Теорема Виетта

Этап урока

Деятельность учителя

Деятельность учащихся

Формы организации взаимодействия на уроке, методическое обеспечение

Формируемые умения (УУД)

1. Организационный момент.

Проверка готовности детей к уроку, создание эмоционального настроя на урок. Проверка отсутвующих.

Подготовка рабочего места.

фронтальная

Личностные:

- формирование положительной мотивации к изучению нового

2. Актуализация знаний

Слайд 2-4

Слайд 5

Проверка по щелчку

Проверка домашнего задания

- У кого есть вопросы по домашнему заданию?

Если есть вопросы, переходят к обсуждению. Если вопросов нет, учитель сообщает алгоритм решения, ответы, происходит самопроверка домашнего задания.

- У каждого верно выполненного задания карандашом поставьте «+», если вы набрали 3 «+» поставьте себе «5», ели 2 «+» - «4», если 1 «+» - «3». Если у вас нет ни одного «+», нужно еще раз будет выполнить эти задания. Поднимите руки, у кого нет ни одного «+»

- Прежде, чем перейти к решению заданий, я попрошу каждого из вас в индивидуальных листах отметить свои цели на данном уроке.

Задание 1. Поставить в соответствие каждому квадратному уравнению рациональный способ решения.

На столах у учащихся карточка с заданием, выполняют самостоятельно, после чего начинается проверка и обсуждение

- Какой способ решения будет рациональным для 1 (2,3,4) уравнения?

- Каким еще способом можно было решить это уравнение?

- Какой рациональный способ решения остался для решения 5 уравнения (теорема Виета)?

Проверяют домашнее задание.

Ставят перед собой цели на урок, заполняют лист целей

Выполняют задание, отвечают на вопросы

Фронтальная

Индивидуальная

Познавательные:
- владение приёмами анализа и систематизации материала.

-самоконтроль

Коммуникативные:

– формирование логического мышления;
– формирование умения сотрудничать с учителем;

- воспитывать уважительное отношение к мнению других;

3. Сообщение темы урока, формулировка цели и задач

- Вам знакома эта теорема? (нет)

- Сформулируйте тему урока (теорема Виета)

- Запишите в тетрадях дату, классная работа, тему урока (учитель записывает на доске, учащиеся в тетрадях)

- Как вы думаете, какова цель нашего урока? (познакомиться с теоремой Виета и научиться применять ее на практике)

Совместное целеполагание. Учащиеся предлагают вариант формулировки темы и цели урока, который уточняется учителем.

Записывают в тетрадях тему урока

Фронтальная, индивидуальная

Регулятивные:

– формирование умения определять и формулировать тему, цели и задачи урока без помощи учителя;

4. Усвоение новых знаний.

Слайд 6-8

Проверка по щелчку

Слайд 9

Слайд 10

Мотивация

- Как вы думаете, почему именно 5 уравнение можно решить с помощью, пока для нас неизвестной, теоремы Виета?

- Как называется это квадратное уравнение? (приведенное)

- Почему?

- Какой вывод отсюда можно сделать? (теорему Виета используется для решения приведенного квадратного уравнения)

- Решая квадратные уравнения вы, вероятно, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах.

- От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

- Какова эта взаимосвязь?

- Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения? (из коэффициентов a, b, c)

-Давайте обозначим второй коэффициент приведенного квадратного уравнения буквой p, а свободный член буквой q, тогда приведенное квадратное уравнение примет вид

х² + px + q = 0

(записывает на доске)

- Предлагаю вам устно решить следующее приведенное квадратное уравнение

х²–2087х+2086=0.

(Вид коэффициентов вызывает у учащихся нежелание решать такое уравнение, а учитель называет корни этого уравнения сразу)

- Как вы думаете, почему это уравнение можно решить устно?

2 .Исследовательская работа.

- При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Сейчас мы проведём небольшое исследование, а результаты исследования занесём в таблицу.

Класс делится на группы. Каждая группа получает задание и проводит исследование.

- Для того чтобы провести исследование, вам понадобиться план исследования, рабочий лист, карточка с заданием 2.

На слайде вычерчена заготовка таблицы “Рабочий лист”. Первая группа при отчете называет данные только для первого уравнения из своего списка, вторая группа - только для второго уравнения из своего списка, третья – для третьего уравнения и т.д. После отчета всех групп на доске появляется заполненная таблица.

- Можем ли мы сделать предположение о связи между корнями приведенного квадратного уравнения и его коэффициентами?

х² + px + q = 0

х1+х2 = -р, х1•х2 =q

(учитель записывает на доске)

- Точно к такому же выводу в свое время пришел известный французский ученый Франсуа Виет, поэтому эта теорема носит его имя. Он первым стал обозначать буквами не только неизвестные, но и данные величины. Тем самым ему удалось внедрить в науку великую мысль о возможности выполнять алгебраические преобразования над символами, т. е. ввести понятие математической формулы. Этим он внес решающий вклад в создание буквенной алгебры.

3. Работа с учебником

- откройте учебник на стр.134 и прочитайте теорему. Доказательство этой теоремы рассмотрите дома.

- Вспомните, какая теорема называется обратной данной теореме? (Теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением – условие данной теоремы, называется теоремой, обратной данной).

- Выделите условие и заключение в теореме Виета.

- Попробуйте сформулировать обратную теорему.

- Прочитайте обратную теорему в учебнике на стр.135

- Данная теорема справедлива, хотя из курса геометрии нам известно, что не всегда из истинности прямой теоремы следует истинность обратной.

Отвечают на вопросы учителя, высказывают свое мнение

Учащиеся высказывают предположение о существовании особых свойств либо новой формулы корней приведенного квадратного уравнения. Ученики ставят проблемный вопрос:

“Существует ли связь между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения? Если существует, то какова эта связь?”

Выполняют задания, делают отчет.

Высказывают гипотезу о связи между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения

Записывают в тетради

Работают с учебником. Сравнивают собственные выводы с материалом учебника.

Высказывают свое мнение

Работают с учебником. Сравнивают собственные выводы с материалом учебника.

Фронтальная, индивидуальная, групповая.

Познавательные:

анализ объектов с целью выяснения их признаков; структурирование знаний; осознанное построение речевого высказывания;

работа с текстом

Регулятивные:

оценивание результатов деятельности, взаимоконтроль; определение целей этапов учебной деятельности в сотрудничестве с учителем.

Коммуникативные:

– формирование умений совместного решения проблемы;
– формирование умений работать в группе; воспитывать уважительное отношение к мнению других;
– формирование умения оформлять свои мысли в устной и письменной форме;

- формирование умения разговаривать на математическом языке;

- формирование логического мышления;

-формирование умения делать вывод.

Первичная проверка понимания.

Слайд 11

Слайд 12

Слайд 13

Слайд 14

- Как вы думаете, какой из этих теорем я пользовалась, когда готовилась к уроку приведенные квадратные уравнения для карточек?

- Верно, с помощью обратной теоремы по заданным корням можно составлять квадратные уравнения.

Пример1: составьте приведённое квадратное уравнение корнями которого являются числа 4 и 5 (х1+ х2=9=-р, р=-9, х1∙х2=20=q, следовательно уравнение имеет вид х2- 9х+20=0)

Задание №3 (работа в группах)

1.Выпишите на чистом листе три пары чисел, являющихся корнями квадратных уравнений, которые вы решали на этапе исследования.

2.Обменяйтесь этими листами с соседними группами.

3.По заданным корням составьте соответствующие им квадратные уравнения.

4.Дайте эти уравнения на проверку группе, которая готовила вам задание.

- Сделайте вывод

- Как вы считаете, какая теорема позволяет определять знаки корней квадратного уравнения (если эти корни существуют)?

- Верно, прямая теорема.

Задание №4 (работа в группах)

Не решая уравнение, определите знаки его корней:

1) х² + 45х – 364 = 0 – для первой группы;

2) х²+ 36х + 315 = 0 – для второй группы;

3) х² – 40х + 364 = 0 – для третьей группы;

4) х² – 30х + 250 = 0 – для четвертой группы.

-Сделайте вывод

Задание №5 (работа в группах)

Не применяя формулу корней, найдите второй корень уравнения, если известен первый:

1) х² + 26х – 315 = 0, х1 = 9 – для первой группы;

2) х² + 45х – 364 = 0, х1 = 7 – для второй группы;

3) х² – 42х + 315 = 0, х1 =7 – для третьей группы.

4) х² – 40х + 364 = 0, х1 =14 – для четвертой группы;

-Сделайте вывод

Выполняют задания. Осуществляется проверка правильности выполнения задания каждой группой.

Теорема, обратная т.Виета позволяет составлять уравнение по заданным корням

Теорема Виета позволяет определить знаки корней, не решая уравнения

С помощью теоремы Виета можно найти второй корень уравнения, если известен первый

Фронтальная, групповая

Познавательные:

- формирование системы знаний.

Регулятивные:

- поиск пути решения проблемы.

Коммуникативные:

- формирование умения излагать свои мысли в устной и письменной форме.

- формирование умения слушать и слышать других, быть готовым корректировать свою точку зрения.

- развитие взаимопомощи, взаимоконтроля;

- формирование умения разговаривать на математическом языке;

- формирование логического мышления;

-формирование умения делать вывод.

Первичное закрепление

Слайд 15

Слайд 16

Слайд 17

-Математиков всегда интересовал вопрос, как решить задачу более рациональным способом.

- Нельзя ли находить корни приведенного квадратного уравнения методом подбора?

- Какую теорему в этом случае будем использовать?

Образец (на доске)

Решить уравнение х² +10 х –24 = 0.

Решение:

х1+ х2=- 10,

х1 • х2 = -24;

по теореме, обратной данной, х1 = 2, х2 = -12.

Ответ: -12; 2

Задание №6 (индивидуальная работа)

Учащиеся самостоятельно находят методом подбора корни приведенного квадратного уравнения, причем, ученик решает уравнение, соответствующее его порядковому номеру. Ученик, справившийся с заданием, на доске под своим порядковым номером записывает букву. Если уравнения решены, верно, то получится словосочетание: отец математики

- Как вы думаете, можно ли применять теорему Виета к не приведенному квадратному уравнению?

Для нахождения корней приведенного квадратного уравнения методом подбора используется теорема, обратная данной.

Да, можно, так как любое не приведенное квадратное уравнение можно привести к приведённому.

индивидуальная

Познавательные:

- формирование системы знаний; владение приёмами отбора и систематизации материала;

- анализ, сравнение;

Регулятивные:

– формирование четких и последовательных действий в процессе работы.

Коммуникативные:

- воспитание уважительного отношения к мнению других;
– формирование умения оформлять свои мысли в устной и письменной форме.

7.Информация о домашнем задании, инструктаж о его выполнении.

Слайд 18

п.24 выучить теорему Виета и обратную ей, рассмотреть доказательства

Выучить доказательства и рассказать у доски (по желанию)

584, 586

Составьте, решите и оформите на формате А4 три задачи на применение теоремы Виета и три задачи на применение теоремы, обратной теореме Виета (дополнительное задание на карточке).

Докажите теорему Виета для квадратного уравнения вида ax² + bx + c = 0 (индивидуальное задание на карточке)

Запись домашнего задания

Разноуровневое задание

(на выбор)

8.Рефлексия (подведение итогов занятия)

Слайд

Организуется рефлексия и самооценка учениками деятельности на уроке.

- Какие цели ставили в начале урока?

- Достигли мы поставленных целей?

- Для чего нужна теорема Виета?

- А сейчас я попрошу каждого из вас вернуться к индивидуальным листкам, на которых вы в самом начале урока отмечали свои цели и отметить, достигли ли вы поставленных перед собой целей?

- Поднимите, пожалуйста, руки те, кто доволен своей работой на уроке, кто достиг поставленных перед собой целей?

- Кто понял новый материал и сможет выполнить самостоятельно домашнее задание?

- СПАСИБО ЗА УРОК!

Ребята отвечают на вопросы учителя, оценивают свою деятельность на уроке, ее результаты. Заполняют лист целей.

Фронтальная, индивидуальная

Регулятивные:

- оценка – выделение и осознание обучающимся того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить, осознание качества и уровня усвоения; оценка результатов работы.

Личностные:

самооценка на основе критерия успешности учебной деятельности.

Познавательные:умение строить речевое высказывание.

МОИ ЦЕЛИ НА УРОКЕ

Какую я цель выбрал

Достиг ли я своей цели

Ф.И.учащегося

Если да «+»

Если нет

«─»

1.Пообщаться с учителем

2.Пообщаться с товарищем

3.Показать свои знания

4.Получить новые знания

5.Научиться решать…

6.Подготовиться к контрольной работе

7.Получить удовлетворение от урока

8.Свои цели ( напишите какие)

МОИ ЦЕЛИ НА УРОКЕ

Какую я цель выбрал

Достиг ли я своей цели

Ф.И.учащегося

Если да «+»

Если нет

«─»

1.Пообщаться с учителем

2.Пообщаться с товарищем

3.Показать свои знания

4.Получить новые знания

5.Научиться решать…

6.Подготовиться к контрольной работе

7.Получить удовлетворение от урока

8.Свои цели ( напишите какие)

Задание 1

Поставить в соответствие каждому квадратному уравнению рациональный способ решения:

3х2 - 4х = 0 1. Нахождение дискриминанта D

4х2 - 12 = 0 2. Теорема Виета

2х2 + 3х + 1 = 0 3. Разложение на множители

3х2 -14х + 16 = 0 4. Перенос свободного члены

х2 + 7х + 12 = 0 5. Нахождение дискриминанта D1

Задание 1

Поставить в соответствие каждому квадратному уравнению рациональный способ решения:

3х2 - 4х = 0 1. Нахождение дискриминанта D

4х2 - 12 = 0 2. Теорема Виета

2х2 + 3х + 1 = 0 3. Разложение на множители

3х2 -14х + 16 = 0 4. Перенос свободного члены

х2 + 7х + 12 = 0 5. Нахождение дискриминанта D1

Задание 1

Поставить в соответствие каждому квадратному уравнению рациональный способ решения:

3х2 - 4х = 0 1. Нахождение дискриминанта D

4х2 - 12 = 0 2. Теорема Виета

2х2 + 3х + 1 = 0 3. Разложение на множители

3х2 -14х + 16 = 0 4. Перенос свободного члены

х2 + 7х + 12 = 0 5. Нахождение дискриминанта D1

Задание 1

Поставить в соответствие каждому квадратному уравнению рациональный способ решения:

3х2 - 4х = 0 1. Нахождение дискриминанта D

4х2 - 12 = 0 2. Теорема Виета

2х2 + 3х + 1 = 0 3. Разложение на множители

3х2 -14х + 16 = 0 4. Перенос свободного члены

х2 + 7х + 12 = 0 5. Нахождение дискриминанта D1

Задание 2

1 группа

1. х2 + 7х + 12 = 0

2. х2 -10х + 21 = 0

3. х2 -3х -10 = 0

2 группа

1. х2 +5х + 6 = 0

2. х2 - 9х + 20 = 0

3. х2 - 2х -15 = 0

3 группа

1. х2 +7х +10 = 0

2. х2 – 8х +15 = 0

3. х2 – х - 6 = 0

4 группа

1. х2 +8х + 15 = 0

2. х2 -7х + 10 = 0

3. х2 + х – 12 = 0

Задание 2

1 группа

1. х2 + 7х + 12 = 0

2. х2 -10х + 21 = 0

3. х2 -3х -10 = 0

2 группа

1. х2 +5х + 6 = 0

2. х2 - 9х + 20 = 0

3. х2 - 2х -15 = 0

3 группа

1. х2 +7х +10 = 0

2. х2 – 8х +15 = 0

3. х2 – х - 6 = 0

4 группа

1. х2 +8 х + 15 = 0

2. х2 -7х + 10 = 0

3. х2 + х – 12 = 0

Задание 2

1 группа

1. х2 + 7х + 12 = 0

2. х2 -10х + 21 = 0

3. х2 -3х -10 = 0

2 группа

1. х2 +5х + 6 = 0

2. х2 - 9х + 20 = 0

3. х2 - 2х -15 = 0

3 группа

1. х2 +7х +10 = 0

2. х2 – 8х +15 = 0

3. х2 – х - 6 = 0

4 группа

1. х2 +8 х + 15 = 0

2. х2 -7х + 10 = 0

3. х2 + х – 12 = 0

Задание 2

1 группа

1. х2 + 7х + 12 = 0

2. х2 -10х + 21 = 0

3. х2 -3х -10 = 0

2 группа

1. х2 +5х + 6 = 0

2. х2 - 9х + 20 = 0

3. х2 - 2х -15 = 0

3 группа

1. х2 +7х +10 = 0

2. х2 – 8х +15 = 0

3. х2 – х - 6 = 0

4 группа

1. х2 +8 х + 15 = 0

2. х2 -7х + 10 = 0

3. х2 + х – 12 = 0

Задание 2

1 группа

1. х2 + 7х + 12 = 0

2. х2 -10х + 21 = 0

3. х2 -3х -10 = 0

2 группа

1. х2 +5х + 6 = 0

2. х2 - 9х + 20 = 0

3. х2 - 2х -15 = 0

3 группа

1. х2 +7х +10 = 0

2. х2 – 8х +15 = 0

3. х2 – х - 6 = 0

4 группа

1. х2 +8 х + 15 = 0

2. х2 -7х + 10 = 0

3. х2 + х – 12 = 0

1

2

3

4

5

6

Приведенное квадратное уравнение

х2 + px + q = 0

Второй коэффициент

p

Свободный член

q

Корни

х1 и х2

Сумма корней

х1 + х2

Произведение корней

х1 · х2

1

2

3

4

5

6

Приведенное квадратное уравнение

х2 + px + q = 0

Второй коэффициент

p

Свободный член

q

Корни

х1 и х2

Сумма корней

х1 + х2

Произведение корней

х1 · х2

1

2

3

4

5

6

Приведенное квадратное уравнение

х2 + px + q = 0

Второй коэффициент

p

Свободный член

q

Корни

х1 и х2

Сумма корней

х1 + х2

Произведение корней

х1 · х2

х2 + 7х + 12 = 0

7

12

- 3 и - 4

- 7

12

х2 - 9х + 20 = 0

- 9

20

4 и 5

9

20

х2 – х - 6 = 0

- 1

- 6

- 2 и 3

1

- 6

х2 + х – 12 = 0

1

- 12

- 4 и 3

- 1

- 12

х2 + 7х + 10 = 0

х2 – х – 20 = 0

х2 + 6х – 7 = 0

х2 + 11х + 24 = 0

х2 + 17х + 70 = 0

х2 – 7х – 30 = 0

х2 - 2х - 15 = 0

х2 + 2х - 3 = 0

х2 +16х + 63 = 0

х2 – 8х – 20 = 0

х2 + 2х - 35 = 0

х2 + 7х - 18 = 0

х2 + 6х + 5 = 0

х2 +5х -14 = 0

-7

-3

-2

-1

1

2

5

10

м

ц

о

к

е

и

т

а

х2 + 7х + 10 = 0

х2 – х – 20 = 0

х2 + 6х – 7 = 0

х2 + 11х + 24 = 0

х2 + 17х + 70 = 0

х2 – 7х – 30 = 0

х2 -2х -15 = 0

х2 + 2х - 3 = 0

х2 +16х + 63 = 0

х2 – 8х – 20 = 0

х2 + 2х - 35 = 0

х2 + 7х - 18 = 0

х2 + 6х + 5 = 0

х2 +5х -14 = 0

-7

-3

-2

-1

1

2

5

10

м

ц

о

к

е

и

т

а