Средняя линия трапеции
Цели: ввести понятия средней линии трапеции; доказать теорему о средней линии трапеции с помощью векторов; упражнять учащихся в решении задач.
Ход урока
I. Проверка усвоения учащимися материала.
1. Устно ответить на вопросы:
1) Какие векторы называются коллинеарными? Изобразите на рисунке сонаправленные векторы 
и 
и противоположно направленные векторы 
и 
.
2) Какой вектор называется произведением данного вектора на данное число?
3) Могут ли векторы и 
быть неколлинеарными?
4) Сформулируйте основные свойства умножения вектора на число.
2. Решить задачу на доске и в тетрадях по готовому чертежу:
|
Докажите, что середины отрезков AB, MN и CD лежат на одной прямой. Решение Пусть K1 – середина AB, K2 – середина MN, K3 – середина CD. Согласно задаче 2 из п. 84 имеем |
|
. Из условия следует, что 
, поэтому 
.
Таким образом, векторы 
и 
коллинеарны, и, значит, точки K1, K2 и K3 лежат на одной прямой.
II. Объяснение нового материала.
1. Определение трапеции. Виды трапеций.
2. Определение средней линии трапеции.
3. Доказательство теоремы о средней линии трапеции (проводит сам учитель).
При доказательстве теоремы целесообразно использовать результат задачи 2, решенной на предыдущем уроке.
Доказательство можно оформить на доске и в тетрадях в виде следующей краткой записи:
Дано: ABCD – трапеция, AD || BC, M – середина стороны AB; N – середина стороны CD (рис. 266 учебника).
Доказать: MN || AD, MN = 
.
Доказательство
1) Согласно рассмотренной в классе задаче 1 
.
2) Так как 
, то 
и, значит, MN || AD.
3) Так как , то 
= AD + BC, поэтому
MN = 
(AD + BC).
III. Закрепление изученного материала (решение задач).
1. Решить на доске и в тетрадях задачу № 793.
Решение
Пусть a и b – основания трапеции, тогда а + b = 48 – (13 + 15) =
= 20 (см); средняя линия MN = 
= 10 (см).
Ответ: 10 см.
2. Решить задачу № 795.
3. Решить задачу № 799 на доске и в тетрадях.
|
Решение Пусть BK – перпендикуляр, проведенный к основанию AD данной трапеции. Тогда KD = AD – AK. Но AK = |
|
, поэтому KD =
, то есть
отрезок KD равен средней линии трапеции. Значит, средняя линия трапеции равна 7 см.
Ответ: 7 см.
IV. Проверочная самостоятельная работа.
Вариант I
Точка K делит отрезок MN в отношении MK : KN = 3 : 2. Выразите вектор 
через векторы 
и 
, где A – произвольная точка.
Вариант II
Точка A делит отрезок EF в отношении EA : AF = 2 : 5. Выразите вектор 
через векторы 
и 
, где K – произвольная точка.
V. Итоги урока.
Домашнее задание: изучить материал пункта 85; ответить на вопросы 18–20, с. 214 учебника; решить задачи №№ 787, 794, 796.
