Урок на тему «Площадь. Решение задач»

Конспект урока по теме « Площади фигур» ( 2 часа, 8 класс)

 

Ю.А.Москатова, учитель математики

МБОУ БГО СОШ №3 г.Борисоглебска

Тип урока: урок обобщающего повторения.

 

Цель урока: Закрепить формулы для вычисления площадей фигур. Совершенствовать навыки решения элементарных задач. Формировать навыки самостоятельной работы. Организовать продуктивную деятельность учащихся, направленную на достижение ими следующих результатов:

 

предметные результаты:

усвоение и закрепление навыков вычисления площадей фигур;

понимание формулы Пика, как одного из методов вычисления площади фигур, построенных на «решетке»;

знание и применение свойств площадей многоугольников при решении задач;

овладение математической грамотностью на всех этапах обучения;

понимание возможностей использования в перспективе полученных формул при решении различного вида задач;

 

метапредметные результаты: освоение способов деятельности:

познавательной:

исследование несложных практических ситуаций, выдвижение предположений, понимание необходимости их проверки на практике;

осуществление переноса знаний в измененную ситуацию, умение видеть задачу в контексте проблемной ситуации;

информационно-коммуникативной:

умение вступать в речевое общение, участвовать в диалоге;

умение сформулировать мысль иными словами;

рефлексивной:

фиксация затруднений, поиск и устранение причин возникших трудностей;

оценивание собственных учебных достижений;

постановка личностных целей и умение оценивать степень их достижения;

 

личностные результаты:

проявление готовности к самостоятельной творческой деятельности;

умение легко выполнять математические операции;

умение точно и грамотно излагать свои мысли;

умение контролировать процесс и результат учебной математической деятельности;

заинтересованность в приобретении и расширении математических знаний и способов действий.

 

Ход урока:

 

1. Организационный момент

Здравствуйте ребята! Сегодня мы с вами обобщим изученные нами знания по теме : «Площади фигур» и решим задачи из ОГЭ по данной теме.

 

2. Основная часть урока

2.1 Исторические сведения ( Сообщение обучающегося)

Площадь - одна из основных величин, связанных с геометрическими фигурами. В простейших случаях измеряется числом заполняющих плоскую фигуру единичных квадратов, т. е. квадратов со стороной, равной единице длины.

Вычисление площади было уже в древности одной из важнейших задач практической геометрии (разбивка земельных участков). За несколько столетий до нашей эры греческие учёные располагали точными правилами вычисления площади, которые в "Началах" Евклида облечены в форму теорем. При этом площади многоугольников определялись теми же приёмами разложения и дополнения фигур, какие сохранились в школьном преподавании. Для вычисления площадей фигур с криволинейным контуром применялся предельный переход в форме исчерпывания метода.

Площади фигур - очень важный раздел в геометрии. Еще в глубокой древности, Египтяне научились измерять площади различных фигур. Имеются вполне достоверные сведения о значительном развитии геометрических знаний в Египте более чем за две тысячи лет до нашей эры. Узкая плодородная полоса земли между пустыней и рекой Нилом ежегодно подвергалась затоплению, и каждый раз разлив смывал границы участков, принадлежавших отдельным лицам. После спада воды требовалось с возможно большей точностью восстановить эти границы, ибо каждый из участков ценился весьма высоко. Это заставило египтян заниматься вопросами измерения, то есть землемерием. Помимо этого, они вели развитую торговлю и поэтому нуждались в умении измерять емкость сосудов. Искусство кораблевождения привело их к астрономическим сведениям. Выдающиеся постройки египтян - пирамиды, которые сохранились до нашего времени, свидетельствуют, что их сооружение требовало знания пространственных форм. Все это указывает на чисто опытное происхождение знаний о площадях фигур в геометрии.

И сегодня, круг использования знаний о площадях фигур велик. Такие знания очень важны в строительстве, инженерии, в проектировании.

 

2.2 Проверка теоретического материала

 

Выберите верные утверждения:

а) площадь прямоугольника равна квадрату его стороны;

б) площадь прямоугольника равна квадрату его произведению его смежных сторон;

в) площадь прямоугольника равна половине произведения двух его соседних сторон.

Площадь ромба равна половине произведения…

а) его сторон;

б) его стороны и высоты, проведённой к этой стороне;

в) его диагоналей;

г) его стороны и диагонали.

По формуле S=ah можно вычислить площадь:

а) параллелограмма;

б) треугольника;

в) прямоугольника;

г) ромба.

Площадь трапеции ABCD с основаниями AB и CD и высотой BH вычисляется по формуле:

а) ;

б) ;

в) .

 

5. Площадь прямоугольного треугольника равна:

а) половине произведения его стороны на какую-либо высоту;

б) половине произведения его катетов;

в) произведению его стороны на проведённую к ней высоту;

г) половине произведения катета и гипотенузы.

В треугольниках ABC и MNK. Отношение площадей треугольников ABC и MNK равно:

а) ; б) ; в) .

 

В треугольниках MNK и DOS высоты NE и OT равны. Тогда

а) MN : PO; б)MK : PS; в)NK : OS.

2.3. Решение задач

1. Сторона ромба равна 5, а диагональ равна 6. Найдите площадь ромба.

2. Одна из сторон параллелограмма равна 12, другая равна 5, а синус одного из углов равен 0,5. Найдите площадь параллелограмма.

3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 28 и 100

4. Основания трапеции равны 18 и 12, одна из боковых сторон равна 15, а угол между ней и одним из оснований равен 135°. Найдите площадь трапеции.

5. Найти площадь фигуры изображенной на решетке

 

Задачу номер 5 решаем сначала по формуле площади (разбив фигуру на две), а затем используем формулу Пика .

Сообщение обучающегося о формуле Пика

Каждому из нас нередко приходилось считать площадь решётчатого многоугольника (изображённого, например, на клетчатой бумаге). В основном, это делают ещё по известным со школы формулам. Но в этом случае для каждой фигуры приходится помнить выражение её площади. А ыедь многие из нас именно формулы и не помнят.
Не легче ли использовать одну формулу для всех многоугольников? Скажете,что такого не бывает….
— Сказка? — Нет, теорема Пика!

Названа она в честь Георга Пика ,доказавшего её в 1899 году.

Формулировка звучит так:
S = В + Г / 2 − 1, где S — площадь многоугольника, В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.
Важное замечание: формула справедлива только для многоугольников, у которых вершины расположены в узлах решетки.

2.4 "Мозговой штурм" (Деловая игра «Строитель»)

Цель игры: закрепить знания, умения и навыки при решении практических (нестандартных) задач с использованием формул площадей параллелограмма, трапеции, треугольника.

Основная идея игры состоит в том, чтобы создать производ­ственную ситуацию, в которой учащиеся, поставив себя на место человека той или иной специальности, смогут увидеть и оценить значение математических знаний в производительном труде, само­стоятельно овладеть необходимым теоретическим материалом и при­менить полученные знания на практике. Данные задачи присутствуют в заданиях ВПР,ОГЭ и ЕГЭ.

Строительное производство сегодня – это механизированный процесс сборки зданий и сооружений из крупноразмерных деталей, изготовленных заводским способом. Столяр работает на деревообрабатывающих предприятиях, в столярных мастерских. Работает на различных станках (круглопильных, фуговальных и т.д.) Непосредственно на объекте столяр устанавливает оконные и дверные блоки, производит настилку дощатых и паркетных полов, монтирует встроенную мебель и т. д. Выполнение такой работы невозможно без знания устройства и правил эксплуатации деревообрабатывающих станков, умения читать чертежи. Профессия требует объемного воображения, хорошего глазомера, знания геометрии, рисования, черчения.

Сейчас, ребята, вы будете выступать в роли строителей. Требуется произвести настилку паркетного пола в игровом зале строящегося детского сада.

Размер пола 5,75 * 8 м. Паркетные плитки имеют форму прямоугольных треугольников, параллелограммов, равнобедренных трапеций. Размеры плиток даны в сантиметрах.

 

Правила игры.

Класс делится на три группы (бригады).

Первая – столяры. (Вам нужно изготовить плитки указанных размеров в таком количестве, чтобы после настилки пола не осталось лишних плиток и число треугольных плиток было минимальным, а плиток в форме параллелограммов и трапеций – одинаковое количество.)

Вторая – поставщики. (Вам нужно доставит необходимое количество плиток на строительную площадку. Значит, вам также нужно просчитать.)

Третья – паркетчики. (Чтобы проконтролировать доставку, надо наперед знать, сколько и каких паркетных плиток понадобится для покрытия пола.)

Паркет укладывается в ряды так, что параллелограммы и трапеции чередуются, а треугольников в одном ряду всего два.

Решение.

Подсчеты показывают, что в одном ряду по ширине укладываются по два треугольника и по восемь параллелограммов и трапеций.

1. Найдем площадь полоски шириной 20см и длиной 575см

S = 20 · 575 = 11 500см2.

2. Найдем площадь одного треугольника

S = ½ · 15 · 20 = 150см2.

3. Найдем площадь одного параллелограмма

S =35 · 20 = 700см2.

4. Найдем площадь одной трапеции

S = ½ · (50 + 20) · 20 = 700см2.

5. Найдем. Сколько в эту полоску вмещается параллелограммов и трапеций:

(11 500 – 2 · 150) : 700 = 16 . В полоску вмещается 8 параллелограммов и 8 трапеций.

6. Найдем, сколько таких полос в длине комнаты: 800: 20 = 40.

7. Найдем, сколько параллелограммов и трапеций в 40 полосках, т.е. во всей площади пола. Для этого 40 · 2 = 80.

Проверка:

1. Площадь всего пола:

S = 800 · 575 = 460 000см2.

2. Воспользуемся свойством площадей

320 · 700 + 320 · 700 + 80 · 150 = 224 000 + 224 000+ 12 000 = 460 000см2

Задание данного уровня позволяют активизировать мыслительную деятельность учащихся, развивать логику и мышление, воспитывать интерес к предмету, учит анализировать, обобщать и рассуждать, а также способствует развитию творческих способностей, расширяет кругозор обучающихся и знакомит с рабочими профессиями. Используются принцип содружества, коммуникативности.

3.Подведение итогов урока

Оценить работу учащихся путем среднего арифметического по тесту и практической работе.

Домашнее задание. Начертить 5 фигур на квадратной решетке и найти их площадь двумя способами

4.Рефлексия урока

1.На каком этапе урока вам было очень сложно?

2.Какие вопросы теста вызвали затруднение?

3.Какие теоретические знания вам помогли для решения задач? При выполнении практической работы?