Научно-исследовательская работа:"Шахматы и математика"

РАЙОННАЯ УЧЕБНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКАЯ КОНФЕРЕНЦИЯ

«ЮНОСТЬ ПОМОРЬЯ»

Направление Математика

Шахматы и математика

Исследовательская работа

Выполнена: ученицей 10 класса муниципального бюджетного образовательного учреждения «Средняя школа № 7» г. Няндома Чернцовой Ольгой Николаевной

Научный руководитель - учитель муниципального бюджетного образовательного учреждения «Средняя школа № 7» г. Няндома Жигарева Анастасия Владимировна

г. Няндома, 2021

Математика и шахматы имеют очень много родственного. Выдающийся математик Г. Харди, проводя параллель между этими двумя видами человеческой деятельности, заметил, что решение проблем шахматной игры есть ничто иное, как математическое упражнение, а игра в шахматы - это как бы насвистывание математической мелодии.

Актуальность темы нашей работы определяется тем, что в настоящее время всё больше детей увлекаются физическими видами спорта, а умственные, ярчайшим примером которых являются шахматы, отходят на второй план.

Я с самого детства люблю играть в шахматы. Возможно, этот факт внёс существенный вклад в развитие моих математических способностей.

В этом году на базе нашей школы в рамках национального образовательного проекта России открылась «Точка роста». Кружок по шахматам посещают ученики 3-4 классов. И я захотела помочь им познакомиться с этим увлекательным и очень полезным видом спорта.

Цель исследования: выявление связи между шахматами и математикой и определение влияния занятий шахматами на успеваемость учащихся по математике.

Задачи исследования:

Изучить литературу по теме и узнать историю шахмат.

Установить и рассмотреть связь шахмат с математикой.

Провести анализ успеваемости по математике учеников, занимающихся шахматами.

Создать сборник «шахматных задач»

В начале работы была сформулирована следующая гипотеза: благодаря регулярным занятиям шахматами, можно увеличить процент успеваемости по математике среди учащихся.

Объект исследования – игра шахматы; обучающиеся 3-4 классов; предмет исследования – влияние игры в шахматы на успеваемость учащихся по математике.

В своей работе я использовала следующие методы исследования: поисковый (с использованием научной и учебной литературы, а также поиск необходимой информации в сети ИНТЕРНЕТ);практический (решение задач, сюжетом которых являются шахматы); анализ данных, полученных в ходе исследования.

Практическая значимость: материалы и результаты работы могут быть использованы на занятиях как математического, так и шахматного кружков.

ГЛАВА 1.ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Историческая справка.

В VII столетии с шахматами познакомились завоеватели иранской монархии-арабы. Новую для них игру они назвали шатрандж. Арабы развили и несколько усовершенствовали игру. Сохранившиеся рукописи свидетельствуют о том, что арабы интересовались не только практической игрой, но и шахматной композицией. Название «шахматы» произошло от персидского языка. Игроки говорили «шах»(от персидского «король»), атакуя короля соперника, и «Шах мат» ( с персидского-«король умер»).

В ту эпоху правила шахматной игры во многом отличались от нынешних. В то время только ходы, ладьи и коня были такими же, как сейчас. Ферзь был тогда не сильнейшей, а наоборот, слабейшей фигурой – он передвигался лишь на одно поле по диагонали, а слон совершал своеобразный прыжок по диагонали через одно поле. Пешки в начальном положении можно было продвигать только на одно поле. Современной рокировки не существовало. Легко понять, что при таких правилах ходов столкновение сил начиналось значительно позже, чем в современных, «дальнобойных» шахматах, и вообще темп игры в шантрандже отличался большой медлительностью. Целью маневров было, как и сейчас, поставить неприятельского короля в безвыходное положение, дать ему «мат» или, если случалось, «пат», что также считалось тогда победой. Однако, принимая во внимание слабость ферзя и слонов, а следовательно, и относительно большую силу короля, мат(также и пат) был в практической игре большой редкостью (такие окончания партий вызывали удивление). Нормально победа в практической партии достигалась лишением неприятельского короля всех фигур его лагеря. («одинокий король»); борьба шла «на уничтожение»[2].

До 60-х годов 19 века в шахматных турнирах не было ограничения по времени. Игры длились до 20-и часов. Обдумывание ходов составляло 2,5 часа. Были случаи, когда игроки засыпали и выбивались из сил. В 1852 году на международном турнире для контроля времени стали использовать песочные часы. Превышение 10 минутного лимита на обдумывание хода каралось денежным штрафом. В 1883-м году британец Томас Уилсон сконструировал первые механические шахматные часы.

Гарри Каспаров считает, что «шахматы – это руки разума». Нашлись те, кто решил объединить шахматы с физическим испытанием. Так появился шахбокс. Считается, что идея сочетать силу и разум пришла в голову голландскому художнику Ипе Рубингу. Бои по шахбоксу официально проводятся с 2003 года. В этой игре чередуются раунды шахмат и бокса. Девиз игры: « Сражения происходят на ринге, а войны идут на доске».

Связь шахмат и математики

Шахматы неразрывно связаны с психологией, математикой, а именно алгеброй, геометрией, тригонометрией, математическим расчетом. В первую очередь попробуем найти эту связь. Для этого мы рассмотрим шахматную доску. Итак, мы видим, что на шахматной доске есть координаты, также на ней есть и симметрия, геометрия тоже не обошла ее стороной. Симметрия, как общий принцип гармонии в живой природе имеет глубокий смысл. Изучение ее проявлений, закономерностей играет важную роль в математике, физике, химии, биологии. Если каждую точку данной фигуры сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру. Говорят, что эта фигура получена преобразованием из данной. Разнообразные мотивы симметрии встречаются и на шахматной доске. С одной стороны, речь может идти о симметрии естественной, т.е. возникающей в процессе шахматной партии, а с другой стороны,- используемой в шахматных задачах и этюдах. Симметрия бывает различных типов; наиболее распространенные-осевая и центральная. На шахматной доске при осевой симметрии осью служит прямая, разделяющая левый и правый фланги доски (границы между вертикалями «d» и «e») или нижнюю и верхнюю части ( граница между четвертой и пятой горизонталями). Если, скажем, белый конь стоит на с2, а черный на с7, то мы говорим, что эти кони расположены симметрично. Осями являются и большие диагонали. Симметрией обладает исходное расположение шахматных фигур[1].

Известна такая забавная история. Один человек явился в шахматный клуб и заявил, что нашел верный способ не проигрывать черным. «Каким образом?»-спросили его.

«Очень просто, - ответил гость, - повторяя ходы противника!» Сыграть с наивным изобретателем вызвался С. Ллойд, который и объявил ему мат в 4 хода. Неясно, как Ллойд это сделал. Приведем способ поставить мат в 6 ходов при полной симметрии фигур.

с2-с3 с7-с6

е2-е3 е7-е6

Кg1-e2 Kg8-e7

Kb1-c3 Kb8-c6

Kc3-e4 Rc6-e5

Ke4-d6x

В XIV в. Французский математик Н. Оресм ввел, по аналогии с географическими, координаты на плоскости. Он предложил покрыть плоскость прямоугольной сеткой и называть широтой и долготой то, что мы теперь называем абсциссой и ординатой. Это нововведение оказалось чрезвычайно продуктивным. На его основе возник метод координат, связавший геометрию с алгеброй. Основная заслуга в создании метода координат принадлежит французскому математику Р. Декарту[3].

На шахматной доске тоже есть координаты. При профессиональной игре, обычно, ведут записи (обозначение фигур и координаты этих фигур). Число – одно из основных понятий математики, позволяющее выразить результаты счета или измерения. Со временем люди научились не только называть числа, но и обозначать их цифрами (условные знаки для обозначения чисел).

Задачи, связывающие шахматы и математику

Существует множество задач, связанных с разрезанием доски, вот одна из них:

Разрежем доску на 4 части, как показано на первом рисунке и составим из них прямоугольник, как показано на втором рисунке.

Площадь шахматной доски, очевидно, равна 64, а площадь полученного прямоугольника – 65. Таким образом, при разрезании доски откуда-то взялось одно лишнее поле!

Разгадка парадокса состоит в том, что наши чертежи выполнены не совсем точно. Если делать чертеж аккуратно, то вместо диагонали прямоугольника на втором рисунке, появится ромбовидная, чуть вытянутая фигура со сторонами которые кажутся почти слившимися. Площадь этой фигуры как раз и дает одно «лишнее» поле[6].

Мною были рассмотрены различные задачи (Приложение №1), которые можно использовать на занятиях как математического, так и шахматного кружков.

Среди математических задач и головоломок о шахматной доске наиболее популярны задачи на разрезание доски. Одна из них связана с легендой. Легенда гласит: «Один восточный властелин был таким скучным игроком, что за всю свою жизнь потерпел всего-4-е поражения. В честь своих победителей, 4-х мудрецов, он приказал вставить в его шахматную доску 4-е алмаза на те поля, на которые был заматован его король. Властелин приказал разрезать доску на 4-е части так, чтобы на каждом куске доски было по одному алмазу. Мудрецы выполнили его поручение, но после этого властелин занемог и умер. После смерти властелина, его сын решил отомстить мудрецам, которые выиграли, и тем погубили его отца. Сын позвал мудрецов, вручил им новую доску с алмазами, приказав разделить ее на 4-е части с алмазом в каждой, но с условием, что они будут одинаковы по форме. Хотя мудрецы выполнили требование, он все равно лишил их жизни, причем, как гласит легенда, для казни каждого мудреца использовал его часть доски с алмазом».

ГЛАВА 2. ПРАКТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ. Анализ успеваемости учащихся по математике

На базе нашей школы в рамках национального образовательного проекта России «Точка роста» функционирует кружок по шахматам. На сегоднешний день там занимаются учащиеся 3-4 классов. Всего обучающихся в этих классах 185 человек,занимаются шахматами – 53 человека.

Я проанализировала успеваемость по математике тех ребят, которые занимаются в данном кружке, с теми, кто не занимается шахматами.

На диаграмме представлены результы:

По результатам исследования, можно увидеть, что учащиеся, занимающиеся шахматами, преуспевают в математике больше, чем остальные ребята.

Также мне захотелось сравнить успеваемость по математике ребят, которые занимаются шахматами, за первое полугодие этого учебного года с итогами прошлого года.

Оказалось, что многие улучшили свои оценки (30 из 53 человек (56%))

Таким образом, можно сделать вывод: занятия шахматами способствует улучшению успеваемости по математике.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Математика помогает шахматистам играть и выигрывать. А шахматы в свою очередь помогают нам решать простейшие и даже самые сложные математические задачи, помогают развивать логику, внимание и, следовательно, хорошо успевать по математике. Я считаю, необходимо организовывать шахматные кружки, чтобы дети были более внимательными, усидчивыми и могли хорошо концентрироваться на поставленной задаче, а также улучшали свои математические навыки. В своей работе я хотела продемонстрировать связь шахмат и математики.

Цель работы достигнута. В ходе проведенного исследования гипотеза о влиянии шахмат была подтверждена.

Мне было интересно узнать что-то новое об этой игре, которая кажется загадочной и сложной, но в это же время является такой престижной. Кроме того, мне понравилось решать логические задачи на тему шахмат, надеюсь, что и юных шахматистов они не оставят равнодушными.

Владимиров Я.Г. 1000 шахматных загадок, -М: Астрель, 2019.

Гик. Е.Я. Шахматы и математика, -М.: Наука, 2016. 

Гик. Е.Я. Занимательные математические игры, - М.: Наука, 2018. 

Давыдов С.И. Начинающим шахматистам, -Минск, Беларусь, 2012.

Ласкер Э. Настольные игры и математические задачи, -М: Человек, 2014.

Тимощук Н. История в шахматах, - М:Олимпия Пресс, 2017.

http://www.gambiter.ru/chess/item/2-isto

http://intellect.ekaburg.ru/index.php/shakhmatistam/shakhmatnye-golovolomki

http://batona.net/10066-10-interesnyh-faktov-pro-shahmaty-10-foto.html

Приложение №1

1. Задачи на раскрашивание шахматной доски

Задача 1. Художник-авангардист Змий Клеточкин покрасил несколько клеток доски размером 88, соблюдая правило: каждая следующая закрашиваемая клетка должна соседствовать по стороне с предыдущей закрашенной клеткой, но не должна — ни с одной другой ранее закрашенной клеткой. Ему удалось покрасить 36 клеток. Побейте его рекорд!

Решение: Можно закрасить 42 клетки, закрасить 43 клетки невозможно. Примеры ответов изображены на рис.1 а,б.

а) б)

Рис. 1

Задача 2. Поля клетчатой доски размером 88 будем по очереди закрашивать в так, чтобы после закрашивания каждой следующей клетки фигура, состоящая из закрашенных клеток, имела ось симметрии. Покажите, как можно, соблюдая это условие, закрасить: а) 26; б) 28 клеток. (В качестве ответа расставьте на тех клетках, которые должны быть закрашены, числа от 1 до 26 или до 28 в том порядке, в котором проводилось закрашивание.)

Решение: рис.2.

Рис. 2 Рис. 3

Задача 3. Отметьте на доске 88 несколько клеток так, чтобы любая (в том числе и любая отмеченная) клетка граничила по стороне ровно с одной отмеченной клеткой.

Решение: рис.3.

Задача 4. В квадрате 77 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.

Решение: рис.4 а,б.

а) б)

Рис. 4

При решении задач на раскрашивание шахматной доски нет какого-то определенного используемого математического метода, нужно просто быть внимательным при решении, чтобы учесть все содержащиеся в условии задачи ограничения.

2. Задачи на разрезание шахматной доски

Среди математических задач и головоломок о шахматной доске наиболее популярны задачи на разрезание доски.

Задача 5. Разрежьте изображённую на рисунке 5,а доску на 4 одинаковые части, чтобы каждая из них содержала 3 заштрихованные клетки.

Решение: рис.5,б.

а) б)

Рис. 5

Задача 6. На какое максимальное число частей можно разрезать шахматную доску, если считать разными части, отличающиеся своей формой или цветом полей при совмещении.

а) б)

Рис. 7

Решение: Максимальное число частей равно 18. На рис.7 представлены два разреза. Решение на рис.7,а принадлежит Лойду; особенность его состоит в том, что одна из частей содержит восемь полей (максимум). В решении на рис.7,б, отличающемся внешней симметрией, ни одна часть не содержит более пяти полей. На рис.7,а части 17 и 18, или 8 и 9, хотя и имеют одинаковую форму, отличаются цветом полей при совмещении. Другие части, например, 3 и 6, вообще не могут быть совмещены (переворачивать их нельзя).

Задача7. Какое максимальное число полей доски можно пересечь одним разрезом?

Решение: Поля доски образуются в результате пересечения 18 прямых – девяти вертикальных и девяти горизонтальных. С каждой из них прямая-разрез может пересечься лишь в одной точке, но из четырех прямых, образующих края доски, она пересекается лишь с двумя. Отсюда следует, что наша прямая пересекает прямые, образующие поля доски, самое большее в 16 точках. Эти точки разбивают прямую не более чем на 15 отрезков, каждый из которых заключен внутри какого-нибудь поля. Таким образом, любой разрез доски пересекает не более 15 полей. Из рис.8 следует, что ровно столько полей пересекает разрез, проведенный параллельно диагонали доски и проходящий через середины сторон двух угловых клеток.

Рис. 8 Рис. 9

Задача 8. Сколько нужно провести разрезов на доске, чтобы пересечь все ее поля?

Решение: Семь прямых могут пересечь все 64 поля доски. Для этого одну прямую нужно провести почти в диагональном направлении через центр доски, а шесть других – в направлениях почти параллельных второй диагонали доски (рис.9).

3. Шахматная доска и домино

Задачи про шахматную доску и домино можно считать частным случаем задач на разрезание доски.

Задача 9. Можно ли целиком покрыть домино квадрат 88, из которого вырезаны противоположные угловые клетки (рис. 10,а)?

a) б)

Рис. 10

Решение: Предполагается, что каждое домино имеет размеры 21 и покрывает два соседних поля доски, а каждое поле покрывается одной половинкой домино. Можно было бы заняться алгебраическими рассуждениями, но шахматное решение гораздо проще. Окрасим урезанный квадрат в черно-белый цвет, превратив его в шахматную доску без двух угловых полей a8 и h1 (рис.10,б). При любом покрытии доски каждое домино покрывает одно белое и одно черное поле. У нас же черных полей на два больше, чем белых, и поэтому необходимого покрытия не существует! Таким образом, раскраска доски не только позволяет шахматисту легче ориентироваться во время игры, но и служит средством решения математических головоломок.

Задача 10. Пусть на шахматной доске вырезаны два поля разного цвета. Всегда ли можно покрыть оставшуюся часть доски 31 домино?

Решение: Оказывается, что всегда. Проведем замкнутую линию, как показано на рис.11. Если из доски вырезаны соседние поля, то разорванная линия будет состоять из одного куска, проходящего через 62 поля, при этом цвета полей чередуются. Если мы станем размещать домино вдоль этой линии, то закроем всю оставшуюся часть доски. Если вырезанные поля не являются соседними, то линия разорвется на две части, проходящие через четное число полей, и каждую из них можно покрыть домино.

Рис. 11

Задача 11. Пусть из шахматной доски вырезано некоторое количество полей. При каком наименьшем числе таких полей на оставшуюся часть доски нельзя поместить ни одного домино?

Решение: Достаточно вырезать из доски 32 поля одного цвета – либо белые, либо черные, и на ней не останется места ни для одного домино.