ПЕРВУШКИН БОРИС НИКОЛАЕВИЧ
ЧОУ «Санкт-Петербургская Школа «Тет-а-Тет»
Учитель Математики Высшей категории
Решение уравнений 4-ой степени. Метод Феррари
Целью данной статьи является изложение метода Феррари, с помощью которого можно решать уравнения четвёртой степени
|
a0x4 + a1x3 + a2x2 + a3x + a4 = 0, |
(1) |
где a0, a1, a2, a3, a4 – произвольные вещественные числа, причем 
Метод Феррари состоит из двух этапов.
На первом этапе уравнения вида (1) приводятся к уравнениям четвертой степени, у которых отсутствует член с третьей степенью неизвестного.
На втором этапе полученные уравнения решаются при помощи разложения на множители, однако для того, чтобы найти требуемое разложение на множители, приходится решать кубические уравнения.
Приведение уравнений 4-ой степени
Разделим уравнение (1) на старший коэффициент a0 . Тогда оно примет вид
|
x4 + ax3 + bx2 + cx + d = 0, |
(2) |
где a, b, c, d – произвольные вещественные числа.
Сделаем в уравнении (2) замену
|
|
(3) |
где y – новая переменная.
Тогда, поскольку
то уравнение (2) принимает вид
|
|
(4) |
Если ввести обозначения
то уравнение (4) примет вид
|
y4 + py2 + qy + r = 0, |
(5) |
где p, q, r – вещественные числа.
Первый этап метода Феррари завершён.
Разложение на множители. Кубическая резольвента
Добавив и вычитая в левой части уравнения (5) выражение
2sy2 + s2,
где s – некоторое число, которое мы определим чуть позже, из (5) получим
Следовательно, уравнение (5) принимает вид
|
|
(6) |
Если теперь выбрать число s так, чтобы оно являлось каким-нибудь решением уравнения
|
|
(7) |
то уравнение (6) примет вид
|
|
(8) |
Избавляясь от знаменателя, уравнение (7) можно переписать в виде
или, раскрыв скобки, - в виде
|
|
(9) |
Полученное кубическое уравнение (9), эквивалентное уравнению (7), называют кубической резольвентой уравнения 4-ой степени (5).
Если какое-нибудь решение кубической резольвенты (9) найдено, то уравнение (8) можно решить, разложив его левую часть на множители с помощью формулы сокращенного умножения «Разность квадратов».
Действительно,
Таким образом, для решения уравнения (8) остаётся решить квадратное уравнение
|
|
(10) |
а также квадратное уравнение
|
|
(11) |
Вывод метода Феррари завершен.
Пример решения уравнения 4-ой степени
Пример. Решить уравнение
|
x4 + 4x3 – 4x2 – 20x – 5 = 0. |
(12) |
Решение. В соответствии с (3) сделаем в уравнении (12) замену
|
x = y – 1. |
(13) |
Поскольку
x4 + 4x3 – 4x2 – 20x – 5 = (y – 1)4 + 4(y – 1)3 – 4(y – 1)2 – 20(y – 1)– 5 =
= y4 – 4y3 + 6y2 – 4y + 1 + 4y3 – 12y2 + 12y – 4 – 4y2 + 8y – 4 – 20y + 20 – 5 =
= y4 – 10y2 – 4y + 8,
то в результате замены (13) уравнение (12) принимает вид
|
y4 – 10y2 – 4y + 8 = 0. |
(14) |
В соответствии с (5) для коэффициентов уравнения (14) справедливы равенства
|
p = – 10, q = – 4, r = 8. |
(15) |
В силу (9) и (15) кубической резольвентой для уравнения (14) служит уравнение
2s3 + 10s2 – 16s – 84 = 0,
которое при сокращении на 2 принимает вид:
|
s3 + 5s2 – 8s – 42 = 0. |
(16) |
Проверяя, какой из делителей свободного члена уравнения (16) является целым корнем этого уравнения, находим, что целым корнем кубической резольвенты является число
|
s = – 3. |
(17) |
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (10), получаем уравнение
y2 – 2y – 4 = 0,
|
|
(18) |
Подставляя значения (15) и (17) в формулу (11), получаем уравнение
y2 + 2y – 2 = 0,
|
|
(19) |
В завершение, воспользовавшись формулой (13), из (18) и (19) находим корни уравнения (12):
Ответ. 
Замечание. При решении примера мы попутно получили разложение левой части уравнения (14) на множители:
|
y4 – 10y2 – 4y + 8 = (y2 – 2y – 4) (y2 + 2y – 2). |
(19) |
