Применение подобия треугольников и свойства угла, вписанного в окружность, к решению задач

Этапы урока.

Методы и формы обучения

Действия учителя

Действия учащихся

Формируемые умения

1.Оргмомент

Учитель приветствует учащихся, отмечает отсутствующих на уроке, подводит к теме урока, эпиграф к уроку.

Записывают дату и тему урока в тетрадь.

Активизация внимания учащихся, подготовка к работе на уроке.

2.1 Актуализация знаний. Повторение теоретического материала. Устный фронтальный опрос.

Слайд №2

Учащиеся отвечают на вопросы, а также изображают углы, хорды

на заготовках окружностей.

1. Угол ... называется вписанным.

2. Центральным называется угол ...

3. Хорда–  это ...

4. Наибольшая из хорд окружности называется...

5. Центральный угол измеряется...

6. ... равен половине градусной мере дуги...

7. Вписанный угол ... равен 90̊.

8. Вписанные углы ... равны.

видео

Отвечают на вопросы учителя.

Повторение теоретического материала по теме «Углы, вписанные в окружность», развитие памяти и внимания, математической речи.

2.2 . Проверка теоретических знаний учащихся.

Какие из следующих утверждений верны:

1.Два треугольника подобны, если их углы соответственно равны и сходственные стороны пропорциональны.

2.Периметры подобных треугольников относятся как квадраты сходственных сторон.

3.Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Ответ: 13​​​​​​​

1.Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.

2.Если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сторонам другого треугольника , то такие треугольники подобны.

3.Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 3:1, считая от вершины.

Ответ: 12

1.Два треугольника подобны, если имеют по равному острому углу.

2.Два равнобедренных треугольника подобны, если их углы при вершине равны.

3.Два равносторонних треугольника всегда подобны.

Ответ: 123

Учитель для каждой группы вопросов перечисляет варианты ответов: 1, 2, 3, 12, 13, 23, 123, а учащиеся поднятием руки выбирают полученный ответ.

Каждый ученик записывает номера верных ответов в тетради. По просьбе учителя учащиеся отвечают на вопрос поднятием руки на перебор вариантов по просьбе учителя.

Закрепление теоретических знаний по теме, подготовка к ОГЭ, развитие внимания, памяти, логического мышления.

2.3. Решение задач на готовых чертежах 

1.Найдите пары подобных треугольников и определите признак подобия:

2. Решить задачу

3.Решите задачи:

1.Касательные CA и CB к окружности образуют угол ACB, равный . Найдите градусную меру угла ВАС

Ответ: 74°

2.Найдите длину медианы прямоугольного треугольника, проведенного к гипотенузе, катеты которого 3см и 4 см

Ответ:2,5 см

3.Треугольник ABC впи­сан в окруж­ность с цен­тром в точке O. Най­ди­те гра­дус­ную меру угла C тре­уголь­ни­ка ABC, если угол AOB равен 48°.

Ответ:24°

4.Найдите гра­дус­ную меру центрального ∠MOР, если известно, NP — диаметр, а гра­дус­ная мера ∠MNP равна 18°.

Ответ:36°

5.В окруж­но­сти с цен­тром в точке О про­ве­де­ны диаметры AD и BC, угол OCD равен 30°. Най­ди­те величину угла OAB.

Ответ:30°

6. Центр окружности, описанной около треугольника ABC, лежит на стороне AB. Найдите угол ABC, если угол BAC равен 30°. Ответ дайте в градусах.

Ответ:60°

1. Учащиеся находят на готовых чертежах подобные треугольники и определяют признак подобия.

2.Учащиеся решают задачи, используя признаки и опредление подобия треугольников.

3. Учащиеся решают задачи, используя свойство касательных, проведенных из одной точки к окружности и свойство угла, вписанного в окружность.

Закрепление теоретических знаний при решении задач. Развитие у учащихся памяти, внимания, логического мышления, умение слушать, анализировать, оценивать ответы других учащихся.

3. Физкульт-минутка

Долго тянется урок,

Долго вы решали.

Не поможет нам звонок,

Раз глаза устали.

Занимаемся все сразу,

Повторим четыре раза.

Наклоны головы.

Упражнения для глаз и позвоночника.

4. Решение задачи второй части ОГЭ методом мозгового штурма

Решение задачи:

Две окруж­но­сти ка­са­ют­ся внеш­ним об­ра­зом в точке K. Пря­мая AB ка­са­ет­ся пер­вой окруж­но­сти в точке A, а вто­рой — в точке B. Пря­мая BK пе­ре­се­ка­ет первую окруж­ность в точке D, пря­мая AK пе­ре­се­ка­ет вто­рую окруж­ность в точке C.

а) До­ка­жи­те, что пря­мые AD и BC па­рал­лель­ны.

б) Най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB, если из­вест­но, что ра­ди­у­сы окруж­но­стей равны 4 и 1.

Дано: О1 (О1, R1=4), О2 (О2, R2=1), О1 и О2 пересекаются в К. Доказать, что

AD и BC па­рал­лель­ны, най­ди­те пло­щадь тре­уголь­ни­ка AKB

Решение: М-середина АВ, значит, АМ=МВ. АМ=МК, МВ=МК как отрезки касательных, выведенных из одной точки, значит, АМ=МВ =МК, значит, треугольник АМВ-прямоугольный, угол К=90̊. По свойствам смежных и вертикальных углов угол АКD и угол ВКС также прямые, в свою очередь являются углами, вписанными в окружность, значит, АD и ВС-диаметры. На основании определения касательной к окружности АD и ВС перпендикулярны АВ, значит, параллельны.

АВСD –прямоугольная трапеция. ВС=2 R2=2*1=2, АD =2R1=2*4=8

О2Е перпендикулярно АВ. АВО2Е-прямоугольник. АВ=О2Е, ВО2 =АЕ=1, ЕО1=4-1=3. О1О2=4+1=5 треугольникО2ЕО1-прямоугольный. О2Е=4 по теореме Пифагора. Треугольник САВ- прямоугольный. АС= по теореме Пифагора. Треугольник DАВ- прямоугольный. DB= по теореме Пифагора. Треугольники ВСК и АКD подобны по двум углам, значит, их соответствующие стороны пропорциональны. АК=х, КС=

Составим и решим уравнение:

2х=8()

АК=1,6

КВ=у, КD= –у

Составим и решим уравнение:

2( –у)=8у

у=0,8

sАКВ=0,5*0,8 *1,6 =3,2

На столах учащихся разложены листы с задачей.

Дети разбиты на группы. Нарабатывают идеи решения задачи. Далее высказывания групп по поводу решения задачи. Совместный вывод и запись решения. Отработка навыков решения и оформления геометрических задач. Развитие ответственности и взаимовыручки.

5. Подведение итогов

Анализ выполнения достигнутых результатов (успехов и неудач);

Анализ достижения поставленной цели

Коллективный самоанализ урока и самооценка.