План-конспект урока алгебры в 8 классе на тему: «Теорема Виета»

Тема урока: Теорема Виета

Цели урока:

изучить теорему Виета и ей обратную, уметь применять при нахождении суммы и произведения корней приведенного квадратного уравнения, определении знаков корней уравнения, решении квадратных уравнений, при проверке правильности нахождения корней квадратных уравнений;

Развивать логическое мышление, навыки сравнения и анализа; развивать монологическую речь в ходе объяснений, обоснований выполняемых действий; развивать коммуникативные навыки; навыки самостоятельной работы

Воспитывать диалоговую культуру, любовь к предмету.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация, плакаты, листки взаимоопроса, таблицы, папки с уровненной самостоятельной работой (2 уровня) и домашней работой (3 уровня)

Ход урока:

Оргмомент

Приветствие, проверка присутствующих, готовности к уроку.

Актуализация знаний:

Учитель: Какую тему мы изучаем?

Какие вопросы, связанные с этой темой мы уже рассмотрели?

Что знаем о квадратных уравнениях?

Что умеем делать?

Сообщение темы и цели урока:

Учитель: Тема нашего урока «Теорема Виета». Ответы на какие вопросы вы хотели бы получить в связи с названной темой?

Ученики: - о чем теорема?

- почему изучается сейчас?

- как доказывается?

- где применяется?

Учитель записывает вопросы на доске

Учитель: на все эти вопросы мы постараемся ответить в течение сегодняшнего урока

Организация проверки знаний учащихся о квадратных уравнениях:

а)Взаимоопрос по листам взаимоопроса;

б)Устная работа:

1) х² + 4х – 7 = 0

2) 2х² + 6х = 6

3) 7х² - 14 = 0

4) х² + 5х – 1 = 0

5) 3х² - 5х + 19 = 0

6) х² – 13х = 0

Вопросы к классу:

Какие из данных уравнений являются полными квадратными уравнениями? (1,2,4,5)

Какие квадратные уравнения являются приведенными? (1,4,6)

Почему эти уравнения называются приведенными? (старший коэффициент а = 1)

Назовите неполные квадратные уравнения (3,6)

От чего зависит число корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)

Как найти дискриминант приведенного квадратного уравнения? (D = p² - 4q )

При каком значении q дискриминант приведенного квадратного уравнения положителен ( при q<0)

Имеют ли корни уравнения 1 и 4 ( Да, так как q<0)

Сообщение темы и цели урока

Учитель: Тема сегодняшнего урока «Теорема Виета»

Какие вопросы в связи с названной темой вы бы мне задали?

Ученики: О чем теорема?

Почему изучаем в теме квадратные уравнения?

Как доказывается?

Где применяется?

Всегда ли применима?

Учитель: На все ваши вопросы, я думаю, мы получим ответы в течение урока.

Итак, цель нашего урока: изучить теорему Виета и ей обратную, уметь применять при решении квадратных уравнений.

Мотивация изучения теоремы Виета

Учитель: Поверите ли вы мне, если я скажу, что уравнения, которые вы видите на плакате, можно решить устно, не выполняя громоздких вычислений (плакат с уравнениями на доске)

х2 – 2008х + 2007 = 0

2х2 – 2008х + 2006 = 0

2008х2 – 2007х - 1 = 0

Ученики: Мы не сможем решить устно эти уравнения, так как они имеют очень большие коэффициенты.

Учитель: Вот в этом нам и поможет теорема Виета.

Изучение теоремы Виета

Подготовительный этап

Учитель: Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероятно, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое-что «скрытое» для нас уже открылось.

Что же это?

Ученики: Наличие и отсутствие корней у квадратного уравнения зависит от знака дискриминанта, который составляется из коэффициентов этого уравнения. Корни уравнения можно находить по формуле, в которую входят коэффициенты квадратного уравнения.

Учитель: Как еще связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Вам интересно?

Ученики: Да, мы хотим устно научиться решать уравнения

Учитель: Хотите научиться так быстро устно находить корни уравнений? Для этого надо исследовать связи между корнями и коэффициентами квадратного уравнения. Чтобы раскрыть эти связи, полезно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений. Сегодня мы будем исследователями.

Девиз к нашей дальнейшей работе: «Большая часть великих идей современных математиков, если не все, получила свое начало в наблюдении» Дж. Сильвестр.

В поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности.

Дома у вас было задание: решить квадратные уравнение. На столах у вас лежат таблицы. Занесем результаты в таблицу: заполним столбцы, в которых указываются коэффициенты, корни каждого квадратного уравнения(ученики работают в парах).

(Таблица на слайде заполняется с помощью учащихся). Какие уравнения записаны в таблице? Давайте найдем сумму корней каждого уравнения и их произведение и запишем в таблицу. Сравним коэффициенты уравнений и, затем корни. Какие связи между корнями и коэффициентами вы заметили?

Попробуйте сформулировать свои выводы.

Ученики:

сумма корней приведенного квадратного уравнения равна -p, произведение корней равно q.

Если корни имеют одинаковые знаки, то q>0, если разные, то q<0

Учитель: Итак, вы получили те же выводы, что и французский ученый Франсуа Виет в 16 веке.

Виет Франсуа (1540-13.12. 1603) родился в городе Фонтене ле-Конт провинции Пуату, недалеко от знаменитой крепости Ла-Ро-шель. Получив юридическое образование, он с девятнадцати лет успешно занимался адвокатской практикой в родном городе. Как адвокат Виет пользовался у населения авторитетом и уважением. Он был широко образованным человеком. Знал астрономию и математику и все свободное время отдавал этим наукам.
Главной страстью Виета была математика. Он глубоко изучил сочинения классиков Архимеда и Диофанта, ближайших предшественников Кардано, Бомбелли, Стевина и других. Виета они не только восхищали, в них он видел большой изъян, заключающийся в трудности понимания из-за словесной символики: Почти все действия и знаки записывались словами, не было намека на те удобные, почти автоматические правила, которыми мы сейчас пользуемся.

Он не только ввел свое буквенное исчисление, но сделал принципиально новое открытий, поставив перед собой цель изучать не числа, а действия над ними. Такой способ записи позволил Виету сделать важные открытия при изучении общих свойств алгебраических уравнений. Не случайно за это Виета называют "отцом" алгебры, основоположником буквенной символики. 

Знаменитая теорема, устанавливающая связь коэффициентов многочлена с его корнями, была обнародована в 1591 году. Теперь она носит имя Виета, а сам автор формулировал ее так «Если В+D, умноженное на А, минус А в квадрате равно ВD, то А равно В и равно D».

Теорема Виета стала ныне самым знаменитым утверждением школьной алгебры. Теорема Виета достойна восхищения, тем более что ее можно обобщить на многочлены любой степени.

Этап усвоения теоремы

1)Теорема Виета: (демонстрируется слайд)

Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

2)Работа над структурой теоремы

Учитель: Прочитайте слова, выражающие условие теоремы( Что дано?)

Прочитайте слова, выражающие заключение теоремы (Что нужно доказать?)

Запишем условие и заключение теоремы математически (слайд)

3)Дано: х1 и х2 - корни уравнения х² + px + q = 0

Доказать: числа х1 и х2, p и q связаны равенствами

х1 + х2 = - p, х1 ∙ х2 = q.

4)Составление плана доказательства

Учитель: С чего начнем доказательство?

Ученики: Записать формулы корней приведенного квадратного уравнения.

Учитель: Что сделаем потом?

Ученики: Сложим корни.

Учитель: Что должны получить? Какие знания понадобятся?

Ученики: Должны получить – p, должны знать как сложить дроби с одинаковыми знаменателями.

Учитель: Что дальше?

Ученики: Умножим х1 на х2.

Учитель: Что должны получить?

Ученики: Должны получить q.

План доказательства (слайд)

Записать формулы для нахождения x₁и x₂;

Найти сумму корней: x₁+ x₂;

Найти произведение корней: x₁· x₂.

5)Доказательство теоремы ( на слайде )

6)Устные задания для усвоения формулировки теоремы(слайд)

1. Определите, верно ли сформулирована теорема: сумма корней квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. (ученики выбирают то, что по их мнению является ошибочным или недопустимым)

2. Повторите формулировку теоремы.

3. Для всех ли приведенных уравнений х1 + х2 = - p, х1 ∙ х2 = q.(Ученики должны запомнить, что для применения теоремы Виета приведенное уравнение должно иметь корни)

4.Сформулируйте теорему со словами "Если..., то..."

Что позволяет находить доказанная теорема?

Что должно быть известно до применения теоремы?

Можно ли найти сумму и произведение корней следующих уравнений

х² + 3х + 6 = 0

х² + 5 = 0

2х² – 7х + 5 = 0

7) Усвоение этапов доказательства (фронтально)

Учитель: Назовите этапы доказательства( С чего начинали? Что делали дальше? К чему пришли? Какие математические знания использовали при доказательстве?)

8) Задания на непосредственное применение теоремы.

Учитель:Теорема Виета дает возможность записать любое приведенное квадратное уравнение x² + px + q = 0 в виде x² - (х1+ х2)х + х1 ∙ х2 = 0

Как вы думаете какие задачи мы сможем решить с помощью доказанной теоремы?

Ученики: Сможем находить сумму и произведение корней приведенного квадратного уравнения.

Задание 1. У какого из заданных квадратных уравнений сумма корней равна -6, а произведение равно -11

х² - 6х + 11 = 0

х² + 6х - 11 = 0

х² + 6х + 11 = 0

х² - 11х - 6 = 0

х² + 11х - 6 = 0

Задание 2. Если х1 = -5 и х2 = -1 - корни уравнения 
х² + px +q = 0, то

1) p = -6, q = -5

2) p = 5, q = 6

3) p = 6, q = 5

4) p = -5, q = -6

5) p = 5, q = -6

6) p = -6, q = -5

Запишите это уравнение.

Задание 3. Сумма и произведение корней уравнения х² - 3х - 5 = 0 равны

х1 + х 2= -3, х1 ∙ х2 = -5

х1 + х 2= -5, х1 ∙ х2 = -3

х1 + х 2= 3, х1 ∙ х2 = -5

х1 + х 2= 5, х1 ∙ х2 = -3

Определите знаки корней уравнения.

Найти сумму и произведение корней уравнения

№573

а) в) у доски

г) д) самостоятельно с последующей проверкой (слайд)

Итог этапа усвоения: Что нового узнали? Что научились делать? Какова последовательность действий при применении теоремы Виета?

Схема решения: 1) Проверить, имеет ли уравнение корни (найти D).

2) Выяснить, приведенное это уравнение или нет. Если нет – сделать его приведенным.

3) Воспользоваться формулами х1 + х 2 = - p, х1 ∙ х2 = q.

Теорему Виета тебе

Я запомнить легко помогу

Сумма корней минус p

Произведение q

Этап перехода к обратной теореме

Для каждого уравнения укажите, если это возможно сумму и произведение корней 1) х² – 2х – 8 = 0 2) х² + 7х + 12 = 0 3) y² – 8y – 9 = 0

Попытайтесь подобрать два числа так, чтобы выполнялись получившиеся равенства

Проверьте, будут ли полученные числа корнями данного уравнения

Учитель: Итак, как мы подобрали два числа

Ученики: Так что их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение – свободному члену

Учитель: Что мы проверили?

Ученики: Проверили, что эти числа являются корнями уравнения

Учитель: Какой можно сделать вывод?

Ученики: Можно подбором находить корни уравнения, используя равенства х1 + х 2 = - p, х1 ∙ х2 = q.

Учитель формулирует теорему, обратную теореме Виета (слайд)

№576(а,б)

Учитель: Прямую и обратную теоремы можно объединить в одну используя слова « тогда и только тогда» (слайд)

Закрепление знаний и способов действий

Выполняется дифференцированная самостоятельная работа ( 2 уровня)

Этап обобщения теоремы

Учитель: Можно применить теорему Виета для неприведенного уравнения?

Что для этого нужно сделать? (вспомним как поступили при решении №573д)

Ученики: Нужно разделить обе части уравнения на первый коэффициент и рассмотреть полученное приведенное уравнение.

Учитель: Верно. Попробуем сделать это в общем виде (слайд)

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета.

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни — и дробь уж готова?

В числителе с, в знаменателе а

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда!

В числителе в , в знаменателе а.

Подведение итогов урока (слайд)

Применение теоремы

Проверяем, правильно ли найдены корни уравнения

Определяем знаки корней уравнения не решая его

Устно находим корни приведенного квадратного уравнения

Составляем квадратное уравнение с заданными корнями

Постановка домашнего задания

Каждый учащийся получает листок с 3-х уровневым домашним заданием.

Приложения: презентация, листок взаимоопроса, таблица для исследовательской работы, самостоятельная работа на 2 уровня, листок с домашним заданием.

 

Приложение №1

Лист взаимоопроса

Какое уравнение называется квадратным?

Какое квадратное уравнение называется приведенным?

Запишите общий вид приведенного квадратного уравнения.

Что показывает дискриминант квадратного уравнения?

Как найти дискриминант квадратного уравнения?

Запишите формулу корней квадратного уравнения?

Как найти дискриминант приведенного квадратного уравнения?

Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения?

Замените полное квадратное уравнение ах2 + вх + с = 0приведенным, равносильным ему.

Задание: Решить уравнения и заполнить таблицу

Приложение №2

СР. Теорема Виета

Вариант А1

Для уравнения, имеющего корни х1 и х2, найдите их сумму и произведение:

а) х² - 3х -10 = 0, б) х² +10х +21 = 0,

х1 + х2 =_______, х1 + х2 =____­­­­­­___,

х1 ∙ х2 =______. х1 ∙ х2 =______.

Ученикам было предложено найти подбором корни уравнения

х² - 8х + 15 = 0. Выберите верный ответ.

Составьте квадратное уравнение, имеющее корни 1 - и 1 + .

х1 + х2=__________________________________________________

х1 ∙ х2=___________________________________________________

_________________________________________________________

Запишите обратную теорему Виета для данного уравнения

х² - х - 20 = 0 и найдите его корни.

Приложение №3

Домашнее задание:

1 уровень:

Не решая уравнения х2 - 7х + 9 = 0, запишите сумму и произведение его корней х1 и х2.

Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета (сложите найденные корни и перемножьте их, результаты сравните с коэффициентами уравнения):

а) х2 - 3х + 2 = 0,

б) х2 + 7х + 12 = 0,

в) х2 - 4х - 5 = 0.

2 уровень:

1. В уравнении х2 - 12х + с = 0, один из корней х1=5. Зная, что х1+ х2=12 и х1 · х2=с, найдите с.

2. В уравнении х2 +рх + 15 = 0, один из корней х1=3. Зная, что х1+ х2= -р и х1 · х2=15, найдите р.

3. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета (сложите найденные корни и перемножьте их, результаты сравните с коэффициентами уравнения):

а) х2 - 9х + 8 = 0,

б) х2 + 12х + 20 = 0,

в) х2 - 4х - 21 = 0.

уровень:

1. В уравнении х2 + рх - 12 = 0, один из корней х1=4. Найдите коэффициент р и другой корень уравнения.

2. В уравнении 5х2 +8х + с = 0 разность корней равна 0,4. Найдите с.

3. Найдите подбором корни уравнений и сделайте проверку:

а) х2 - 11х + 24 = 0,

б) х2 + 10х + 24 = 0,

в) х2 - 5х - 14 = 0.