем, графиков.

определять и формулировать цель деятельности, составлять план действий

по решению проблемы (задачи);

выдвигать версии решения проблемы, осознавать конечный результат;

составлять (индивидуально или в группе) план решения проблемы (выполнения проекта);

работать по предложенному и самостоятельно составленному плану или плану учителя;

уметь оценить степень успешности своей коллективной и индивидуальной образовательной деятельности.

Подведение итогов

Учитель вызывает к доске консультантов команды для обсуждения и оглашения результатов работы команд и обсуждения того, какой метод наиболее эффективен для решения задач по комбинаторике.

Обучающиеся выступают у доски с защитой своего метода и доказательствами эффективности использования того или иного метода, определяя плюсы и минусы.

Обучающиеся обсуждают с учителем сложности работы в команде и заданий, которые были представлены в идее карточек.

постановка вопросов - инициативное сотрудничество в поиске и сборе информации;

умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации.

структурирование знаний;

синтез - составление целого из частей, в том числе самостоятельное достраивание с восполнением недостающих компонентов;

постановка и формулирование проблемы;

рефлексия способов и условий действия, контроль и оценка процесса и результатов деятельности.

целеполагание как постановка учебной задачи на основе соотнесения того, что уже известно и усвоено учащимся, и того, что еще неизвестно;

— прогнозирование – предвосхищение результата и уровня усвоения знаний, его временных характеристик;

оценка – выделение и осознание учащимся того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения.

Приложение 20. Разбор задачи. Решение комбинаторной задачи различными методами.

URL адрес: https://docs.google.com/document/d/1Rma2W5x5L-WiFu-xZ3wNwOJrPhMH21BcaVqhiEBaAm4/edit

Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Решение команды «Белая шляпа»:

Простые задачи решают обыкновенным полным перебором возможных вариантов без составления различных таблиц и схем.

Для того, чтобы простым перебором рассмотреть все двузначные числа, начнем искать такие пары, начиная с первого числа ставя в соответствие оставшиеся цифры, например, возьмем 1, оставшиеся цифры перебираем: 12, 13, 14, 15, и наоборот: 21, 31, 41, 51. После рассмотрим цифру 2 на первом месте: 23, 24, 25 и наоборот: 32, 42, 52. После рассмотрим на первом месте цифру 3: 34, 35 и наоборот: 43,53. После цифру 5: 54 и 45. Рассмотрим также повторяющиеся цифры в числе: 11, 22, 33, 44, 55. Итого, получившийся набор цифр представляет собой следующее множества двузначных чисел: 12, 13, 14, 15, 21, 31, 41, 51, 23, 24, 25, 32, 42, 52, 34, 35, 43, 53, 54, 45, 11, 22, 33, 44, 55. Итого 25 цифр. Ответ 25.

Какие двузначные числа можно составить из цифр 1, 2, 3, 4, 5?

Решение команды «Зеленая шляпа»

Схематично расставляем вершины графа, обозначаем их соответствующими числами, как дано в условии задачи. После ставим соответствующей вершине графа другую вершину, задавая соответствующее направление стрелками. Каждой вершине ставится в соответствие 4 других вершины. Соединив все вершины стрелками, получили граф, схема, которая позволит определить количество исходных цифр. Количество двухзначных чисел равно количеству связей в графе. Так как двузначное число может содержать в себе повторяющиеся числа, то обозначим соответствующими дугами связь, начинающейся и заканчивающейся в этой же вершине графа.

Таким образом, получаем количество таких связей между вершинами: . Ответ: 25 чисел.

Решение команды «Желтая шляпа»

Решение комбинаторных задач можно выполнить и с помощью таблиц. Они схожи с деревом возможных вариантов, поскольку предлагают наглядное решение ситуации. Для нахождения правильного ответа нужно сформировать таблицу, причем она будет зеркальной: горизонтальные и вертикальные условия будут одинаковыми (в нашем случае число наоборот).

Заполняя таблицу данными, условимся, что выписанные в столбец цифры будут десятками, а числа, выписанные горизонтально - единицами. Таким образом, сопоставляя числу, выбранном в вертикальном столбце десяток число из единиц на соответствующем пересечении получаем искомое двузначное число. Ответ: 25.

Решение команды «Синяя шляпа»

Некоторые комбинаторные задачи можно решить, только составляя схемы, в которых будет подробно указана информация о каждом элементе. Составление дерева возможных вариантов - еще один способ нахождения ответа. Верхние вершине полученных веток - десятки, висячие вершины - единицы. Сопоставляя висячие вершины к десяткам, за которые они закреплены, получим искомое двузначное число.

Ответ: 25.

Решение команды «Красная шляпа»

Есть еще один способ, с помощью которого можно решить комбинаторные задачи, - правило умножения. Он прекрасно подходит в том случае, когда по условию не нужно перечислять все возможные варианты решения, необходимо просто найти их максимальное количество. Этот метод единственный в своем роде, им пользуются очень часто, когда только начинают решать комбинаторные задачи.

Для получения ответа необходимо уточнить, сколько всего есть чисел для записи двузначного числа, для десятков и единиц. Всего цифр 5, то есть существуют 5 классов двухзначных чисел, в каждый класс входит 5 единиц, поэтому всего таких чисел будет .

Ответ: 25.

Приложение 21. Решение задачи № 1 «Синяя шляпа»

Решение. Построим дерево возможных вариантов, обозначив путешествие на поезде П, на автобусе - А, на байдарках - Б, велосипедах - В, пешком - Х, на канатной дороге - К.

Ответ: на рисунке перечислены все 12 возможных вариантов путешествия школьных туристов.

Приложение 22. Решение задачи № 2 «Желтая шляпа»

Решение. Составим таблицу: слева первый столбец - имена девочек, вверху первая строка - имена мальчиков.

	Андрей	Миша	Игорь
Маша	Маша - Андрей	Маша - Миша	Маша - Игорь
Оля	Оля - Андрей	Оля - Миша	Оля - Игорь
Вера	Вера - Андрей	Вера - Миша	Вера - Игорь
Ира	Ира - Андрей	Ира - Миша	Ира - Игорь

Ответ: Все возможные варианты перечисляются в строках и столбцах таблицы.

Приложение 23. Решение задачи № 3 «Зеленая шляпа»

Данная задача представлена в виде графа, где указано количество связей между соответствующими элементами. Количество таких связей и будет нашим ответом.

Ответ: 10 рукопожатий.

Приложение 23. Решение задачи № 4 «Белая шляпа»

Данная задача имеет два варианта решения. Так как в начале продажи билетов касса пуста, то ребятам нужно выстроиться следующим образом:

Первый с 50 купюрой, второй со 100 получит сдачу. Касса вновь пуста. Третий с 50 купюрой, четвертый со 100 купюрой получит сдачу.

Первый и второй с 50 купюрой, третий и четвертый со 100 купюрами.

Приложение 24. Решение задачи № 4 «Красная шляпа»

Решение.

Первым в списке может оказаться любой из 6 учеников, вторым в списке может быть любой из оставшихся 5 учеников, третьим - любой из оставшихся 4 учеников, четвертым - любой из оставшихся 3 учеников, пятым - любой из оставшихся 2 учеников, шестым - последний 1 ученик. . Ответ: 720 способами.