Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.

Урок

Тема: Угол между векторами. Скалярное произведение векторов.

Цель урока: ввести понятие угла между векторами и скалярного произведения векторов, выучить формулу скалярного произведения в координатах.

Задачи урока: показать применение скалярного произведения векторов при решении задач.

Ход урока

1. Организационный момент

2. Активизация опорных знаний

Проверка домашней работы

Задание 1.

Задание 2. Устные упражнения.

Решение задач с целью подготовить обучающихся к восприятию нового материала. Фронтальная работа с классом: отвечает один из обучающихся, остальные при необходимости дополняют.

Даны векторы в пространстве (рис. 2).

Дано: А (-3; -2; 4), В (-4; 3; 2). Найти .

3. Изучение нового материала

Какие операции можно выполнять с числами? Числа можно складывать, вычитать, умножать, делить и сравнивать друг с другом. И так как скаляр не самое стандартное, но все таки число, с ним можно проделывать те же операции. 

Давайте вспомним следующие определения:

Система координат — способ определить положение и перемещение точки или тела с помощью чисел или других символов.

Координаты — это совокупность чисел, которые определяют положение какого-либо объекта на прямой, плоскости, поверхности или в пространстве. Как найти координаты точки мы рассказали в этой статье.

Скаляр — это величина, которая полностью определяется в любой координатной системе одним числом или функцией.

Вектор — направленный отрезок прямой, для которого указано, какая точка является началом, а какая — концом.

Угол между векторами

Пусть нам даны два вектора . Чтобы найти угол между ними, выберем произвольную точку О и отложим от неё векторы и , равные данным. Полученный угол АОВ будет являться углом между векторами .

Угол между векторами не зависит от выбора точки, от которой откладываются данные векторы.

Самое главное то, что угол между векторами и может принимать значения от 0° до 180° градусов включительно.

Для обозначения угла между векторами используют специальное обозначение: .

Два вектора всегда образуют угол.

Угол между векторами может принимать значения от 0о до180^о включительно.

Если векторы не параллельны, то их можно расположить на пересекающихся прямых.

Векторы могут образовать:

1. Острый угол;

2. Тупой угол;

Рис. 5

Прямой угол (векторы перпендикулярны).

Два вектора называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90.

, т.к. .

Так как косинус прямого угла равен 0, то скалярное произведение перпендикулярных векторов равно 0.

Если векторы расположены на параллельных прямых, то они могут образовать:

Угол величиной 0^о(векторы сонаправлены);

 Если векторы сонаправлены, в частности один из них или оба вектора – нулевые, то угол между ними равен 0:

если , то ,

если =, то .

Вывод: Если один из векторов или оба вектора нулевые, то угол между ними будет равен 0°.

Так как косинус угла в 0° равен единице, то скалярное произведение сонаправленных векторов является произведением их длин. Если два вектора равны, то такое скалярное произведение называют скалярным квадратом.

Угол величиной 180о (векторы противоположно направлены).

Рис. 6

Так как косинус угла в 180° равен - 1, то скалярное произведение противоположно направленных векторов равно отрицательному произведению их длин.

На рисунке изображено несколько векторов. Назовите значение углов между векторами:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Скалярное произведение векторов

Мы с вами знаем, как выполнять сложение и вычитание векторов, умножение вектора на число. Введём ещё одно действие над векторами – скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение — это операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр, то есть число, которое не зависит от выбора системы координат.

Запомним! При умножении вектор на вектор получается число. Если длины векторов ,— это числа, косинус угла — число, то их произведение тоже будет числом.

Определение скалярного произведения можно сформулировать двумя способами:

Скалярное произведение двух векторов a и b дает в результате скалярную величину, которая равна сумме попарного произведения координат векторов a и b.

Геометрическая интерпретация.

Скалярным произведением двух векторов a и b будет скалярная величина, равная произведению модулей этих векторов, умноженная на косинус угла между ними:

Алгебраическая интерпретация.

Что важно запомнить про геометрическую интерпретацию скалярного произведения:

Если угол между векторами острый и векторы ненулевые, то скалярное произведение положительно, то есть cosα > 0. 

Если угол между векторами тупой и векторы ненулевые, то скалярное произведение отрицательно, так как cosα < 0.

Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение равно 0 так как , то есть cosα = 0.

Не забываем, что результат скалярного произведения векторов является числом (в отличие от результата рассмотренных ранее действий с векторами — сложения, вычитания и умножения на число - в таких случаях результатом был вектор).

При умножении вектора на вектор получается число, так как длины векторов — это числа, косинус угла — число, соответственно, их произведение также будет являться числом.

4. Закрепление теоретических знаний учащихся

Правила для скалярного произведения векторов

Математический диктант

Впишите в предложение пропущенный текст

1. Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет _______числом (так как косинус острого угла — _______ число).

Ответ: Если угол между векторами острый, то скалярное произведение будет положительным числом (так как косинус острого угла — положительное число).

2. Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен ___, а косинус равен ___, скалярное произведение также будет _______.

Ответ: Если векторы сонаправлены, то угол между ними будет равен 00, а косинус равен 1, скалярное произведение также будет положительным.

3. Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет ____(так как косинус тупого угла — ______ число).

Ответ: Если угол между векторами тупой, то скалярное произведение будет отрицательным (так как косинус тупого угла — отрицательное число).

4. Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен_____. Скалярное произведение также ______, так как косинус этого угла равен _____.

Ответ: Если векторы направлены противоположно, то угол между ними будет равен 180о. Скалярное произведение также отрицательно, так как косинус этого угла равен −1.

Справедливы и обратные утверждения:

1. Если скалярное произведение векторов — положительное число, то угол между данными векторами острый.

2. Если скалярное произведение векторов — отрицательное число, то угол между данными векторами тупой.

Обратите внимание!

3. Если угол между векторами прямой, то скалярное произведение векторов равно нулю, так как косинус прямого угла равен 0.

Обратное суждение: если скалярное произведение векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.

Вектор, умноженный на самого себя, будет числом, которое называется скалярным квадратом вектора.

Вычисление скалярного произведения можно произвести через координаты векторов в заданной плоскости или в пространстве.

Скалярным произведением двух векторов на плоскости или в трехмерном пространстве в прямоугольной системе координат называется сумма произведений соответствующих координат векторов , .

Вывод:

Косинус угла α между ненулевыми векторами вычисляется по формуле:

В самом деле, так как

5. Закрепление материала. Формирование умений и навыков обучающихся.

Одним из универсальных приемов решения геометрических задач является метод координат. Кроме этого, часто (особенно при доказательстве различных неравенств) используется векторный метод.

Если требуется вычислить расстояние или угол, то надо применять скалярное умножение векторов.

При введении векторов можно идти двумя путями: а) выбрать точку, от которой откладываются известные векторы; б) векторы изображать направленными отрезками, связанными с рассматриваемыми в задаче фигурами, не откладывая их от одной точки.

Если задача планиметрическая, то целесообразно выделить два неколлинеарных вектора в качестве базисных и остальные векторы выразить через них; если же задача стереометрическая, то в качестве базиса следует выбрать три некомпланарных вектора. При этом введение начальной точки необязательно.

В ряде случаев, например, при решении задач на многогранные углы, вычисления упрощаются, если ввести единичные векторы, отложенные от вершины многогранного угла. Примеры задач, решаемых векторным методом.

Задание 1.

Вычислите скалярное произведение двух векторов, если их длины равны 3 и 7 единиц соответственно, а угол между ними равен 60 градусам.

Решение:

У нас есть все данные, чтобы вычислить скалярное произведение по определению:

= 3 * 7 cos60° = 3 * 7 * 1/2 = 21/2 = 10,5.

Ответ: 10,5.

Задание 2.

Задание 3.

​​​​​​​

6. За рамками урока

Дополнительные задания

Задание 4.

Задание 5.

7. Подведение итогов

Сегодня мы рассмотрели понятия угла между векторами, скалярного произведения векторов. Вывели формулу для вычисления скалярного произведения векторов в координатах, а также усвоили, что скалярное произведение перпендикулярных векторов равно «0», и если скалярное произведение векторов равно «0», то векторы перпендикулярны.

Скалярное произведение векторов встречается и в физике.

Работа постоянной силы при перемещении тела из точки К в точку М равна произведению длин векторов силы и перемещения на косинус угла между ними, то есть работа силы равна скалярному произведению векторов силы и перемещения.

A =

A =

8. Домашнее задание

Учебник

Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия. Геометрия. 10-11 классы: учеб. для общеобразоват. организаций: базовый и углубл. уровни / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. 2016г.

А) Выучить п. 50, 51 стр.112

Б) Решить № 441 (в - з), № 443 (б, в)