Технологическая карта урока «Скалярное произведение векторов»

№ п/п

Параметр

Описание

Дисциплина, профессиональный модуль, междисциплинарный курс, курс обучения, специальность

ОУД.03 Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия,

1 курс обучения по специальности 39.01.01 Социальная работа

Тема урока

Скалярное произведение векторов

Цель,

задачи урока

Совершенствовать навыки решения задач на применение скалярного произведения векторов на плоскости:

– повторить с учащимися вопросы теории и рассмотреть основные свойства скалярного произведения векторов.

– сформировать умения вычислять скалярное произведение векторов и находить угол между векторами.

Ожидаемый учебный результат

ОК.1, ОК.2, ОК.3, ОК.4, ОК.5, ОК.6, ОК.8, ОК.9 

Педагогические технологии

Технология проблемного обучения, педагогика сотрудничества, технология уровневой дифференциации, ИКТ – технология, технология использования интерактивных методов обучения.

Этап урока

Цель - результат

Медиаресурсы

Деятельность преподавателя

Деятельность студента

1. Мотивация к познавательной деятельности

OК 1. Понимать сущность и социальную значимость своей будущей профессии, проявлять к ней устойчивый интерес.

Здравствуйте, уважаемые студенты. Сегодня мы проведем урок по теме «Простейшие задачи в координатах в пространстве».

Мне хотелось бы начать наш урок с известного высказывания Г. Лессинга

«Спорьте, заблуждайтесь, ошибайтесь, но, ради Бога, размышляйте, и, хотя криво – да сами». Девиз нашего урока:

"Добываем знания сами!"

Насколько важным вам кажется такой девиз к уроку?

Эмоциональный настрой на познавательную деятельность.

Очень важно уметь самостоятельно находить ответы на стоящие перед тобой вопросы. Ведь в дальнейшем нам придется также самостоятельно находить ответы на жизненные задачи.

2.Актуализация и фиксирование индивидуального затруднения в пробном учебном действии

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы решения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, взаимодействовать с руководством, коллегами и социальными партнерами.

Повторим основные формулы для решения задач координатным методом на плоскости.

На интерактивной доске записаны формулы. Часть из них правильная, часть – неправильно записана, часть – записана не полностью. От каждого ряда по 1 студенту выходит и исправляет неправильный вариант или дописывает формулу.

В формуле нахождения координат вектора координаты конца вектора вычитаются из координат начала вектора

Для нахождения координаты х середины отрезка надо сумму абсцисс разделить на 2

На рисунке по оси Ох определяются координаты х точек, а по оси Оу – координаты у

При вычислении длины отрезка АВ надо разность ординат возвести в квадрат

При вычислении длины вектора под корнем используется формула суммы квадратов координат вектора.

(Формула, которой будем работать) Скалярное произведение векторов равно сумме произведений их соответствующих координат

(Формула, которой будем работать) Косинус угла между векторами равен отношению скалярного произведения векторов к произведению их модулей

3. Выявление места и причины затруднения

ОК 3. Оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.

С какими формулами у вас возникли затруднения? Почему?

Эти формулы изучали в основной школе, но не помним их.

4.Построение проекта выхода из затруднения

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы решения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития

Чтобы повторить материал для дальнейшего его использования, предлагаю использовать информационный ресурс yaklass.ru. Работать будем парами. Найдите, в каком классе изучалась тема о скалярном произведении векторов, внимательно изучите теоретический материал, выпишите основные положения и формулы. Обратите внимание на частные случаи скалярного произведения.

Разбиваются на пары. Открывают yaklass.ru, входят на портал под одним из логинов Dnevnik.ru. Выбирают раздел меню Предметы, Геометрия, 9 класс. Находят тему, открывают теоретический материал «Скалярное произведение векторов»

5. Реализация проекта выхода из затруднения

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы решения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

ОК 3. Оценивать риски и принимать решения в нестандартных ситуациях.

ОК 6. Работать в коллективе и команде

ПК 1.4 Анализировать уроки.

Интерактивное задание на сайте learningapps.org: https://learningapps.org/4666323

Для проверки материала, с которым вы работали, предлагаю выполнить следующую работу.

Заполните пропуски на доске:

1. Скалярным произведением двух векторов a и b будет _______, равное произведению модулей этих векторов, умноженное на косинус угла между ними.
2. Для определения угла между векторами, надо их _______.
3. Если векторы сонаправлены, то угол между векторами равен ____.
4. Косинус угла в 0 градусов равен ___
5. Если векторы противоположно направлены, то угол между векторами равен _____
6. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно __
7. Скалярное произведение вектора самого на себя равно ____
8. Если a (xa;ya) и b(xb;yb), то _____

1. Скалярным произведением двух векторов a и b будет число, равное произведению модулей этих векторов, умноженное на косинус угла между ними.
2. Для определения угла между векторами, надо их поместить в одной точке.
3. Если векторы сонаправлены, то угол между векторами равен нулю градусов
4. Косинус угла в 0 градусов равен 1
5. Если векторы противоположно направлены, то угол между векторами равен 180 градусов
6. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0
7. Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля
8. Если a (xa;ya) и b(xb;yb), то a⋅b=xa⋅xb+ya⋅yb

6.Первичное закрепление с проговариванием во внешней речи

ОК 9. Осуществлять профессиональную деятельность в условиях обновления ее целей, содержания, смены технологий.

http://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/sootnoshenie-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-skaliarnoe-proizvedenie_-9222/skaliarnoe-proizvedenie-vektorov-9526

Закрепим изученный материал, используя задания в yaklass.ru

Задания

1. Вычисли скалярное произведение векторов a и b, если a⃗ (-2;2) и b⃗ (4;5).

2. Вычисли скалярное произведение векторов a и b , если |a|=7, ∣b∣=10, а угол между ними равен 45°.

3. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы ... Выбери правильное пропущенное слово:

коллинеарны

компланарны

перпендикулярны

равны

4. Найди угол между векторами a (5;8) и b (8;−5).

5.

Дан квадрат ABCD, точка O пересечения диагоналей AC и BD.

1) угол между векторами BA и BD равен

2) угол между векторами OB и DO равен

3) угол между векторами AB и CA равен

4) угол между векторами OB и OD равен

5) угол между векторами OB и OC равен

6.  

 Дан правильный шестиугольник, который состоит из шести правильных треугольников, сторона которых равна 34 см. Определи скалярное произведение данных векторов: 

1. ED⋅EB=

2. OD⋅OE= 

3. DC⋅DE=

7.

1. Определи угол cdˆ =

2. Угол abˆ равен с углом:

u⃗ v⃗ ˆ

все четыре угла равны

a⃗ b⃗ ˆ

c⃗ d⃗ ˆ

m⃗ n⃗ ˆ

8. Векторы p⃗ и v⃗ взаимно перпендикулярны, но одинаковой длины: 7 см. Определи скалярное произведение векторов c⃗ и d⃗ , которые выражены следующим образом:

c⃗ =2⋅p⃗ −2⋅v⃗ , d⃗ =4⋅p⃗ +2⋅v⃗

9. Определи неизвестную координату, если векторы a→(-8;a) и b→(5;4)перпендикулярны.

10.  

Определи скалярное произведение векторов, если сторона ромба ABCD равна 6 см:

1. BC⋅DC= 

2. DC⋅CB=

1. Скалярное произведение векторов a⃗ (ax;ay)  b⃗ (bx;by)

выражается формулой a⋅b=ax⋅bx+ay⋅by. Ответ: a⋅b=-2⋅4+2⋅5=-8+10=2

2. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. a⋅b=cosα⋅|a|⋅∣b∣ a⋅b=cosα⋅|a|⋅∣b∣=cos45°⋅7⋅10=70*2/√2=35√2

3. Скалярное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны .

4. Угол между векторами ā (a1;a2) и b (b1;b2) можно вычислить по формуле

Подставляем в формулу координаты векторов и получаем:  Данное значение косинуса соответствует углу в 90°.

5. Дан квадрат ABCD, точка O пересечения диагоналей AC и BD.

1) угол между векторами BA и BD равен 45°

2) угол между векторами OB и DO равен 0°

3) угол между векторами AB и CA равен135°

4) угол между векторами OB и OD равен 180°

5) угол между векторами OBи OC равен 90°

6. Дан правильный шестиугольник, который состоит из шести правильных треугольников, сторона которых равна 34 см.

1.ED⋅EB=34⋅2⋅34⋅cos60°=34⋅2⋅34⋅1/2=1156

2.OD⋅OE=34⋅34⋅cos60°=34⋅34⋅1/2=578

3.DC⋅DE=34⋅34⋅cos120°=34⋅34⋅(−1/2)=−578

7.

 Перемещаем векторы так, чтобы каждая пара началась с общей начальной точки.

 a⃗ b⃗ ˆ=c⃗ d⃗ ˆ=135° — тупой угол;

 m⃗ n⃗ ˆ=u⃗ v⃗ ˆ=45° — острый угол.

8. Векторы p⃗  и v⃗  взаимно перпендикулярны, но одинаковой длины 7 см.

  c⃗ =2⋅p⃗ −2⋅v⃗ , d⃗ =4⋅p⃗ +2⋅v⃗ 

 c⃗ ⋅d⃗ =(2⋅p⃗ −2⋅v⃗ )⋅(4⋅p⃗ +2⋅v⃗ )=2⋅4⋅|p⃗ |2+2⋅2⋅p⃗ ⋅v⃗ −2⋅4⋅v⃗ ⋅p⃗ −2⋅2⋅|v⃗ |2=2⋅4⋅|p⃗ |2+0−0−2⋅2⋅|v⃗ |2=(2⋅4−2⋅2)⋅72=196

9. 1. Скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.

2. В координатах скалярное произведение определяют по формуле a⃗ ⋅b⃗ =xa⋅xb+ya⋅yb.

3. Составляем уравнение и определяем неизвестную координату: xa⋅xb+a⋅yb=0,

a=(−xa⋅xb)/(yb), a=10

10. 1.BC⋅DC=6⋅6⋅cos60°=6⋅6/2=18

2.DC⋅CB=6⋅6⋅cos120°=−6⋅6/=-18 Внимание! Угол между этими векторами тупой!

7.Самостоятельная работа с самопроверкой по эталону

ОК 2. Организовывать собственную деятельность, определять методы решения профессиональных задач, оценивать их эффективность и качество.

http://www.yaklass.ru/p/geometria/9-klass/sootnoshenie-mezhdu-storonami-i-uglami-treugolnika-skaliarnoe-proizvedenie_-9222/skaliarnoe-proizvedenie-vektorov-9526/tv-d44689cb-b452-4922-bda7-39711290811a

Для самопроверки предлагаю пройти тест по теме в yaklass.ru. Зайдите каждый под своим логином, используя компьютеры, смартфоны и ноутбуки. В конце темы есть тренировочный тест. Выполните его. Если есть необходимость, можете подойти и выяснить проблемные вопросы у своих товарищей.

Задания теста:

1.Вычисли скалярное произведение векторов a⃗ и b⃗ , если |a|=5, ∣b∣=8, а угол между ними равен 45°.

2. Дан квадрат ABCD, точка O пересечения диагоналей AC и BD.

1) угол между векторами DB и DA=

2) угол между векторами AO и OC=

3) угол между векторами BD и CB=

4) угол между векторами OA и OC =

5) угол между векторами OB и OC =

3. Дан правильный шестиугольник, который состоит из шести правильных треугольников, сторона которых равна 22 см. Определи скалярное произведение данных векторов:

1. CB⋅CF=

2. OB⋅OC=

3. FE⋅FA=

4. Вычисли неизвестную координату, если векторы a (-3;a) и b→(2;1) перпендикулярны.

5.  

Определи скалярное произведение векторов, если сторона ромба ABCD равна 4 см:

1. AB⋅AD= 

2. BA⋅AD=

Включение в систему знаний и повторение

Сайт РешуЕГЭ, базовая математика, вариант теста 4750066

https://mathb-ege.sdamgia.ru/test?id=4750066&nt=True&pub=False

Для обобщения нового материала и повторения пройденного выполним задания из базовой математики ЕГЭ на сайте РешуЕГЭ.

Студенты фронтально с объяснениями решают задания варианта.

Рефлексия

ОК 4. Осуществлять поиск, анализ и оценку информации, необходимой для постановки и решения профессиональных задач, профессионального и личностного развития.

ОК 5. Использовать информационно-коммуникационные технологии для совершенствования профессиональной деятельности.

ОК 6. Работать в коллективе и команде, взаимодействовать с руководством, коллегами и социальными партнерами.

ОК 8. Самостоятельно определять задачи профессионального и личностного развития

Давайте вернемся к началу урока и вспомним все те формулы, которые мы исправляли или дополняли. Сможете ли вы сейчас исправить последние записи?

Дайте оценку собственной деятельности на уроке. Дайте оценку деятельности группы на уроке. Сформулируйте задачу дальнейшего самостоятельного

развития.

Домашнее задание:

Выполните по данной теме тест в yaklass.ru, перейдя по ссылке, указанной в домашнем задании в Дневник.ру