Педагогический проект по теме «Методы решения уравнений четвертой степени» (9 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа №1 г. Южи Ивановской области

Педагогический проект по теме:

“Методы решения уравнений четвертой степени”

Выполнила Чурина

Елена Вениаминовна,

учитель математики первой

квалификационной категории

Г. Южа

2021 год

Содержание

Актуальность

Цель и задачи работы:………………………………

1. Исторические сведения об уравнениях четвёртой степени……стр.

2. Определение уравнения 4 степени………………………….стр.

3. Способы решения уравнений 4 степени…………………………...стр.

3.1. Схема метода Феррари……………………….стр.

3.2. Разложение на множители. Кубическая резольвента……………стр.

3.3. Теорема Виета для уравнения 4 степени……………………..стр.

3.4. Решение уравнений 4 степени по схеме Горнера…………………...стр.

4.Решение некоторых уравнений 4 степени……………………………стр.

4.1. Решение биквадратного уравнения………………………………стр.

4.2. Решение уравнения способом группировки………………….стр.

4.3. Решение уравнения по свободному члену……………………стр.

4.4. Графический метод………………………………………..стр.

4.5. Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата………………………………………………..стр.

5. Исследование………………………………………………стр.

6. Выводы

7. Заключение

8. Тренировочные задания для отработки различных способов решения уравнений высших степеней……………………………………………стр.

Список литературы

Актуальность

Как все знают, в математике одна из важнейших вещей - это уравнения. Чаще всего решаются линейные либо квадратные уравнения, но не мало важны уравнения 4 степени, которые решить сможет не каждый учащийся 9 класса. Чтобы решать такие уравнения было проще, нужно выбрать тот способ, который тебе более понятен.

Задания с уравнениями высших степеней есть в контрольных измерительных материалах  при проведении государственной итоговой аттестации. Значит, ученики должны уметь решать уравнения не только 2 степени, но и выше. А это умеет делать далеко не каждый.

Цель работы: узнать и разобрать методы решения уравнений высших степеней.

Задачи:

Изучить литературу по истории приемов решения уравнений 4-й стпени

Обобщить накопленные знания об уравнениях4-й степени и способах их решения.

Сделать выводы.

Разработать дидактический материал для проведения практикума по решению уравнений 4-й степени с использованием новых приемов в помощь ученикам, увлеченным математикой и учителям, ведущим факультативные занятия.

Проблемный вопрос: существуют ли кроме общепринятых приемов решения квадратных уравнений другие, которые позволяют быстро и рационально решать уравнения 4-й степени?

Гипотеза: существует универсальный способ для решения всех видов уравнений 4-степеней.

Объект исследования: уравнения 4-й степени

Предмет изучения: методы и приемы решениях уравнений 4-й степени, в том числе

1.Исторические сведения об уравнениях четвёртой степени

Решение уравнений высших степеней – история полная драматизма, разочарования и радости открытия. В течение почти 700 лет математики разных стран пытались найти приёмы решения уравнений третьей, четвёртой и более высоких степеней.

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй и высших степеней ещё в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земельными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до нашей эры вавилоняне.

Однако уже при решении уравнений третей степени математики столкнулись с большими трудностями. История открытия способа решения кубических уравнений полна тайн, так как в древности учёные часто на открытых диспутах соревновались в решении трудных задач. От исхода этих состязаний зависела их научная репутация и материальное благополучие.

Тот, кто первым овладел решением кубических уравнений, мог легко победить своих соперников давая им задачи, сводящиеся к кубическим уравнениям. Поэтому способы решения уравнения тщательно скрывались. Историки полагают, что первым нашёл способ решения кубических уравнений известный итальянский алгебраист Специна дель Ферро (1465-1576), но впервые опубликовал общую формулу решения кубических уравнений итальянский математик Джераламо Кордано (1501-1576г.). Эта формула носит теперь название формулы Кордано, хотя предполагают, что эту формулу ему передал итальянский математик Николо Тарталья ( 1500-1557). С именами этих же математиков связано открытие способов решения уравнений четвёртой степени.

В дальнейшем математики активно пытались найти формулы вычисления корней уравнений пятой и более степени. И только почти через три столетия впервые итальянский учёный Паоло Руффини (1765-1822), а затем норвежский математик Нильс Хенрих Абель (1802-1829г.) доказали, что не  существует формулы, выражающей корни любого целого уравнения пятой степени через конечное число алгебраических операций над его коэффициентами. Да и найденные формулы вычисления корней для уравнений третьей и четвёртой степени столь сложны, что ими практически не пользуются. Поэтому в современной математике разработаны методы, позволяющие находить с любой степенью точности приближенные значения корней уравнений. Использование компьютеров значительно облегчают эту работу.

2. Определение уравнения 4 степени

Уравнение четвёртой степени —алгебраическое уравнение вида:

,

при этом a≠0 и где a,b,c,d,e- любые числа.

Четвёртая степень для алгебраических уравнений является наивысшей, при которой существует аналитическое решение в радикалах в общем виде (то есть при любых значениях коэффициентов).

3. Способы решения уравнений 4 степени.

3.1 Схема метода Феррари

где a0, a1, a2, a3, a4 –  произвольные вещественные числа, причем 

      Метод Феррари состоит из двух этапов.

      На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.

      На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.

Приведение уравнений 4-ой степени

      Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид

где a, b, c, d –  произвольные вещественные числа.

      Сделаем в уравнении (2) замену

где y –  новая переменная.

      Тогда, поскольку

то уравнение (2) принимает вид

      Если ввести обозначения

то уравнение (4) примет вид

где p, q, r –  вещественные числа.

      Первый этап метода Феррари  завершён.

3.2.Разложение на множители. Кубическая резольвента

      Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение

2sy2 + s2,

где s –  некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим

      Следовательно, уравнение (5) принимает вид

      Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения

то уравнение (6) примет вид

      Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде

или, раскрыв скобки, - в виде

      Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).

      Если какое-нибудь решение  кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».

      Действительно,

      Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение

а также квадратное уравнение

      Вывод метода Феррари завершен.

Пример решения уравнения 4-ой степени

      Пример. Решить уравнение

      Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену

      Поскольку

x4 + 4x3 – 4x2 – 20x – 5 = (y – 1)4 + 4(y – 1)3 – 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 = 
= y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 + 4y3 – 12y2 + 12y – 4 – 4y2 + 8y – 4 – 20y + 20 – 5 =
= y4 – 10y2 – 4y + 8,

то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид

      В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства

      В силу (9)  и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение

2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,

которое при сокращении на 2 принимает вид:

      Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение

y2 – 2y – 4 = 0,

корни которого имеют вид:

      Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение

y2 + 2y – 2 = 0,

корни которого имеют вид:

      В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):

      Ответ. 

Но эти способы очень сложны. Рассмотрю более простые способы, с помощью которых можно решить некоторые уравнения 4-й четверти.

Корни уравнения четвёртой степени {\displaystyle x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}} связаны с коэффициентами {\displaystyle a,\,b,\,c,\,d,\,e}следующим образом:

{\displaystyle x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=-{\frac {b}{a}},}

3.4.Решение уравнений четвертой степени по схеме Горнера

2x4 + 5x3 - 11x2 - 20x + 12 = 0

Для начала нужно методом подбора найти один корень. Обычно он является делителем свободного члена. В данном случае делителями числа 12 являются ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Начнем их подставлять по-очереди:

1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ число 1 не является корнем многочлена

-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ число -1 не является корнем многочлена

2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ число 2 является корнем многочлена

Мы нашли 1 из корней многочлена. Корнем многочлена является 2, а значит исходный многочлен должен делиться на x - 2. Для того, чтобы выполнить деление многочленов, воспользуемся схемой Горнера:

В верхней строке выставляются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки ставится найденный нами корень 2. Во второй строке пишутся коэффициенты многочлена, который получится в результате деления.

Они считаются так:

Последнее число - это остаток от деления. Если он равен 0, значит мы все верно посчитали.

Таким образом, мы исходный многочлен разложили на множители и переходим к уравнению.

(х-2)(2х3+9х2+7х-6)=0

Многочлен, являющийся вторым множителем попробуем разложить на множители подобным образом.

Отыщем опять делители свободного члена. В данном случае делителями числа -6: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6.

Число -2 является корнем многочлена. Напишем найденный корень в схему Горнера и начнем заполнять ячейки:

Таким образом, мы исходный многочлен разложили на множители и переходим к уравнению.

(х-2)(х+2) (2х2+5х-3)=0

(х-2)=0 или (х+2)=0 (2х2+5х-3)=0

Ответ: ±2,-3, 0,5

4. Решение некоторых уравнений четвертой степени

4.1. Решение биквадратного уранения

Одним из самых видов уравнений 4-й степени являются биквадратные уравнения:
, где a≠0 и a,b,c- любые числа.

Иначе говоря, это уравнение четвёртой степени, у которого второй и четвёртый коэффициенты равны нулю.

Подстановкой {\displaystyle y=x^{2};y\geqslant 0} оно сводится к квадратному уравнению относительно {\displaystyle y}y.

Получим квадратное уравнение вида:

, где a>0 и a,b,c-любые числа.

Через дискриминант, по формуле , находим корни уравнения и делаем обратную замену, то есть подставляем значения у в введенную нами формулу

Найдя , , , , мы нашли решения уравнения, то есть решили его.

Т.е. четыре его корня находятся по формуле

{\displaystyle x_{1,2,3,4}=\pm {\sqrt {\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}.}

Пример.

Решить уравнение

Замена

из этого следует, что уравнение имеет два корня.

Обратная замена

т.е. невозможно

Ответ: .

4.2. Решение уравнения способом группировки

Способом группировки можно решить уравнение 4 степени.

Чтобы разложить уравнение на множители, надо сгруппировать слагаемые по парам. Мы должны сгруппировать слагаемые по парам таким образом, чтобы при вынесении общего множителя за скобки у слагаемых был одинаковый множитель.

Решим на примере.

2х4-5х3+2х2-5х=0

(2х4-5х3)+( 2х2-5х)=0

х3(2х-5)+х(2х-5)=0

(2х-5)(х3-х)=0

х(2х-5)(х2-1)=0

х(2х-5)(х-1)(х+1)=0

х=0 или 2х-5=0 или х-1=0 или х+1=0

х1=0 х2=2,5 х3=1 х4=-1

4.3. Решение уравнения по свободному члену

Любое уравнение вида   можно свести к приведенному уравнению той же степени, домножив обе его части на  и выполнив замену переменной вида :

Полученные коэффициенты   тоже будут целыми.

Таким образом, будем решать приведенное уравнение степени n с целыми коэффициентами вида  .

Алгоритм решения.

Находим целые корни уравнения.

Целые корни уравнения  , i=1, 2, …, m (m – количество целых корней уравнения) находятся среди делителей свободного члена . То есть, первым делом выписываем делители свободного члена и подставляем их по очереди в исходное равенство для проверки. Перебираем их по очереди, пока не получим тождество. Как только тождество получено, то первый целый корень уравнения найден и уравнение предстает в виде  , где  - корень уравнения, а  - частное от деления  на .

Продолжаем подставлять выписанные ранее делители в уравнение , начиная с  (так как корни могут повторяться). Как только получаем тождество, то корень  найден и уравнение предстает в виде , где  - частное от деления  на .

И так продолжаем перебор делителей, начиная с . В итоге найдем все m целых корней уравнения и оно представится в виде , где  - многочлен степени n-m. Весь этот процесс удобно проводить по схеме Горнера.

Дробных корней приведенное уравнение с целыми коэффициентами иметь не может.

Находим оставшиеся корни (иррациональные и/или комплексные) из уравнения  любым способом.

Решить уравнение .

Во-первых, найдем все целые корни данного уравнения.

Свободным членом является -3. Его делителями являются числа 1, -1, 3 и -3.

Будем подставлять их по очереди в исходное равенство до получения тождества.

При х=1 имеем . То есть х=1 является корнем уравнения.

Разделим многочлен  на (х-1) столбиком:

Следовательно, .

Продолжим перебор делителей, но уже для равенства :

При х = -1 получили верное равенство, следовательно, -1 является корнем уравнения.

Разделим  на (х+1) столбиком:

Таким образом,

Продолжаем перебор делителей для равенства , начиная с х = -1:

Получили неверные равенства, следовательно, целых корней уравнение больше не имеет.

Оставшиеся корни исходного уравнения являются корнями квадратного трехчлена .

, то есть, действительных корней трехчлен не имеет, но имеет пару комплексно сопряженных.

4.4.Графический метод.

Иногда полезно рассмотреть эскизы графиков функций у=ƒ(x) и у=g(x), входящих в уравнение ƒ(x) = g(x). Это может помочь выяснить:

1) на какие множества надо разбить числовую ось, чтобы на каждом из этих множеств использовать свой способ решения;

2) наличие или отсутствие корней, их количество.

Пример: (материал взят из ОГЭ 2016г.)

x4=(3x-10)2

Решение №3: x4=(3x-10)2

1) Рассмотрим две функции: у = х4 и у =(3х-10)2.

2) Построим график функции у = х4 - график парабола ветви направлены вверх.

3) Построим график линейной функции у = (3х-10)2. Это парабола ветви, которой направлены вверх.

4) В данном примере наглядно видна только одна точка пересечения В(2;16) (см. приложение рис.3), хотя очевидно, что графики пересекаются еще в одной точке (т.е. имеется еще одно решение).

Как видим, что графический способ в данном случае не удобен, так как ограниченный размер листа тетради не позволяет увидеть все точки пересечения.

Графическое решение уравнения- наглядный способ, он хорош при необходимости определения наличия или отсутствия корней и их количества.

4.5. Применение формул сокращенного умножения. Выделение полного квадрата.

Этот метод основан на использовании формул: 

а2-b2=(а-b)(а+b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2−2ab+b2=(a−b)2

а3+b3=(а+b)(а2-аb+b2)а3-b3=(а-b)(а2+аb+b2)(а+b)3=а3+3а2b+3аb2+b3

(а-b)3= а3-3а2b+3аb2-b3,

Пример: х4=(3х-10)2

Способ 1: Используем формулу сокращенного умножения х4-(3х-10)2=0

(х2-3х+10)(х2+3х-10)=0

х2-3х+10=0 или х2+3х-10=0

D=9-40=-31 D=9+40=49

корней нет х1=-5, х2=2.

Ответ: х1=-2, х2=5.

6. Выводы:

1. Уравнения высших степеней решали еще более 500 тыс. лет назад.

2. Есть много способов решения уравнений 4-й степеней. Некоторые из них довольно сложные, а некоторые помогут быстро решить задания на ОГЭ.

3. Уравнения 4-й степеней играют немалую роль в развитии математики. Лишь немногие из учащихся умеют решать такие уравнения. Эти методы решения уравнений высших степеней непросты в применении, но они всё равно могут заинтересовать увлекающихся математикой учеников.

7. Заключение

В данной работе рассмотрены способы решения уравнений 4-й степени.

А также рассмотрены приёмы решения уравнений 4-й степени, которые позволяют быстрее и проще решить такие уравнения.

Данные приёмы решения заслуживают внимания, поскольку каждые из них интересны и уникальны. Овладение данными приёмами поможет экономить время и эффективно решать уравнения. Потребность в быстром и упрощенном решении обусловлена применением этих навыком на экзаменах.

Таким образом, цель работы - узнать и разобрать методы решения уравнений высших степеней- достигнуты. Гипотеза доказана, существует универсальный способ решения уравнений 4-й степени. Это способ Феррари.

Источники:

Алгебра. 9 класс:учебник для общеобразовательных организаций / А45 Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Под редакцией С. А. Теляковского. – 4-е издание – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.: ил. – ISBN 978-5-09-046396-6.

. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.М. Звавич «Сборник задач по алгебре для 8-9 классов». Учебное пособие для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики -Москва «Просвещение», 1999.

 В.В. Бардушкин, И.Б. Кожухов, А.А. Прокофьев, А.М. Ревякин,
А.М. Терещенко «Письменный вступительный экзамен по математике» - Москва «Лист», 1998.

 Н.В. Бурмистрова, Н.Г. Старостенкова «Функции и их графики». Учебное пособие - Саратов «Лицей», 2003.

 М.А.Еремин «Уравнения высших степеней» - Арзамас, 2003.

А.Г.Курош «Алгебраические уравнения произвольных степеней» - М.:Наука, 1975.

Л.М.Лоповок «1000 проблемных задач по математике» - М.: Просвящение, 1995.

 И.Р.Шафаревич «Популярные лекции по математике. О решении уравнений высших степеней» Вып.15 – М.: Наука, 1954.

10.https://zaochnik.com/spravochnik/matematika/systems/reshenie-uravnenij-vysshih-stepenej/

11. http://www.cleverstudents.ru/equations/equations_of_higher_degree.html

12. https://ru.wikipedia.org/wiki/Уравнение_четвёртой_степени

Приложение 1

Тренировочные задания для отработки различных способов решения уравнений 4-й степени.

№1 Решите уравнения способом замены: , б) X4-2x2-8=0,

в) x4-8x2-9=0, г) x4-7x2+12=0, д) 3x4-13x2+4=0, е) 2x4-19x2+9=0,

ж) 3x4-13x2+4=0, з) (x2+4x)(x2+4x-17)=60=0, и) (x2-5x)(x2-5x+10)+24=0,

к)(x2-3x)2-2(x2-3x)=8, л) (x2+x)2-11(x2+x)=12, 1

м) ()+10=0, н) ()=3; о)

№2 Решите уравнения, раскладывая левую часть на множители способом группировки:

а) 2x4-5x3+2x2-5x=0,

б) 6x4-3x3+12x2-6x=0,

в) 2x4+3x3-8x2-12x=0,

г) 2x4-5x3-18x2+45x=0.

№3 Решите уравнения по свободному члену
а) 2x4 – 3x3 – 7x2 –15x + 50 =0 б)х4-4х2 +3х+2=0

в) х4+2х3-7х2 -8х+12=0

№4 Решить уравнения, применения формулы сокращенного умножения

а)   б).