Проблемные задания к уроку математики для 11 класса по теме «Экономические задачи»

Проблемные задания к уроку математики для 11 класса по теме «Экономические задачи»

Ф. И. О. Миронова Лариса Алексеевна, учитель математики

Муниципального общеобразовательного учреждения «МОУ Лицей № 2» Краснооктябрьского района Волгограда.

Решение экономических задач очень полезно, так как жизнь современного человека тесно связана с финансовыми операциями. Проблема заключается в отсутствии мотивации и боязни учащихся решать такие задачи. Рассмотрение данных задач полезно организовать с проблемных заданий.

Проблемное задание: Два друга Михаил и Александр решили взять кредиты на два года в двух различных банках на развитие предпринимательства. Каждый из них взял в кредит ту сумму, которая ему необходима. Так как между ними была конкуренция, то они решили выявить положительные и отрицательные стороны взятых кредитов. Необходимо помочь им в этом.

Прочитайте научный текст;

Выясните, в каком банке «Оникс» или «Веста» идет речь об аннуитетном платеже, а в каком о дифференцированном;

Найдите ответы к задачам;

Сравните процентную переплату за два года в банке «Оникс» и в банке «Веста», соотнесите ее с величиной кредита. Сделайте вывод.

Выскажите свое мнение о том, как выгоднее оплачивать кредит: ежемесячно или двумя равными платежами.

Аннуитетный платеж – это ежемесячные платежи кредитования. При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть платежей составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть платежей идет на погашение кредита, а меньшая – на проценты. При этом общий размер ежемесячных платежей остается одинаковым.

Дифференцированный платеж – это неравные ежемесячные платежи, пропорционально уменьшающиеся в течение всего срока кредитования. В первой четверти срока – наибольшие платежи, в последней четверти – наименьшие, во второй и третьей четверти – сравнимы с аннуитетными платежами. Ежемесячно сумма кредита вместе с процентами уменьшается на равную долю, процент насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма ежемесячного платежа меняется ежемесячно. Если в задаче присутствуют слова «равными платежами» или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то речь идет о дифференцированном платеже.

Рассмотрим две задачи.

Задача 1.

Михаил 31 декабря 2018 года взял кредит 4290000 рублей в банке «Оникс» под 14,5 % годовых на следующих условиях: 31 декабря следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 14,5 %), затем Михаил переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Михаил выплатил долг двумя равными платежами (то есть за два года)?

Решение:

Составим таблицу

Так как Михаил выплатит кредит за два года, то сумма в конце второго года равна 0. Составим уравнение:

((4290000 * 1,145 – х) * 1,145 – х) = 0

4290000* 1,145 * 1,145 – 1,145х – х = 0

4290000* 1,145 * 1,145 – 2,145х = 0

2,145х = 4290000* 1,145 * 1,145

х = (4290000* 1,145 * 1,145) : 2,145

х = 2622050,

значит, сумма, которую заплатил Михаил через год, а затем в конце второго года равна 2622050 рублей.

Ответ: 2622050 рублей.

Задача 2.

Александр 15 января 2018 года взял кредит в банке «Веста» на сумму 2400000 рублей на 2 года. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца,

со 2-го по 14 число необходимо выплатить часть долга,

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну величину меньше, долга на 15 число предыдущего месяца.

Какую сумму можно выплатить банку за последние 12 месяцев?

Решение:

Ежемесячный платеж состоит из величины ежемесячного долга и начисленных к остатку процентов. Ежемесячный долг равен 2400000 : 24 = 100000 рублей. Каждый месяц долг уменьшается на 100000 рублей.

Так как 2400000 рублей = 2,4 млн. рублей, за 12 месяцев будет выплачена половина долга, то остается выплатить 1200000 рублей – 1,2 млн. рублей. Сумма начисленных процентов за 12 последних месяцев равна

1,2 * 0,02 + 1,1* 0,02 + 1,0 * 0,02 + 0,9 * 0,02 + 0,8 * 0,02 + 0,7 * 0,02 + …+ 0,1 * 0,02 =

= (1,2 + 1,1 + 1,0 + 0,9 + 0,8 + 0,7 + …+0,1) * 0,02 = (1,2 + 0,1) : 2 * 12* 0,02 = 0,156 млн. рублей = 156000 рублей – это проценты.

Значит, за последние 12 месяцев, банку нужно выплатить 1200000 + 156000 = 1356000 рублей.

Ответ: 1356000 рублей.

Сравним процентную переплату за два года в банках «Оникс» и «Веста».

Вычислим переплату в банке «Оникс»

4290000 * 0,145 = 622050 рублей – проценты за 1 год.

(4290000 + 622050) – 2622050 = 2290000 рублей долг после 1 года.

2290000 * 0,145 = 332050 рублей – проценты за 2 год.

622050 + 332050 = 954100 рублей переплата за 2 года.

(954100 : 2400000) * 100 % = 39,7541 (6) %

Вычислим переплату в банке «Веста»

(2400000 + 11/12 * 240000 + 10/12 *2400000 +…+ 1/12 * 2400000) * 0,02 = (1 +1/12) : 2 * 12 * 2400000 * 0,02 = 312000 рублей выплата процентов за 1 год.

312000 + 156000 = 468000 рублей выплата процентов за 2 года.

468000 : 2400000 * 100 % = 19,5 %

Гипотезы учащихся:

Процентная переплата в банке «Оникс» выше, чем в банке «Веста», но если учесть величину кредита, то Михаил получил больше денег на развитие бизнеса.

Преимущество аннуитетных платежей заключается в их неизменности, заемщику известна сумма, которую он должен платить ежемесячно в установленный срок. При дифференцированных платежах пользователю кредита необходимо постоянно уточнять, сколько денег ему нужно платить в следующий раз.

При дифференцированных платежах суммы первых выплат больше, чем последующие выплаты, и в итоге такой заемщик будет платить меньше, чем при аннуитетных платежах.

Повезет тому, кто найдет кредит с минимальной переплатой и дифференцированной системой возврата долга.