Нестандартные методы решения олимпиадных задач
Нестандартные методы решения олимпиадных задач. Преодолеваем инерцию мышления. Сенатова И.А. учитель математики МАОУ «Общеобразовательный лицей «АМТЭК» 2021г.
-Вот не везёт:под Новый год полдня ходил по лесу с топором, но так и не нашёл наряженную ёлку….. (В.Шаповалов «Математические конструкции:от хижин ко дворцам»)
Преодолеваем инерцию мышления 1.В двух кошельках лежат две монеты , причём в одном кошельке монет вдвое больше, чем в другом. Как такое может быть? Решение: В одном кошельке лежит монета и другой кошелёк с монетой.
Преодолеваем инерцию мышления 2.Нарисуйте шестиугольник и , проведя прямую через две его вершины , отрежьте от него семиугольник. Решение:
Преодолеваем инерцию мышления 3.Как можно из шести спичек сложить четыре треугольника со стороной в одну спичку каждый? Решение:
Преодолеваем инерцию мышления 4.Как завязать на верёвке такой узел, если, взявшись двумя руками за концы верёвки, мы не можем их отпускать? Решение: Скрестим руки на груди, как бы завязав их узлом, и только после этого возьмёмся за концы верёвки.
Преодолеваем инерцию мышления. Изменение тематики 5.В треугольнике ABC проведены биссектрисы AL и CN. Пусть P – произвольная точка отрезка LN. Докажите, что расстояние от точки P до стороны AC равно сумме расстояний от этой точки до сторон AB и CB. РЕ=РH+PD
P=D, свойство биссектрисы угла P=L, свойство биссектрисы угла РЕ=РH+PD
f(x)=PE-PD-PH, x=PL, f(x)- линейная функция. Доказать, что f(x)=0. Док-во: f(x)=ρ(P,AC)-ρ(P,BC)-ρ(P,AB), Р=L,P=N, тогда значение f(x) на концах промежутка равно 0,т.к.функция линейная f(x)=0 для любой точки промежутка.
Преодолеваем инерцию мышления. Изменение тематики 6.Имеет ли система положительные решения ? ,
OA=xOB=yOC=z 6>2+3
Преодолеваем инерцию мышления. Изменение тематики 7.Найти наименьшее значение функции . Решение: Метод координат О(0;0),А(x;y),В(4;3)
Изменение тематики
т.D симметричная т.О относительно x-y=3 D(3;-3) DB: А(18/5;3/5) Ответ:
Преодолеваем инерцию мышления. Изменение тематики 8.Решите уравнение Решениe: Векторный метод. ) =
Преодолеваем инерцию мышления. Изменение тематики 9.Найти . Решение: Рассмотрим правильный семиугольник.
+3+ ,
=-1/2.
Преодолеваем инерцию мышления. Изменение тематики 10.Докажите неравенство: Решение: Рассмотрим функцию
S=
Преодолеваем инерцию мышления. Изменение тематики 11.Дан ряд чисел 0;4;18;48;?;180. Определите неизвестное число. Решение: Определим формулу и по ней определим неизвестное число. Значения функции 0 4 18 48 x 180
Значения функции 0 4 4 14 18 30 48 x-48 x 180-x 180 Приращения не равны, функция не линейная Значения функции 0 4 4 14 18 30 48 x-48 x 180-x 180 Приращения не равны, функция не линейная
Значения функции = 0 4 10 4 14 16 18 30 x-78 48 x-48 228-2x x 180-x 180 Приращения не равны, функция не линейная Приращения не равны, функция не квадратная Значения функции 0 4 10 4 14 16 18 30 x-78 48 x-48 228-2x x 180-x 180 Приращения не равны, функция не линейная Приращения не равны, функция не квадратная
Значения функции = 0 4 10 6 4 14 16 x-94 18 30 x-78 306-3x 48 x-48 228-2x x 180-x 180 Приращения не равны, функция не линейная Приращения не равны, функция не квадратная Приращения могут быть равны Значения функции 0 4 10 6 4 14 16 x-94 18 30 x-78 306-3x 48 x-48 228-2x x 180-x 180 Приращения не равны, функция не линейная Приращения не равны, функция не квадратная Приращения могут быть равны
x=100, предположим, что функция многочлен третьей степени и неизвестное число 100. x 0 0 d 4 1 a+b+c+d 18 2 8a+4b+2c+d 48 3 27a+9b+3c+d 180-x x 0 0 d 4 1 a+b+c+d 18 2 8a+4b+2c+d 48 3 27a+9b+3c+d 180-x
Преодолеваем инерцию мышления. Изменение тематики 12.Точка М середина дуги AB окружности. Доказать, что для произвольной точки N этой окружности имеет место равенство: =
=
,
Cписок литературы: Математические конструкции: от хижин к дворцам/Шаповалов А.В. Серия «ШКОЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КРУЖКИ». Издательство: МЦНМО,2015 г. Классические средние в арифметике и в геометрии/Блинков А.Д. Серия «ШКОЛЬНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ КРУЖКИ». Издательство: МЦНМО, 2012 г. Генкин С. А. и др. Ленинградские математические кружки / С. А. Генкин, И. В. Итенберг, Д. В. Фомин ; при участии И. С. Рубанова. — Киров : АСА, 1994. Неожиданный шаг или 113 красивых задач/А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир Издательство: Александрия Год: 1993 Математика. Всероссийские олимпиады. Вып. 2 /. Н. X. Агаханов, О. К. Подлипский; [под общ. ред. С. И. Демидовой, И. И. Колисниченко]. — М. : Просвещение, 2009.
