Урок по геометрии в 11 классе на тему «Решение задач методом координат»

Алгебра - не что иное как записанная

в символах геометрия,

а геометрия - это просто алгебра,

воплощенная в фигурах.

Софий Жермен (1776-1831)

2.1 Тема и цели урока

Предмет: Геометрия (УМК под редакцией Л.С. Атанасяна и др.)

Класс: 11.

Тема: «Решение задач методом координат»

Тип урока: комбинированный

Используемое оборудование:

Оборудование для применения ИКТ (проектор, экран и компьютер и т.п.).

Интернет.

Презентация Power Point.

Раздаточный материал – карточки с домашним заданием ( Приложение 1)

Методы обучения

Соответствуют задачам урока и

по источнику передачи знаний:

- словесные (рассказ);

- наглядные (демонстрация);

- практические (нахождение углов)

по уровню самостоятельности учащихся:

проблемно – поисковые, репродуктивные,

по аспекту мышления:

продуктивные (самостоятельное решение заданий),

по логическому аспекту:

- дедуктивные.

Основная образовательная цель: создать условия для формирования у учащихся умения применять метод координат при решении задач на нахождения угла между скрещивающимися прямыми, угла между прямой и плоскостью и угла между плоскостями. В результате чего ученики должны

2.2 Содержание учебного материала.

1. Оргмомент и постановка целей урока.

2. Воспроизведение и коррекция опорных знаний.

У доски 3 человека работают по карточкам.

Карточка 1. Дано: M(0;1;3/4), D1(0,0,1), N(1,1/2,0), B1(1,1,1).

Найти: координаты векторов MN и D1B1

Ответ: (1,-1/2,-3/4), (1,1,0)

Карточка 2. Дано:4,-2,-3), (1,1,0).

Найти: косинус угла между этими векторами.

Ответ:  = .

Карточка 3. Дано: C(1,0,1), M(0,1,3/4), N(1,1/2,0).

Составить уравнение плоскости, проходящей через заданные точки.

Ответ:  =0.

 

3. Актуализация знаний.

1). Найти координаты точек. Презентация (слайд 1, 2 и 3).

2). Как называется вектор  для прямой MN? Ответ: направляющий.

3). Что можно сказать о векторах (1,-1/2,-3/4) и (4,-2,-3), (1,1,0) и (1,1,0)? Ответ: коллинеарные

4). Будет ли вектор(4,-2,-3) направляющим вектором прямой MN? Ответ: да, т.к. он коллинеарен вектору (1,-1/2,-3/4).

5). Как называются прямые MN и D1B1? Ответ: скрещивающиеся.

6). Чему равен косинус угла между прямыми MN и D1B1? Ответ обоснуйте. Ответ: .

7). Сформулируйте условие задачи ЕГЭ, где этапами решения будут рассмотренные задачи 1 и 2.

8). Сформулируйте алгоритм решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми. (Слайд 4)

Алгоритм решения задач на нахождение угла между скрещивающимися прямыми:

1. На рисунке изображаем указанные в задаче прямые (которым придаем направление, т.е. вектора)

2. Вписываем фигуру в систему координат

3. Находим координаты концов направляющих векторов для каждой прямой

4. Находим координаты направляющих векторов  и 

5. Подставляем в формулу

где  и 

6. После чего (если требуется в задаче), зная косинус, находим значение самого угла.

9). Рассмотрим решение карточки 3. Можно ли это уравнение записать проще? Ответ: да, .

10). Назовите координаты вектора, перпендикулярного данной плоскости. Ответ: (7,8,4).

11). Как называется данный вектор? Ответ: вектор нормали.

12). Будет ли вектор(-7,-8,-4), перпендикулярен плоскости, проходящей через точки C, M, N. Ответ: да, он коллинеарен вектору .

13). По какой формуле вычисляется угол между прямой и плоскостью? Ответ:

14). Найдите синус угла между прямой D1B1 и плоскостью, проходящей через точки C, M, N. Ответ: 

15). Сформулируйте алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью.

Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью:

1. На рисунке изображаем указанные в задаче прямую и плоскость (прямой придаем направление, т.е. вектор)

2. Вписываем фигуру в систему координат

3. Находим координаты концов направляющего вектора.

4. Находим координаты направляющего вектора

5. Находим координаты трех точек, принадлежащих заданной плоскости и составляем уравнение плоскости 

6. Находим координаты вектора нормали к плоскости 

7. Подставляем в формулу "синус угла между прямой и плоскостью"

8. После чего (если требуется в задаче), зная синус, находим значение самого угла.

4. Изучение нового материала.

1). Какой этап решения задачи на нахождения угла между прямой и плоскостью наиболее трудоемкий? Один из предполагаемых ответов – составление уравнения плоскости.

Для составления уравнения плоскости можно использовать определитель третьего порядка, который можно посчитать правилом Саррюса.

Итак, допустим у нас есть плоскость, проходящая через точки , 

Уравнение этой плоскости в координатной форме будет иметь вид:

Данное уравнение записано с помощью матрицы (математического объекта, в виде прямоугольной таблицы элементов, которая представляет собой совокупность строк и столбцов, на пересечении которых находятся её элементы.) Чтобы составить уравнение нам нужно найти определитель третьего порядка (кол-во строк = кол-ву столбцов; для неквадратных матриц понятие определителя не вводится.) Более понятным языком нам нужно найти многочлен (который и будет задавать уравнение плоскости в привычном виде) от элементов квадратной матрицы с помощью специальных правил. (Мы рассмотрим лишь одно, на мой взгляд наиболее удобное правило Саррюса)

Ниже представлено, как найти определитель третьего порядка по правилу Саррюса, составить уравнение плоскости и найти вектор нормали.

2). Составим уравнение плоскости, проходящей через точки C(1,0,1), M(0,1,3/4), N (1,1/2,0). У доски работает ученик.

Ответ: . Вектор нормали .

3) Решить задачу: В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла между прямой АВ и плоскостью SAD. Интерактивный решебник заданий С2 к сборнику «ЕГЭ 2013. Математика. 30 вариантов» А.Л. Семенов, И.В. Ященко. Тренировочная работа №7.

Решение:

Введем систему координат.

Найдем координаты точек.

Сделаем выносной чертеж.

Составим уравнение плоскости.

После того как найдем синус угла между прямой и плоскостью показать учащимся как легко получить синус этого угла, используя прямоугольный треугольник. Далее обратить внимание учащихся на координаты полученных векторов и как сделать их удобнее для вычислений.

4) Рассмотреть алгоритм нахождения угла между плоскостями.

Алгоритм решения задач на нахождение угла между двумя плоскостями.

1. Вписываем фигуру в систему координат

2. Находим координаты трех точек одной плоскости и составляем уравнение плоскости.

3. Записываем вектор нормали 

4. Находим координаты трех точек второй плоскости и составляем уравнение плоскости.

5. Записываем вектор нормали 

6. Подставляем координаты векторов  и  в формулу "косинус угла между векторами".

Решим задачу: Основанием прямой треугольной призмы АВСА1В1С1 является рав­нобедренный треугольник ABC, в котором АВ = ВС = 20, АС = 32. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р принадлежит ребру ВВ1 причем BP : РВ1 = 1:3. Найдите тангенс угла между плоскостя­ми A1B1C1и АС Р. Интерактивный решебник заданий С2 к сборнику «ЕГЭ 2013. Математика. 30 вариантов» А.Л. Семенов, И.В. Ященко. Тренировочная работа №11.

Введем систему координат.

Найдем координаты точек.

Сделаем выносной чертеж.

Составим уравнения плоскостей.

Зная косинус угла найдем тангенс, используя прямоугольный треугольник.

5. Решение задач.

Задача 1. В правильной шестиугольной призме A...F1 все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между плоскостями ABC и DB1F1. . Интерактивный решебник заданий С2 к сборнику «ЕГЭ 2013. Математика. 30 вариантов» А.Л. Семенов, И.В. Ященко. Тренировочная работа №13.

Задача 2. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 известны длины ребер: АА1 = 5, АВ = 12, AD = 8. Найдите тангенс угла между плоскостью ABC и плоскостью, проходящей через точку B перпен­дикулярно прямой АК, если К — середина ребра C1D1. Интерактивный решебник заданий С2 к сборнику «ЕГЭ 2013. Математика. 30 вариантов» А.Л. Семенов, И.В. Ященко. Тренировочная работа №19.

Задача 3. Основанием прямой треугольной призмы ABCA1B1C1 является рав­нобедренный треугольник ABC, в котором АВ = ВС = 10, АС =16. Боковое ребро призмы равно 24. Точка Р — середина ребра ВВ1. Найдите тангенс угла между плоскостями А1В1С1 и АСР. Интерактивный решебник заданий С2 к сборнику «ЕГЭ 2013. Математика. 30 вариантов» А.Л. Семенов, И.В. Ященко. Тренировочная работа №17.

6. Домашнее задание.

1). Выучить алгоритмы.

2). Найти координаты вершин многогранников (считая все ребра равные единице). Рассмотреть правильную треугольную и шестиугольную призмы, правильную треугольную, четырехугольную и шестиугольную пирамиды.

3). Решить задачи (карточки).

(ЕГЭ 2012 г) На ребре СС1 куба ABCDA1B1C1D1 отмечена точка Е так, что СЕ: ЕС1=1:2. Найдите угол между прямыми ВЕ и АС1.

(ЕГЭ 2012 г) В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 2, AD=AA1=1. Найдите угол между прямой АВ1 и плоскостью АВС1.

(ЕГЭ 2012 г) В правильной четырехугольной призме ABСDA1B1C1D1 стороны основания равны 2, а боковые ребра равны 5. На ребре АА1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА1 = 3:2. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD1.

4* (ЕГЭ 2014) В пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­де MABC с вер­ши­ной M сто­ро­на ос­но­ва­ния AB равна 6. На ребре AB от­ме­че­на точка K. Се­че­ние MKC яв­ля­ет­ся рав­но­бед­рен­ным тре­уголь­ни­ком с ос­но­ва­ни­ем MC. Най­ди­те угол между плос­ко­стя­ми MLC и MBC, где L — се­ре­ди­на AB.

7. Подведение итогов урока.

Выслушать ответы учащихся по вопросам:

Сегодня на уроке я повторил …

Сегодня на уроке я научился …

Мне необходимо еще поработать над …

Приложение 1
DOCX / 14.38 Кб