Нестандартные задания по математике для учащихся 9 класса

Нестандартные задания по математике

9 класс

Упростить выражение

.

Десять спортсменов участвовали в турнире по настольному теннису. Каждые два из них сыграли между собой ровно одну партию. Первый игрок одержал в ходе турнира побед и потерпел поражений, второй одержал побед и потерпел поражений и т.д. Доказать, что .

Доказать равенство

.

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ, ВК, СР. Найти площадь треугольника МКР, если АВ=4, АС=5, ВС=6.

Найти наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения

и значение параметра , при котором оно достигается.

9 класс

Упростить выражение

Решение

=

=====.

Десять спортсменов участвовали в турнире по настольному теннису. Каждые два из них сыграли между собой ровно одну партию. Первый игрок одержал в ходе турнира побед и потерпел поражений, второй одержал побед и потерпел поражений и т.д. Доказать, что .

Решение

Каждый игрок сыграл 9 партий, значит, . Кроме того, число всех побед равно числу всех поражений, т.е. . Получим:

=

Доказать равенство

.

Решение.

.

В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ, ВК, СР. Найти площадь треугольника МКР, если АВ=4, АС=5, ВС=6.

Решение:

По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника имеем:

, значит, , . Аналогично,

, ,

.

Так как треугольники и имеют общий угол, то их площади относятся, как произведение сторон, т.е. , отсюда . Аналогично,

, отсюда ,

, отсюда . Тогда получим, . Площадь треугольника найдем по формуле Герона . Значит, .

Найти наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения

и значение параметра , при котором оно достигается.

Решение:

5. . Квадратное уравнение имеет корни, если :

, т.е.. По теореме Виета : , . Поэтому, . Вершина этой параболы не входит в область допустимых значений , значит наименьшее значение функции равняется наименьшему из значений функции на концах промежутков: , . Значит, наименьшее значение суммы равно 1,5 при .