Урок алгебры в 8 классе «Определение квадратного уравнения. Полные и неполные квадратные уравнения, способы их решения. Теорема Виета»

ёУправление образования администрации г.Шахтёрска

МОУ «ШАХТЁРСКАЯ СШ ПОСЁЛОК САДОВОЕ»

Методическая разработка урока алгебры в 8 классе по теме

«Определение квадратного уравнения. Полные и неполные квадратные уравнения, способы их решения. Теорема Виета»

Задачи урока:

Обучающие (формирование познавательных УУД):

Ознакомление учащихся с видами квадратных уравнений, их определением и способами решения; формулой корней квадратного уравнения и теоремой Виета.

Развивающие (формирование регулятивных УУД):

Развитие приёмов умственной деятельности, памяти, внимания, умения сопоставлять, анализировать, обобщать изучаемые факты, выделять и сравнивать существенные признаки, характерные для каждого метода решения уравнений.

Воспитательные (формирование личностных УУД):

Стимулирование учеников к самооценке образовательной деятельности;
воспитание настойчивости в достижении цели и заинтересованности в конечном результате труда.

Воспитание познавательного интереса и любви к предмету.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация «Квадратные уравнения», опорные схемы.

Ход урока

Эпиграф урока:

«Большинство жизненных задач решается

как алгебраические уравнения:

приведением их к самому простому виду»

Л.Н.Толстой

1. Вступительное слово учителя

Психологическая установка учащимся:

Начинаю урок с притчи: «Жил мудрец, который знал все. Один человек захотел доказать, что мудрец знает не все. Зажав в ладонях бабочку, он спросил: «Скажи, мудрец, какая бабочка у меня в руках: мертвая или живая?» А сам думает: «Скажет живая – я ее умерщвлю, скажет мертвая – выпущу». Мудрец, подумав, ответил: «Все в твоих руках».

В наших руках сегодня создать такую атмосферу на уроке, при которой все будут чувствовать себя комфортно.

Ну, а девиз нашего урока, подскажет слово - «урок».

     Давайте разложим по буквам это слово:

                                   У – успех, удача

                                   Р – радость

                                   О – общение, отметка

                                   К – компетенция

    Надеюсь, что сегодня на уроке нас ждет успех и радость, и вы сможете продемонстрировать свою одаренность и компетентность.

А о чем сегодня на уроке пойдет речь?

Неизвестное X, неизвестное Y,

Их можно в равенствах повстречать.

И это, ребята, скажу вам, не игры,

Здесь нужно решенье всерьез отыскать.

С неизвестными равенства, без сомнения,

Называем, ребята, мы как?...

Ответ: Уравнения

2. Актуализация опорных знаний учащихся

1. Что называется уравнением?

(Уравнением называется равенство, которое содержит переменную (неизвестное)).

2. Что называется корнем уравнения?

(Корнем уравнения с одной переменной называется значение переменной, которое превращает уравнение в верное числовое равенство)

3. Какие виды уравнений вы умеете решать?

(Мы умеем решать линейные; дробно-рациональные уравнения; уравнения, имеющие квадратный корень в условии).

А сегодня мы начинаем изучать тему «Квадратные уравнения». Обращаю ваше внимание на то, что квадратные уравнения – это фундаментальное понятие алгебры. Они находят широкое применение при решении тригонометрических, логарифмических, показательных уравнений и неравенств (с уравнениями этих типов вы познакомитесь в старших классах). На уроке мы познакомимся с видами квадратных уравнений, формулой корней полного квадратного уравнения, свойствами коэффициентов квадратного уравнения и теоремой Виета. Как видите, объем информации достаточно большой, поэтому настраиваемся на производительный труд.

Перед вами сегодня на уроке стоят следующие цели:

- выучить определение квадратного уравнения;

- научиться определять по виду уравнения – является ли оно квадратным или нет;

- научиться определять вид квадратного уравнения (полное или неполное);

- научиться выбирать нужный алгоритм решения неполного квадратного уравнения;

- научиться решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения и по теореме, обратной т. Виета.

Запишите в тетради число, тему урока и отметьте на полях смайликом, с каким настроением вы пришли сегодня на урок.

3. Восприятие и осознание нового материала

Учитель. Квадратным уравнением называют уравнение вида:

ах2 + bх + с = 0, где х – переменная, а, b, с – данные числа, причем а ≠ 0.

Числа а, b, с – коэффициенты уравнения:

а – первый коэффициент, b – второй, с – свободный член.

- А только иксом мы можем обозначать переменную? (Нет)

- Кто сможет записать на доске общий вид квадратного уравнения, где переменная будет обозначена другой буквой?

- Какое выражение стоит в левой части уравнения? (Сумма)

- Какие преобразования можно делать с суммой, и при этом не изменится ее значение? (Переставлять местами слагаемые)

- Кто тогда сможет написать на доске, как может выглядеть квадратное уравнение иначе? (с + ax2 + bx = 0, и т.д.)

- Вы убедились, что квадратное уравнение можно записать по-разному, но в общем виде оно выглядит только так: ax2 + bx + c = 0 и никак иначе. Почему? Просто так удобнее – ведь в алфавите буквы располагаются так: a, b, c, d ...

- На следующем слайде представлено несколько уравнений. Назовите коэффициенты в этих уравнениях и попробуйте разделить их на две группы по какому-либо признаку:

1) 3х2 – 5х + 1 = 0, 4) 7х2 – 13 = 0

2) –х2 = 0 5) –х2 – 8х = 0,

3) 2х + 2х2 – 4 = 0, 6) –10 + 3х + х2 = 0.

Обратите внимание на уравнения под номерами 2,4,5. Чем они отличаются от других уравнений?

Если в уравнении ах2 + bх + с = 0 хотя бы один из коэффициентов b или с равен нулю, то такое квадратное уравнение называют неполным.

Виды неполных квадратных уравнений (опорная схема):

1) b = 0, с = 0                              2) с = 0

ах2 = 0;                                           ах2 + bх = 0;

х2 = 0;                                             х (ах + b) = 0;

х = 0.                                               х1 = 0 или ах + b = 0,                                                                                                                 ах = – b,       х2 =

3) b = 0

ах2 + с = 0;         ах2 = – с;              х2 =

Если ˃ 0, то уравнение имеет два корня х1,2 = ± ;

Если = 0, то уравнение имеет 1 корень х = 0;

Если ˂ 0, то уравнение действительных решений не имеет.

Решение неполных квадратных уравнений

Решить уравнение:

а) 5х2 = 0                    б) 3х2 – 12 = 0                       в) 3х2 + 5х = 0.

Решение:

а) 5х2 = 0                  х2 = 0;               х = 0.

Ответ: 0.

б) 3х2 – 12 = 0           3х2 = 12;           х2 = 4             х1 = –2, х2 = 2.

Ответ: –2, 2.

в) 3х2 + 15х = 0                    3х (х + 5) = 0

                                           3х = 0 или х + 5 = 0

                                           х1 = 0 х2 = –5

Ответ: 0; –5

Динамическая пауза (гимнастика для глаз) под веселую музыку:

Горизонтальные движения глаз: направо – налево.

Движение глазными яблоками вверх – вниз.

Круговые движения глазами: по часовой стрелке и в обратном направлении.

Интенсивные сжимания и разжимание глаз в быстром темпе.

Движение глаз по диагонали: скосить глаза в левый нижний угол, затем перевести взгляд вверх. Аналогично в противоположном направлении.

Возведение глаз к носу: для этого поставьте палец к переносице и посмотрите на него.

Частое моргание глазами.

Решение полных квадратных уравнений

Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:

• не имеют корней;

• имеют ровно один корень;

• имеют два различных корня.

В этом заключается важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень, если существует – единственный. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь – дискриминант.

Пусть дано квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант – это число D = b2 – 4ac.

Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется – мы узнаем об этом на следующем уроке, а сейчас важно понять: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:

- Если D < 0, корней не существует;

- Если D = 0, уравнение имеет один корень;

- Если D > 0, корней будет два.

Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Посмотрите на примеры – и сами все поймете!

Задание. Сколько корней имеют квадратные уравнения:

1) х2 –8x + 12 = 0; 2) 5x2 + 3x + 7 = 0 3) х2 –6x + 9 = 0?

Решение:

Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:

a = 1, b = – 8, c = 12;

D = (–8) 2 – 4 • 1 • 12 = 64 – 48 = 16 > 0

Дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня.

Аналогично разбираем второе уравнение:

a = 5; b = 3; c = 7;

D = 32 – 4 · 5 · 7 = 9 – 140 = –131˂ 0

Дискриминант отрицательный, корней нет.

Осталось последнее уравнение:

a = 1; b = – 6; c = 9;

D = (–6) 2 – 4 · 1 · 9 = 36 – 36 = 0.

Дискриминант равен нулю – корень будет один.

Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это скучно – зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество. Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений – в общем, не так и много.

Корни квадратного уравнения

Теперь перейдем, собственно, к нахождению корней квадратных уравнений. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формуле:  х1,2 = .

Когда D = 0, можно найти корень по формуле:  х = .

Наконец, если D < 0, корней нет – ничего считать не надо.

Задание. Решить квадратные уравнения:

1) х2 – 2x – 3 = 0;              2) –15 + 2x – x2 = 0             3) x2 + 12x + 36 = 0.

Решение:

1) х2 –2x – 3 = 0

a = 1; b = –2; c = 3;

D = (–2) 2 – 4 · 1 · (–3) = 16 > 0 ⇒ уравнение имеет два корня.

Найдем их: х1,2 =

Ответ: –1; 3.

2) –15 + 2x – x2 = 0                         –х2 + 2х – 15 = 0

a = –1; b = 2; c = –15;

D = 22 – 4 • (–1) • (–15) = –56 ˂ 0 ⇒ уравнение не имеет корней.

Ответ: корней нет.

3) x2 + 12x + 36 = 0

a = 1; b = 12; c = 36;

D = 122 – 4 · 1 · 36 = 0 ⇒ уравнение имеет один корень

х =

Ответ: –6.

Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг – и очень скоро избавитесь от ошибок.

Динамическая пауза. Из букв слова «дискриминант» составить другие слова (диск, искра, кран, крот, обмен и т.д.).

Приведенное квадратное уравнение

В математике существуют специальные приемы, при помощи которых многие квадратные уравнения решаются очень быстро и без всяких дискриминантов. Более того, при должной тренировке, многие ребята начинают решать квадратные уравнения устно, буквально «с первого взгляда».

Большое значение имеет в математике теорема, устанавливающая связь между корнями уравнения и его коэффициентами. Ее открыл «отец современной алгебры» французский математик Франсуа Виет, который особенно гордился своим открытием. Так что же это за теорема такая? Сначала введем новое определение.

Квадратное уравнение вида x2 + bx + c = 0 называется приведенным.

Обратите внимание: коэффициент при x2 равен 1. Никаких других ограничений на коэффициенты не налагается.

Примеры:

х2 + 7x + 12 = 0 – это приведенное квадратное уравнение;

2x2 – 6x + 8 = 0 – а вот это не приведенное, поскольку коэффициент при x2 = 2.

Разумеется, любое квадратное уравнение вида ax2 + bx + c = 0 можно сделать приведенным – достаточно разделить все коэффициенты на число a. Мы всегда можем так поступить, поскольку из определения квадратного уравнения следует, что a ≠ 0. Правда, далеко не всегда эти преобразования будут полезны для отыскания корней. Чуть ниже мы убедимся, что делать это надо только тогда, когда в итоговом приведенном квадратном уравнении все коэффициенты будут целыми числами. А пока рассмотрим простые примеры.

Задание. Преобразовать данное квадратное уравнение в приведенное:

3x2 – 12x + 18 = 0;

– 4x2 + 32x + 16 = 0;

1,5 x2 + 7,5 x + 3 = 0;

2x2 + 7x – 11 = 0.

Решение:

Разделим каждое уравнение на коэффициент при переменной x2. Получим:

3x2 – 12x + 18 = 0 ⇒ x2 – 4x + 6 = 0 – разделили на 3;

–4x2 + 32x + 16 = 0 ⇒ x2 – 8x – 4 = 0 – разделили на –4;

1,5 x2 + 7,5 x + 3 = 0 ⇒ x2 + 5x + 2 = 0 – разделили на 1,5; все коэффициенты стали целыми числами;

2x2 + 7x – 11 = 0 ⇒ x2 + 3,5 x – 5,5 = 0–разделили на 2; при этом возникли дробные коэффициенты.

Как видите, полученные квадратные уравнения могут иметь целые коэффициенты даже в том случае, когда исходное уравнение содержало дробные.

Теперь сформулируем основную теорему, для которой, собственно, и вводилось понятие приведенного квадратного уравнения:

Теорема Виета.

Рассмотрим приведенное квадратное уравнение вида x2 + рx + q = 0. Предположим, что это уравнение имеет действительные корни x1 и x2. В этом случае верны следующие утверждения:

х1 + x2 = –p – сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком;

x1x2 = q – произведение корней приведенного квадратного уравнения равно свободному члену.

Запишем формулировку: Если приведенное квадратное уравнение имеет два корня, то их сумма равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней – свободному члену.

Примеры:

Для простоты будем рассматривать только приведенные квадратные уравнения, не требующие дополнительных преобразований:

Задание. Найти сумму и произведение корней уравнения:

1) х2 – 15x + 14 = 0;               2) x2 + 8x + 7 = 0                    3) x2 + 9x – 20 = 0.

решение:

Выясним, имеет ли данное уравнение корни, вычислив дискриминант:

1) D = (–15) 2 – 4 · 1 · 14 = 225 – 56 ˃ 0.

Следовательно, уравнение имеет два корня: х1 и х2.

По т. Виета: х1 + x2 = 15; x1 · x2 = 14.

2) D = 82 – 4 · 1 · 7 ˃ 0;

х1 + x2 = – 8; x1 · x2 = 7.

3) D = 92 – 4 · 1 · (–20) ˃ 0;

х1 + x2 = – 9; x1 · x2 = –20.

Задание. Решить данное квадратное уравнение (найти корни методом подбора):

На помощь нам придет теорема, обратная т. Виета:

Если числа х1 и х2 такие, что х1 + x2 = – b и x1 · x2 = с, то эти числа являются корнями приведенного квадратного уравнения x2 + bx + с = 0.

Попробуем «угадать» корни:

Выделим основные этапы рассуждений при решении приведенного квадратного уравнения с помощью теоремы, обратной к т. Виета:

Записать утверждение в виде системы (*)

Определить знаки корней уравнения (если произведение и сумма корней – положительные, то оба корня – положительные числа. Если произведение корней – положительное число, а сумма корней – отрицательное, то оба корня–отрицательные числа. Если произведение корней отрицательное число, то корни имеют разные знаки. При этом, если сумма корней положительная, то большим по модулю корнем является положительное число, а если сумма корней меньше нуля, то больший по модулю корень –отрицательное число)

Подобрать пары целых чисел, произведение которых дает верное первое равенство в системе (*)

Из найденных пар чисел выбрать ту пару, которая при подстановке во второе равенство в записи (*) даст верное равенство;

Указать в ответе найденные корни уравнения.

Если в течение нескольких секунд не получилось угадать корни, решайте уравнение через дискриминант!

Применение теоремы Виета

В. В. Маяковский говорил: «Если звезды зажигают, значит, это кому-нибудь нужно».

Зачем же нужна теорема Виета?

С ее помощью можно:

Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его;

Установить, являются ли данные числа корнями уравнения;

Зная один из корней, найти другой;

Подобрать корни уравнения, не тратя время на решение,

Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами, корни которого – заданные числа.

Давайте заполним вместе пустые ячейки в данной таблице:

По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова:
В числителе с, в знаменателе а,
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь эта, что за беда –
В числителе b, в знаменателе а.

4. Закрепление изученного (тест):

1)Какое уравнение можно отнести к виду x2 = а?

2)Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки?

3)Какое уравнение можно решить, представив левую часть в виде квадрата суммы двучлена?

4)В каком уравнении надо применять общую формулу корней?

5)Какое уравнение удобно решить по теореме Виета?

6)В каком уравнении второй коэффициент равен 0?

7)Какое уравнение не является квадратным?

1) x2 = 64 О

5) x2 + 5x + 4 = 0 Ч

3) x2 + 10x + 25 = 0 Л

6) 3x2 – 18 = 0 Н

4) 2x2 – 11x + 5 = 0 И

7) x2 + 2x = x2 + 6 О

2) 7x2 + 14x = 0 Т

Ключ к тесту: ОТЛИЧНО

5. Подведение итогов. Рефлексия.

Учитель. Математика – это история, история развития человеческой мысли, интеллекта. А когда люди научились решать квадратные уравнения? Ответ на этот вопрос вас ждет на следующем уроке, а еще некоторые свойства коэффициентов квадратного уравнения для устного нахождения корней уравнения, знакомство с уравнениями, сводящимися к квадратным и еще много интересного, которое я оставлю в тайне.

Давайте подведем итог сегодняшнего урока.

Метод «Цветок усвоения»

Ученики прикрепляют на доске лепестки цветка:

Зеленые – все понятно,

Синие – почти все понятно,

Желтые – понятно наполовину,

Оранжевые – немного понятно,

Красные – ничего не понятно.

6.Задание на дом:

прочитать пп.21,22,24(учебник под. ред.С.АТеляковского);

выполнить №№ 515(б),517(б),534(б),583(б) – задания основного уровня;

доп.545(б),585.

презентация к уроку алгебры "Квадратные уравнения"
PPTX / 1.81 Мб