Решение квадратных уравнений

Конспект урока по алгебре в 8 классе на тему:

Решение квадратных уравнений

Цели урока:

повторить формулы нахождения корней квадратных уравнений, теорему Виета, формировать навыки применения теоремы в приведенных квадратных уравнениях;

развитие логического мышления, способности самостоятельно решать задачи и работать с дополнительной литературой;

прививать интерес к предмету, формировать коммуникативные навыки и волевые качества личности.

Тип урока: урок -практикум.

                Структура урока:

                Организационный момент.

                Фронтальный опрос.

                Индивидуальная работа, групповая работа

                Тест

                Домашняя работа

                Итог урока

Ход урока

Организационный момент

- Сообщение темы урока и целей

- Некоторые исторические факты и формулы, связанные с квадратными уравнениями:

В Древнем Египте были известны способы решения как полных, так и неполных квадратных уравнений. Общий вид таких уравнений : х² ± х = а. Правила решения во многом аналогичны современным. Греческие математики решали уравнения геометрически. Приемы решения уравнений без геометрии дает Диофант Александрийский(III в.). В одной из 13 книг «Арифметика» содержатся задачи, в которых Диофант объясняет, как надо выбрать неизвестное, чтобы получить решение уравнения вида ax= b или  ах² =b.

Индийский учёный Брахмагупта (около 598 г.) изложил универсальное правило решения квадратного уравнения, приведённого к виду: ax² + bx = c. При этом предполагалось, что в нём все коэффициенты, кроме a, могут быть отрицательными. Сформулированное учёным правило по своему существу совпадает с современным. 

Арабский учёный аль-Хорезми в 825 г. написал книгу «Китаб аль-джебр валь- мукабала» («Книга о восстановлении и противопоставлении») — первый в мире учебник алгебры.  Он также дал классификацию линейных и квадратных уравнений и способы их решения. 

Формулы решения квадратных уравнений по образцу аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи.

М. Штифель -немецкий математик - сформулировал общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к виду х² + bх = с.

Франсуа Виет -французский математик – вывел формулы корней квадратного уравнения в общем виде (только для положительных корней, отрицательных чисел не признавал).

После трудов нидерландского математика А. Жирара (1595- 1632), а также Декарта и Ньютона способ решения квадратных уравнений принял современный вид

II. Фронтальный опрос (перед учащимися лежат по 2 листа с

копировальной бумагой, подписать их).

-Какое уравнение называется квадратным? (устно).

- Ответить на следующие 3 вопроса (на листках с копировальной бумагой отмечают номер задания и номера правильных ответов).

1). Какие из уравнений являются квадратными?

1. х² + 5х + 4 = 5х- 8

2. х³+ 5х²- 4х =15

3. 5х² - 12 = 3х

4. 36х²= 0

5. (х+6) (х-4) = х²

2). Найдите корни уравнений:

1. х² - 3х = 0

2. х²- 25 = 0

3. 4х = х²

4. 2х² + 5= 6х+5

5. (х-3) (х+2) = 0

3). Определить знаки корней уравнения, не решая его:

1. х²- 8х – 20 = 0

2. х²-10х+21=0

3. х²+7х-18=0

4. х²+9х+14х=0

5. 2х²-5х-7=0

-Какую теорему применяли при выполнении данного задания?

-Сдать первые листы, а вторые листы, написанные с помощью копировальной бумаги, проверяют учащиеся самостоятельно (ответы сверяют с доской).

-Немного из истории -о Франсуа Виета

Франсуа Виет (1540-1603) – знаменитый французский средневековый математик, основоположник символической алгебры, создатель теоремы о свойствах корней квадратного уравнения. Виет до сих пор является одним из самых знаменитых математиков мира. В 1591 году Виет впервые ввел буквенные обозначения и для неизвестных, и для коэффициентов. Стало возможным выражать свойства уравнений и их корней общими формулами.

Виет, как и ученый аль -Хорезми и математики древней Греции, признавал только положительные числа. Чисел отрицательных, иррациональных и мнимых Виет не признавал, что было одним из самых больших недостатков его алгебры (аль -Хорезми признавал иррациональные числа).

Чтобы избежать отрицательных решений, он изменял условие задачи или применял какой-нибудь искусственный прием решения, отнимавший много сил и времени, часто запутывавший решения. Условные обозначения, которые использовал Виет, позволяли ему много записывать сокращенно, в виде формул. Эти формулы были не совсем удобны, но значительно облегчали действия, придавая им наглядность

Индивидуальная работа (и групповая).

(3 учащихся работают у доски с заданиями по карточке)

Карточка № 1

Пусть х₁ и х ₂ -  корни уравнения 4х² -5х -1=0 . Не вычисляя корней, найдите:

а). х₁³ х₂² + х₁х₂³;     б).

Карточка № 2

Не решая уравнения х² - 4х – 30 = 0, корни которого х₁ и х₂, найдите значение выражения:

а). х₁²+х₂²; б). (х₁ – х₂)².

Карточка № 3

Уравнение 5х² + х – 5 = 0 имеет корни х₁ и х₂. Не решая уравнение, найдите:

а). ; б). (х₁²+ х₂²)²

Групповая работа

1). Дайте определение приведенного уравнения. Приведите примеры.

2). Найти сумму и произведение корней уравнения:

х² -7х + 24 =0;

Х² + 23х = 0;

8 + 6х +х² = 0;

16 у – у² = 0;

5х² – 2х – 25 =0.

3). Составить квадратное уравнение с заданными корнями:

а). 6 и -4;

б). 0 и – 8;

в).2/9 и  -1/3;

г). 1-√2 и 1+√2;

д). -2 и 4.

4). Один из корней квадратного уравнения равен 3. Найдите другой корень уравнения.

а) y² - 21у + 54 = 0;

б) 9z² - 20z -21 = 0.

5). Рассмотреть и комментировать решение заданий по карточкам у доски.

IV. Тест по теме.

1) Отметьте уравнения, которые являются квадратными:

А. 3х + √2 – 5 = 0.

Б. √5х² +х – 7 = 0.

В. х³ +4х² - 5 = 0.

Г. 5х – х² + 3 = 0.

Д. 7х² – 8х = 0.

Е. 3х² – 2х – 1 =0.

2) Укажите коэффициенты уравнения 5х² – 11х + 6 =0.

а =    ,      в =       ,     с =      .

3) Укажите коэффициенты уравнения 2х - 5х² = 0.

а =    ,       в =     ,      с =   .

4) Решить уравнение 0,2х² – 5 = 0.

А. 5; -5                  Б. 25                               В. Нет корней

5) Решите уравнение 5х²– 6х = 0.

А. 2                       Б. Нет корней                   В. 0; 1,2

6) Определите знаки корней, не решая уравнения:

4х² – 11х + 7 =0

А. Оба положительные.

Б. Корни разных знаков.

В. Оба отрицательные.

7) Решите уравнение 3х² + 5х – 2 = 0.

А. 0,5; -3                Б. 2; - 1/3                       В. -2; 1/3

8) Решите уравнение 7х + х² = 0.

А. 0; 1/7                 Б. 0; -7                           В. 0; 7

9) Какое из квадратных уравнений является приведенным:

А. у² – 2у - 1 = 0.

Б. 2х² – 7х + 3 = 0.

В. х + 10х² +9 = 0.

10) Найдите корни уравнения, используя теорему Виета:

х² – х – 6 = 0.

А. 2; 3                      Б. 3; -2                          В. -2; 3

V. Домашнее задание: 1) Написать квадратные уравнения, корнями которых являются числа: а) 2 и -4; б) -5 и 15.

2) Решить уравнения: а) х³ + х = 0; б) х² + 4х + 4 = 0;

в) (х+1) (х+2) – (х+4) =6.

VI. Итог урока. Результаты теста