Первый признак равенства треугольников

Конспект урока

«Первый признак равенства треугольников»

(урок №1, 7 класс, по учебнику Атанасяна Л.С.)

Цели урока:

Обучающая:

• ввести понятие теоремы и доказательства теоремы;

• доказать первый признак равенства треугольников;

• научить решать задачи на применение первого признака равенства треугольников.

Развивающая:

• выработать умения сопоставлять, обобщать полученные выводы, оценивать влияние условий на результат;

• развивать логическое мышление учащихся.

Воспитательная:

• выработать умение анализировать данные, выводить логические следствия из данных предпосылок, умение делать выводы;

• выработать умение концентрировать внимание, сосредотачиваться.

Методическая цель: опробовать новый подход к формулировке теоремы, выяснить уловят ли учащиеся момент, когда условия становятся достаточными.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: компьютор, экран, проектор, презентация, линейка, треугольник,

цветные мелки.

Ход урока

Организационный момент: (2 мин)

На предыдущем уроке мы приступили к изучению главы «Треугольники». Выяснили, какие две фигуры, в частности два треугольника называются равными. Сегодня мы выясним, можно ли установить равенство двух фигур не проводя фактического наложения одной на другую, а сравнивая только некоторые элементы этих фигур, в частности как сравнить треугольники.

Повторение пройденного материала: (6 мин)

Повторим материал прошлого урока.

Теоретический опрос по вопросам:

объясните, какая фигура называется треугольником;

начертите треугольник и покажите его стороны вершины и углы;

что такое периметр треугольника?

какие треугольники называются равными?

Каждому учащемуся выдается конвертик, в котором находится 6-7 бумажных треугольников; учащимся предлагается найти среди них равные.

Когда поиск закончен, спросить одного из учеников, как он нашел эту пару. Ученик расскажет, как он накладывал один треугольник на другой.

Выполнение практического задания с последующей устной проверкой:

№1: На доске(или слайде) начерчены ∆DEK, ∆MNP.

Рисунок 1

Назовите углы:

а) ∆DEK, прилежащие к стороне ЕК;

б) ∆MNP, прилежащие к стороне MN.

Назовите угол:

а) ∆DEK, заключенный между сторонами DE и DК;

б) ∆MNP, заключенный между сторонами NP и РМ.

Между какими сторонами:

а) ∆DEK заключен угол К;

б) ∆MNP заключен угол N?

№2:

Рисунок 2

Вызываю ученика к доске, он сопровождает свой ответ демонстрацией на чертежах и записью на доске.

3. Изучение нового материала: (16 мин)

Чтобы установить равенство двух треугольников, надо их совмещать или проверить равенство соответствующих сторон и соответствующих углов. Шесть равенств! Но иногда ни совместить, ни проверить все шесть равенств нет возможности. Да это и не нужно, оказывается достаточно установить лишь часть из них. Наша цель – определить, какие из шести этих равенств действительно необходимы.

Итак, перед нами проблема.

Ее решением и займемся .

Рисунок 3

Оказывается справедливо утверждение « Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны». Это утверждение называется «Первый признак равенства треугольников».

А в математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы.

Какие теоремы нам уже известны?

Свойство смежных углов и свойство вертикальных углов.

Почему же теорема о равенстве треугольников называется признаком?

Признак (по В.Далю) – это знак, отличие, все, почему узнают что–либо. Увидев морозный узор на окне, можно, не выходя из дома, сказать, что на улице холодно. Чтобы узнать, делится ли число 7859467 на 9, не обязательно выполнять деление: можно воспользоваться признаком делимости.

Признак дает возможность устанавливать равенство двух треугольников, не проводя фактического наложения одного из них на другой, а сравнивая только некоторые элементы треугольников.

Любая теорема состоит из условия и заключения. Как вы понимаете, что может означать словосочетание «условие теоремы», а что – «заключение теоремы»?

Условие - это уже известные факты, о которых говориться в теореме, а заключение – это то, что нужно доказать.

Выделите условие теоремы «Первого признака равенства треугольников».

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника.

Выделите заключение теоремы.

То такие треугольники равны.

Итак, докажем первый признак равенства треугольников:

Далее оформляем запись доказательства- учитель на доске, ученики в тетради.

А теперь рассмотрим еще один вопрос. Но сначала послушайте внимательно формулировку: Если две стороны и угол одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу другого треугольника, то такие треугольники равны. Как вы думаете, верно ли это утверждение?

Рассмотрим ∆ АВС и ∆АDС.

Рисунок 4

Сторона АВ треугольника АВС равна стороне АD треугольника АDС, сторона АС – общая, и С – общий. Но треугольники не равны. Итак, условие утверждения выполнено, а заключение – нет. Значит утверждение не верно. Обратите особое внимание, на то, что условие «между ними» необходимо!

4. Закрепление нового материала: (10 мин)

Рассмотрим, как же можно применить теорему для решения задач.

Устное решение задач по готовым чертежам, заранее заготовленным на обратной стороне доски или на слайде.

№1:

№2:

Для решения каждой задачи вызываю ученика к доске, где он комментирует решение, показывая упомянутые элементы на чертеже. Остальные учащиеся слушают, поправляют, дополняют ответ, если в этом есть необходимость.

Акцентирую внимание учащихся на обязательности содержательной ссылки «треугольники равны по двум сторонам и углу между ними», а не формальной «треугольники равны по первому признаку», выясняю всем ли был понятен ход решения, если возникли вопросы, сама отвечаю на них.

Если в задаче понадобится доказать, что два треугольника равны, чем следует воспользоваться: определением или теоремой?

Конечно, теоремой. Согласно определению нужно треугольники совмещать, а согласно теореме – проверить три равенства.

Далее решаем задачу № 94 из учебника. Оформление решения на доске выполняю сама.

Задача:

На рис. АВ = АС, 1 = 2.

а) Докажите, что треугольники АВD и АСD равны;

б) найдите ВD и АВ, если АС=15 см, DC=5 см.

Дано: АВ = АС, 1 = 2,

АС=15 см, DC=5 см.

Доказать:

∆АВD = ∆АСD.

Найти: ВD, АВ.

Доказательство: Прежде чем оформить решение на доске, предлагаю ученикам устно решить задачу. Один ученик комментирует доказательство. Другой – нахождение длин отрезков. А затем записываем решение задачи: я на доске, ученики в тетради.

 

Возможная запись решения:

Доказательство:

Рассмотрим ∆АВD и ∆АСD.

АВ = АС ( по усл.)

АD – общая сторона ∆АВD = ∆АСD (по двум

1 = 2 ( по усл.) сторонам и углу между ними)

Словестный комментарий: треугольники АВD и АСD равны по двум сторонам и углу между ними, первый признак равенства треугольников, в котором говориться: «Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.»

Решение:

ВD =DC =5 см, АВ = АС = 15 см.( как соответственные элементы равных треугольников).

Ответ: ВD =5 см, АВ = 15см.

Выясняю, не возникли ли вопросы по ходу решения.

5. Итог урока: (4 мин)

Итак, давайте повторим:

- Какие треугольники называются равными?

- Что называется теоремой?

-Что называется доказательством теоремы?

- Какую теорему мы сегодня доказали? Сформулируйте ее.

- Почему теорема называется признаком?

Ученики отвечают на вопросы.

Выставляю оценки за работу на уроке с комментарием.

6. Домашнее задание: (2 мин)

П 15. Вопросы 3 -4 стр. 49-50. №93, 95.

№93. Отрезки АЕ и DC пересекаются в точке В, являющейся серединой каждого из них. А) Докажите, что треугольники АВС и ЕВD равны; б) найдите углы А и С треугольника АВС, если в треугольнике ВDЕ D=470, Е= 420.

№95. На рис. ВС=АD, 1 = 2, а) Докажите, что треугольники АВС и СDА равны; б)Найдите АВ и ВС, если АD =17см, DС=14см.

Список литературы:

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., и др. Геометрия 7-9 кл. Учебник для 7-9 классов средней школы. – М.: Просвещение, 2006.

Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф. и др. Изучение геометрии в 7-9 классах. Методические рекомендации к учебнику. – М.: Просвещение, 2000.

Ковалева Г.И., Мазурова Н.И. Тесты для текущего и обобщающего контроля. Издательство «Учитель» 2008. .

Амелькин В.В., Рабцевич Т.И. Школьная геометрия в чертежах и формулах. 2008.