Урок по геометрии в 9 классе на тему «Скалярное произведение векторов в координатах»
Цели урока:
закрепить умение находить угол между векторами;
повторить понятие скалярного произведения и закрепить умение применять его при решении задач;
сформулировать и доказать теорему о скалярном произведении двух векторов в координатах и ее следствия;
познакомить учащихся со свойствами скалярного произведения векторов;
показать применение скалярного произведения векторов в координатах при решении задач.
I. Проверка домашней работы
Вспомним: очень важно правильно определить угол между векторами. Если векторы не имеют общей начальной точки, необходимо представить, какой угол бы образовался, если их переместить к общей начальной точке.
№ 1039. Решение:
Вспомним свойства квадрата:
Все углы квадрата прямые.
Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
|
а) |
У векторов АВ и АС общее начало, значит |
|
б) |
Вектор DA переместим в общую начальную точку А, получится вектор АК. Тогда |
|
в) |
У векторов ОА и ОВ общее начало, значит |
|
г) |
Вектор АО переместим в общую точку О, получится вектор ОС. Тогда |
|
д) |
У векторов ОА и ОС общее начало – точка О. Значит |
|
е) |
Переместим векторы АС и BD в общую начальную точку О. Тогда |
|
ж) |
Переместим вектор DB в общую точку А, получится вектор АМ. Тогда |
|
з) |
Векторы АО и ОС - сонаправленные. Значит |
=45.
.
.
.
.
.
.Выполните решение следующей задачи в тетради. К каждому случаю сделайте чертеж.
Дан квадрат ABCD, точка O пересечения диагоналей AC и BD. Найдите угол между векторами: 1) CD и CA, 2) AO и OА, 3) AD и ВD, 4) АO и СO, 5) AC и DВ.
II. Повторение (организуется в виде фронтального опроса)
|
Скалярным произведением двух векторов a⃗ и b⃗ называется произведение их длин (модулей этих векторов) на косинус угла между ними: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cosα. |
1. Если векторы сонаправлены, то a⃗ˆb⃗ =0°:
|
Так как косинус угла в 0 равен 1, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos 0=|a⃗|⋅|b⃗|⋅1=|a⃗|⋅|b⃗|. |
|
Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом: a⃗⋅a⃗ =|a⃗|⋅| a⃗|⋅cos 0=|a⃗|⋅| a⃗|⋅1=|a⃗|2= a⃗2. |
2. Если векторы противоположно направлены, то a⃗ˆb⃗ =180°:
|
Так как косинус угла в 180 равен (-1), то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos 180=|a⃗|⋅|b⃗|⋅(-1) = - |a⃗|⋅|b⃗|. |
3. Векторы называют перпендикулярными, если a⃗ˆb⃗ =90°:
|
Так как косинус угла в 90 равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0: a⃗⋅b⃗ =|a⃗|⋅|b⃗|⋅cos 90=0. |
4. Внимательно рассматриваются ситуации, когда векторы образуют тупой угол:
|
|
|
Так как косинус тупого угла отрицательный, то скалярное произведение таких векторов, которые образуют тупой угол, является отрицательным. |
Таблица значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса некоторых углов
Пример 1. Учащийся у доски
Решение:
Пример 2. Выполнить самостоятельно по вариантам в тетрадях
1 вариант (Ответ в первой задаче 
).
2 вариант (Ответ в первой задаче 
).
180.
III. Новый материал
1) Сформулируем и докажем центральную теорему урока
Теорема. Скалярное произведение векторов 
и 
выражается формулой
Доказательство.
1. При 
или 
теорема очевидна.
2. Пусть 
и 
– ненулевые векторы. Тогда по теореме косинусов
Перейдем в этой формуле к координатам.
Уточним, что теорема доказана для случая неколлинеарных векторов, в доказательстве был использован треугольник, теорема косинусов, поэтому случай коллинеарных векторов тоже рассмотрим, при этом учтем, что угол между коллинеарными векторами может быть равен 180° или 0°.
3. Пусть 
Подгоним это равенство под формулу, полученную при доказательстве теоремы.
Формула та же самая, если записать ее в координатах, то получим
4. Аналогично рассмотрим случай 
Вывод: 
для всех векторов и .
Сформулируем следствия из доказанной теоремы.
Следствие 1. Ненулевые векторы и перпендикулярны тогда и только тогда, когда 
.
Действительно, 
.
Следствие 2. Косинус угла между ненулевыми векторами и выражается формулой:
Действительно, 
3) Свойства скалярного произведения векторов
Рассмотрим свойства скалярного произведения векторов.
Для любых векторов 
и любого числа k справедливы соотношения:
1. 
, причем 
при 
.
Доказательство.
Но 
при 
.
2. 
(переместительный закон).
Доказательство (из определения).
3. 
(распределительный закон).
Доказательство.
Для доказательства используем метод координат.
, тогда
.
4. 
(сочетательный закон).
Доказательство.
, значит,
Замечание. Распределительный закон справедлив и в случае нескольких слагаемых, например,
.
IV Закрепление. Пример 1. Записать в тетрадь
Решение:
Пример 2. Выполнить самостоятельно по вариантам в тетрадях
1 вариант
2 вариант
Пример 3. Записать в тетрадь
Решение:
Пример 4. Выполнить самостоятельно по вариантам в тетрадях
1 вариант
2 вариант
Выводы:
Повторили понятие угла между векторами, понятие скалярного произведения.
Повторили, как определять угол между векторами, повторили, как вычислять скалярное произведение, если известны длины векторов и угол между ними.
Научились вычислять скалярное произведение в координатах, научились находить угол между векторами по их координатам.
Сформулировали и доказали теорему о скалярном произведении двух векторов в координатах и ее следствия.
Познакомились со свойствами скалярного произведения векторов.
Научились вычислять скалярное произведение векторов в координатах, научились вычислять угол между векторами.
Домашнее задание: № 1044(а, б, в), № 1048.
Использованные источники:
Атанасян Л. С. и др. Геометрия 7–9 классы.
