Нестандартные задания по математике для учащихся 9 класса
Нестандартные задания по математике
9 класс
Упростить выражение
.
Десять спортсменов участвовали в турнире по настольному теннису. Каждые два из них сыграли между собой ровно одну партию. Первый игрок одержал в ходе турнира побед и потерпел
поражений, второй одержал
побед и потерпел
поражений и т.д. Доказать, что
.
Доказать равенство
.
В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ, ВК, СР. Найти площадь треугольника МКР, если АВ=4, АС=5, ВС=6.
Найти наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения
и значение параметра
, при котором оно достигается.
9 класс
Упростить выражение
Решение
=
=
=
=
=
=
.
Десять спортсменов участвовали в турнире по настольному теннису. Каждые два из них сыграли между собой ровно одну партию. Первый игрок одержал в ходе турнира побед и потерпел
поражений, второй одержал
побед и потерпел
поражений и т.д. Доказать, что
.
Решение
Каждый игрок сыграл 9 партий, значит, . Кроме того, число всех побед равно числу всех поражений, т.е.
. Получим:
=
Доказать равенство
.
Решение.
.
В треугольнике АВС проведены биссектрисы АМ, ВК, СР. Найти площадь треугольника МКР, если АВ=4, АС=5, ВС=6.
Решение:
По свойству биссектрисы внутреннего угла треугольника имеем:
, значит,
,
. Аналогично,
,
,
.
Так как треугольники и
имеют общий угол, то их площади относятся, как произведение сторон, т.е.
, отсюда
. Аналогично,
, отсюда
,
, отсюда
. Тогда получим,
. Площадь треугольника
найдем по формуле Герона
. Значит,
.
Найти наименьшее значение суммы квадратов корней уравнения
и значение параметра
, при котором оно достигается.
Решение:
5. . Квадратное уравнение имеет корни, если
:
, т.е.
. По теореме Виета :
,
. Поэтому,
. Вершина этой параболы не входит в область допустимых значений
, значит наименьшее значение функции
равняется наименьшему из значений функции на концах промежутков:
,
. Значит, наименьшее значение суммы равно 1,5 при
.