Презентация «Скалярное произведение векторов. Геометрия» (9 класс)

Скалярное произведение векторов геометрия 9 класс Подготовила Акчурина О.О.

Угол между векторами α <( ) = α   Пусть векторы и не являются сонаправленными.  

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90◦. Если векторы и сонаправленные, или один или оба вектора нулевые, то угол между векторами и равен 0◦. <( ) = 0◦   Если векторы и противоположно направленные, то угол между векторами и равен 180◦. <( ) = 180◦  

Пример 60◦   <( ) = 60◦ ; <( ) = 150◦ ; <( ) = 90◦ ; <( ) = 0◦; <( ) = 180◦ ; <( ) = 90◦.  

Скалярным произведением двух векторов называют произведение их длин на косинус угла между ними. α . = | | . | | . cosα  

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. Действительно. Если , то <( ) = 90◦, cos 90◦ = 0 и тогда . = 0. Обратно. Если . = 0 и векторы и - ненулевые, тогда cosα = 0 и <( ) = 90◦, т.е. .

Произведение . называют скалярным квадратом и обозначают ². ² = ||²

Найдите скалярное произведение векторов и если: Примеры Найдите скалярное произведение векторов и если: || = 2, ||= 5, <( ) = 60◦; || = 4, ||= 7, <( ) = 150◦; || = 9, ||= 8, <( ) = 90◦;  

Для решения задачи воспользуемся формулой: Решение Для решения задачи воспользуемся формулой: . = | | . | | . cosα . = 2. 5 . = 5. . = 4 . 7 . cos150◦ = 28 . cos( 180◦ - 30◦)= =28 . cos 30◦= 28 . = 14. . = 9. 8 . cos90◦ = 72 . 0 = 0.  

Пусть в прямоугольной системе координат даны векторы {x1,y1} и {x2,y2} Теорема В прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов и выражается формулой . = x1. x2 + y1 . y2  

Следствия: Следствия: Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда x1. x2 + y1 . y2 = 0 Косинус угла α между векторами и выражается формулой cosα =  

Найти скалярное произведение векторов Примеры Найти скалярное произведение векторов и , если: {3;4}; {5;2}; {-8;4}; {3;6} Найти косинус угла α между векторами {-2;3} и {3;4}.  

Для решения задачи воспользуемся формулой . = x1. x2 + y1 . y2 Решение Для решения задачи воспользуемся формулой . = x1. x2 + y1 . y2 . = 3.5 + 4.2= 15+8 =23 . = -8.3 + 4.6 = -24 + 24 = 0. 2. cosα = = = .  

Свойства скалярного произведения Для любых векторов и любого числа k верны соотношения: ²≥0, причем ²>0 при ; ∙ = ∙ ; (+)∙ = ∙ + ∙ ; (k∙ )∙ = k∙ (∙ ).  

Угол между векторами и равен 30⁰, Пример Угол между векторами и равен 30⁰, ||=| = 1. Вычислить скалярное произведение ( - 2 )( + ).  

( - 2 )( + ) = ² - 2 + - 2² = Решение ( - 2 )( + ) = ² - 2 + - 2² = = ² - - 2² = ||² - |∙cos30⁰ - 2||² = = 1-1∙1∙ - 2∙1= - -1= -(+1)