Нестандартное домашнее задание по математике «Уравнения, содержащие параметры»

ДЕПАРТАМЕНТ ТРУДА И СОЦИАЛЬНОЙ ЗАЩИТЫ НАСЕЛЕНИЯ ГОРОДА МОСКВЫ

УПРАВЛЕНИЕ СОЦИАЛЬНОЙ ЗАЩИТЫ НАСЕЛЕНИЯ

ТРОИЦКОГО И НОВОМОСКОВСКОГО АДМИНИСТРАТИВНЫХ ОКРУГОВ ГОРОДА МОСКВЫ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ГОРОДА МОСКВЫ

ТРОИЦКИЙ РЕАБИЛИТАЦИОННО-ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР «СОЛНЫШКО»

ул. Пушковых, д. 5, город Троицк, Москва, 108840

Телефон/Факс: 8-495-851-13-05, 8-495-851-50-03 e-mail:cenreab@dszn.ru

Нестандартное домашнее задание по математике: "Уравнения, содержащие параметры"

 

учителя математики

Ириневич Е.М.

г.Москва, г.Троицк

2018 год

 

 

Нестандартное домашнее задание по математике. «Домашние задания для школьников: традиции, стратегии, эффективность»

В рамках подготовки к олимпиадам по математике

 

Класс: 9 класс.

Тема: Уравнения, содержащие параметры.

Цель: Формирование у школьников устойчивого интереса к процессу учебной деятельности и к результату, развитие их математических способностей.

Задачи:

- Стимулирование самообучения.

- Обучение нестандартным подходам к решению задач.

- Практический опыт по применению учебных навыков по теме: «Уравнения, содержащие параметры».

- Применение знаний как в стандартных, так и в новых условиях.

Степень сложности: высокий.

Тип задания: индивидуальное.

Рекомендуемое количество времени на выполнение: не ограниченно.

Способ проверки: выполнение аналогичного задания в форме «Обязательные результаты обучения», проверочные и контрольные работы.
 

Пояснительная записка

Данный ресурс можно использовать в 9 классе для углублённого изучения математики как на уроках, так и на внеклассных занятиях. Задания предусматривают занятия с учащимися, проявляющими интерес и способности к математике. Приведены примеры линейных уравнений и уравнений, приводимых к ним, содержащих параметр; представлены уравнения, которые содержат два параметра, и уравнения, решение и параметры которых удовлетворяют заданным условиям, а также квадратные уравнения. Задания, направлены на формирование УУД на уроках математики, с подробным описанием их решения и методическими рекомендациями. В основе системы работы лежит практический метод обучения, который заключается в использовании различных видов упражнений: вводных, обучающих, тренировочных, проверочных, контрольных. Ученик учится рассуждать, выделять главное и второстепенное, самостоятельно выбирать способ действия. В процессе выполнения заданий используются приёмы умственной деятельности: анализ и синтез, сравнение, обобщение. Идёт обмен информацией между учителем и учеником. Педагогический процесс делится на три этапа: этап подготовки (обучающие задания), этап осуществления (тренировочные задания для самоподготовки), этап анализа достигнутых результатов (обязательные результаты обучения), что позволит ученику проверить насколько качественно усвоен им материал. Несмотря на то, что материал является достаточно сложным для усвоения учащимися, отношения сотрудничества создают у учащегося положительные эмоции удовлетворения и успеха в учении.

 

Обучающие задания

Решить уравнения:

а) 2(х - 5) = 8, б) 2(х – 1) = 2х + 5, в) 2 – 4х = 2(1 – 2х),

х - 5 = 4, 2х – 2 = 2х +1, 2 – 4х = 2 – 4х,

х = 9. 2х – 2х = 3, - 4х + 4х = 2 – 2,

один корень 0х ≠ 3. 0х = 0,

нет корней Х € R.

бесконечное множество

- Как называются уравнения?

(линейные уравнения с одним неизвестным)

Восприятие и понимание понятия линейного уравнения с параметром.

Уравнение вида aх=b, где а и в – некоторые числа, а х неизвестное, называется линейным, a и b называются также параметрами, а само уравнение – линейным уравнением с параметрами и b.

Решить линейное уравнение с параметром - это значит найти все действительные значения параметров, при каждом из которых уравнение имеет одно решение, не имеет решений или имеет бесконечно много решений.

Исследуем значения параметров а и b в уравнении ах = b.

Если а ≠ 0, то х = – единственное решение.

Если а = 0 и b ≠ 0, то имеем 0х = b и уравнение не имеет решений.

Если а = 0 и b = 0, то 0х = 0 и х – любое число, то бесконечно много решений.

Формирование УУД при решении линейных уравнений с параметрами.

Пример № 1.

Решить уравнение х = а(х +3) – 3.

Решение: х = а(х +3) – 3 является линейным относительно х и имеет смысл при любых значениях параметра а. Раскроем скобки, выполним действия.

х = ах +3а – 3,

х - ах =3а – 3,

а(а – 1)х =3(а – 1),

если а(а-1)≠ 0 т.е. а ≠ 0; а ≠ 1, то х = – единственное решение;

если а = 0, то 0х = -3 - решений нет,

если а = 1, то х € R - множество решений.

Пример № 2. Решить уравнение = .

Поскольку уравнение в левой и правой части содержит дроби, то могут существовать также значения параметра а, которые обратят знаменатель дроби в 0. Таким образом при а = 0 и а = -2 данное уравнение не существует, а значит не имеет решений.

Используя свойство пропорции, получим:

а(ах – а) = (а+2)(х + а),

х - = ах + + 2х + 2а,

х – ах – 2х = + 2а,

х( – а – 2) = 2а(а + 1),

(а + 1)(а – 2)х = 2а(а + 1),

Если (а + 1)(а – 2) ≠ 0, т. е. а ≠ -1; а ≠ 2.то

х = = ,

если а = 2, то уравнение примет вид 0х = 0 и имеет бесконечно много решений

Ответ: если а ≠ ± 2; -1; 0, то х = ;

если а = ± 2, то решений нет;

если а = -1, то х € R.

Пример № 3. Решить относительно х.

+ = , ОДЗ: (m-1)(х+3) ≠ 0,

m ≠ 1; х ≠ -3.

Умножим обе части уравнения на (m-1)(х+3) ≠ 0.

3m - 5 +(3m- 11)(х+3) = (2х+7)(m-1),

(4m-9)х = 31 – 2m,

при m ≠ 2 х = .

Проверим нет ли таких значений m, при которых найденное значение х = -3, т.е.

= -3,

31 – 2m= -12m + 27,

10m = -4,

m = - 0,4.

Ответ: при m ≠ 1; m ≠ 2,25; m ≠ - 0, уравнение имеет единственное решение х = ;

при m = 2,25 решений нет;

при m = 1 уравнение не имеет смысла.

 

Исследование и решение уравнений, параметры и решения которых удовлетворяют некоторым условиям или содержат два параметра.

Пример № 1. Решить уравнение – 0,2 = , где |х| ≤ 0,4.

Решение:

– = ,

= + ,

= ,

При а ≠ 0 х = ,

По условию - 0,4 ≤ х≤ 0,4, т. е.

- 0,4 ≤ ≤ 0,4, умножив на 5, получим

- 2 ≤ 1 + а ≤ 2,

- 3 ≤ а ≤ 1, поскольку а ≠ 0, то получим а € [-3;0) u (0;1].

Ответ: а € [-3;0) u (0;1].

Пример 2. Решить уравнение.

– = . По смыслу задачи: х ≠ ±

Умножим обе части уравнения на ≠ 0, получим

( (( ( = 4аbх + 2 - 2

+( - - 4аbх - 2 + 2= 0;

+ + - 4аbх - 2 + 2= 0;

+- 4аbх - 2 + 2= 0;

2х ( +(= 0;

2х = )

х = )

При а=b получим 0х=0, т.е. х€R кроме х = ±

При а≠b х=

Найдём а и b, при которых х = ±=

=

а + b =;

а(1 - )=;

 

а=.

 

=

а + b =;

а + =;

а(1 + )=;

а=.

Ответ: При а≠b, а ≠; а≠ ; х=

 

При а=b х € R кроме х= ±.

При а =; а= решений нет.

 

Квадратные уравнения

1. При каких значениях m уравнение + 2х – m = 0 имеет единственный корень?

Уравнение имеет единственный корень тогда, когда дискриминант равен 0.

+ 2х – m = 0;

Д = 4 – 16m;

4 + 16m = 0;

m = -0,25. Ответ: -0,25.

2. При каких значениях а уравнение - (2а – 1)х + 1 = 0 не имеет корней?

Ответ: -0,5 < а < 1.

 

Тренировочные задания (самостоятельно)

1. Решить уравнение

Ответ: при а = 1, х € R;

при а = -1, решений нет,

при а ≠ ±1, х = .

2. При каких натуральных значениях а уравнение

ах = а+ х+ 1 имеет чётные корни?

Ответ: при а = 3.

3. При каких значениях а уравнение + = 1 имеет решение?

Ответ: а € (1; 1.5).

4. Определить при каких значениях а уравнение

(х – 1)(а – 2) = 1 имеет решение, заключённое в промежутке от 1 до 2.

Ответ: а > 3.

5. Решить уравнение:

= - .

Указание. Умножьте обе части уравнения на (m+ 2)( ≠ 0.

Ответ: если m ≠ -1,5; m ≠ -2; m ≠ - m ≠ - 3- , то х = ;

если m = - 1,5; -2; - - 3- , то решений нет.

6. При каких значениях с уравнение - 4х + с = 0 имеет единственный корень? Ответ: 1

7. Один из корней уравнения + 3х + с = 0 равен -1, а второй корень совпадает с корнем уравнения 5х + 4 = р. Найдите р.

Выберите правильный ответ.

Ответ: а) 2; б) 4; в) 6; г) 5.

8. Дано уравнение + mх – х - m = 0 (m≠1). Найдите сумму квадратов корней этого уравнения. Выберите правильный ответ.

Ответ: а) б) 2; в) + 1; .

9. При каких значениях а уравнение - ах + 9 = 0 не имеет корней?

Ответ: (-6; 6)

10. При каких значениях а отношение корней уравнения

- 8х + 3а +1 = 0 равно: а) 3; б) -5; в) ?

Ответ: а) б) -7; в)

11. Дано уравнение: + 2 = – mх.

а) Решить уравнение при m=2.

б) Найти значение параметра m, при которых число - будет корнем

уравнения.

в) Решить уравнение относительно х.

г) При каких m уравнение имеет положительный корень?

Ответ: 1) х= .

2) m= -1; 2;

3) если m ≠ -1; 0; 1, то х = ;

если m= 0; 1, то нет решений;

если m = -1, то х € R;

4) m € (0;1) u (1;3].

 

Обязательные результаты обучения

Решить уравнения.

1.(4 - )х = (2 - а - 6).

2. (х – 1) + 3mх = .

3. - = .

4. = - .

5. mх - - m = 7 - – 2х.

6. - = 2(а – 1).

Дано уравнение: = .

а) Решить относительно х.

б) При каких значениях m корень уравнения удовлетворяет условию |х-1| ≤ 1 ?
в) Найти все значения m, при которых корень уравнения удовлетворяет условию = 3.

8. При каких целых значениях параметра а уравнение

х + 2ах = 1 – 2а имеет целые корни?

При каких значениях параметра а уравнение - =

имеет отрицательные корни?

10.Определить, при каких значениях а уравнение

(х-1)(а-2) = 1 будет иметь решение, заключённое в

промежутке от 1 до 2.

11.При каких целых значениях параметра а уравнение

х + 2ах +х = 1 – а имеет целые корни?

12. Найдите целые кратные трём корни уравнения ах = а + 5х,

где а € R и а = 5.

14. Дано уравнение: - а = – 2.

а) Решить уравнение при а = - 1.

б) Найти значение параметра а, при которых число будет корнем

уравнения.

в) Решить уравнение относительно х.

г) При каких значениях а уравнение имеет отрицательные корни?

Нестандартное домашнее задание учит ученика ставить перед собой цель и добиваться результата, работать с инструкциями по выполнению заданий, давать оценку своей работе, формирует ключевые компетентности современного школьника.

Литература.

1. Математика: 2600 тестов и проверочных заданий для школьников и поступающих в вузы / П. И. Алтынов, Л. И. Звавич, А. И. Медяник и др. М.: Дрофа, 2000.

2. Алгебра. 8 класс. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательнх учреждений /Л. И. Звавич, А. Р. Рязановский. – 6-е изд., стер. – М.: Мнемозина, 2009.

3. Сборник задач по алгебре: Учеб. Пособие для 8 – 9 кл. с углубл. изучением математики /М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. М.: Просвещение, 2002.

4. Алгебра: сб заданий для подгот. к гос. итоговой аттестации в 9 кл ./[Л. В. Кузнецова, С. Б. Суворова, Е. А. Бунимович и др.]. – 5-е изд.-М. : Просвещение, 2010.

5. Математика: домашняя общеобразовательная библиотека /В. В. Калинин.-М. : ООО «Издательство Астрель»; ООО «Издательство АСТ», 2000.

6. Сборник задач по алгебре: Учеб. пособие для 8-9 кл. с углубл. изучением математики /М. Л. Галицкий, А. М. Гольдман, Л. И. Звавич. – 8-е изд. – М. : Просвещение, 2002.