Урок геометрии "Теорема Пифагора"

План-конспект урока по геометрии в 8 классе «Теорема Пифагора»

Автор: Туртаева Сауле Юрьевна

Предмет: геометрия.

Класс: 8 класс.

Тема: «Теорема Пифагора».

Тип урока: урок открытия новых знаний, умений и навыков.

Цель урока: Познакомить учащихся с теоремой Пифагора, научить применять её для решения задач, развивать логическое мышление, интерес к геометрии и умение работать в команде.

Задачи:

1. Актуализировать опорный материал (определение, структура, свойства формула площади);

2. Сформулировать проблемную задачу, как средство «неустранимого» противоречия между потребностью решить задачу и отсутствием для этого необходимых знаний;

3. Кратко изложить историческую справку о жизнеописании видного алгебраиста Пифагора Самосского;

4. Организовать практическую работу исследовательского характера, позволяющую на деятельном уровне установить взаимосвязи между сторонами прямоугольного треугольника;

5. Сформулировать и доказать теорему Пифагора;

6. Показать систему ключевых задач с использованием теоремы Пифагора;

7. Научить применять теорему для решения ключевых задач;

8. Показать практическую значимость теоремы Пифагора

Формы работы учащихся: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.

Методы и приемы: фронтальная работа, сочетающаяся с обще-классной; частично-поисковый метод; индивидуальная работа, работа парами и группами. Технологии ТРКМ и ТРИЗ

Материалы и оборудование:
- Учебник по геометрии.
- Модель прямоугольного треугольника для наглядного доказательства.
- Линейки, карандаши, тетради.
- Интерактивная доска или проектор (для демонстрации доказательства).
- Листы бумаги с изображением треугольников для групповой работы.

ФОРМИРУЕМЫЕ УУД:

Личностные: обучающиеся учатся замечать и признавать свои ошибки, прислушиваться к мнениям одноклассников, анализировать, овладевать историческими и математическими знаниями и умениями, навыками их применения в реальной жизни, осознавать ценности исторических и математических знаний как важнейшего компонента научной картины мира, рефлексия.

Коммуникативные: обучающиеся приобретают умения организовать сотрудничество с партнёром, осуществлять оценку действий партнера, умение с достаточной полнотой и точностью выражать свои мысли.

Регулятивные: осознание учениками качества и уровня усвоения пройденного материала. Оценивают умение сотрудничать с учителем и одноклассниками.

Познавательные: обучающиеся устанавливают причинно-следственные связи между объектами, осуществляют подведение под понятие, проводят сравнение, классификацию объектов, выбирают наиболее эффективный способов решения задач.

ПЛАНИРУЕМЫЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Метапредметные: обучающиеся научатся чувствовать красоту формул и теорем, развивать интерес к истории математических открытий.

Личностные: обучающиеся обретут умение грамотно излагать свои мысли, анализировать, сравнивать. Научаться самостоятельно приобретать новые знания и практические умения, управлять своей познавательной деятельностью. Обретут положительную динамику активности и находчивости при решении поставленных задач, умении работать в коллективе.

Предметные: обучающиеся концептуально разберут содержание «теоремы Пифагора», обретут знания, как найти неизвестную сторону прямоугольного треугольника при ее помощи.

Ожидаемые результаты:
- Учащиеся понимают формулировку и доказательство теоремы Пифагора.
- Умеют применять теорему для решения задач.
- Развивают навыки работы в команде и творческого мышления.
- Проявляют интерес к изучению геометрии.

Ход урока

Мотивационно-организационный этап

- Учитель: Добрый день! Располагайтесь поудобнее, начинаем наш урок.

- Учитель: Давным-давно, в Древней Греции, жил человек. Он был не только математиком, но и философом, мистиком и даже основателем тайного общества. Говорят, что он так ценил свою теорему, что принес в жертву 100 быков, когда открыл её. Предлагаю решить ребус и отгадать имя этого математика.

- Учитель: -Слышали о таком ученом? Знаете о его открытиях? Давайте познакомимся с ним поближе.

Задание: прочитайте текст и создайте для Пифагора страницу в ВК (прием «Смысловое чтение»)

Актуализация опорных знаний

- Учитель: Перед тем, как начать новую тему, нам необходимо «размяться» и повторить теоретический материал:

1) Какой треугольник называется прямоугольным?

2) Как называются стороны прямоугольного треугольника?

3) Какими свойствами обладает прямоугольный треугольник?

4) Как найти площадь прямоугольного треугольника?

5) Интерактивное задание: На доске изображены несколько треугольников. Учащиеся должны выбрать прямоугольные и назвать их элементы (катеты, гипотенуза)

Учитель: какая геометрическая фигура сегодня должна стать объектом вашего внимания?

Ученики: Прямоугольный треугольник.

Создание проблемной ситуации

- Учитель: В доме начался пожар на втором этаже. Пожарные приставили лестницу к окну на втором этаже. Какой длины должна быть лестница, чтобы потушить пожар в квартире. Если лестница установлена от стены дома на расстоянии 1,2 м, а окно находится на высоте 3,5 м.

Учитель: предложите идею решения задачи. (Ответы учеников).

Учитель: возможно ли однозначно, на теоретическом уровне, с математической точностью ответить на поставленный в условие задачи вопрос?

Ученики: нет.

Учитель: в чем причина?

Ученики: недостаточность знаний.

Учитель: помочь выйти из данной ситуации, расширить свои знания нам поможет одна из немногих теорем геометрии, которую помнят все поколения. Должны знать ее и вы – теорема Пифагора, которая позволяет находить неизвестную сторону прямоугольного треугольника по двум известным сторонам.

Сообщение темы и целей урока.

Учитель: давайте сформулируем тему урока?

Ученики: «Теорема Пифагора».

Учитель: а какова цель нашего урока? (Ответы обучающихся)

Учитель: верно, цель урока (я добавлю): изучить теорему Пифагора и рассмотреть способы решения типовых задач.

Учитель: запишите тему урока.

Учитель: эпиграфом к нашему уроку послужат слова немецкого астронома Иоганна Кеплера: «Геометрия владеет двумя великими сокровищами. Первое – это теорема Пифагора, которую можно сравнить с мерой золота».

Практическая работа исследовательского характера

Учитель: Ребята, хотели ли вы попробовать себя в роли ученого?

Ученики: Да.

Учитель: тогда предлагаю выполнить исследовательскую поисковую работу в парах: на каждой парте лежат модели прямоугольных треугольников. Произведите измерения катетов и гипотенузы. Результаты занести в таблицу 1.

Таблица 1. Экспериментальная матрица (до проведения практической работы)

Комментарий: после выполненных измерений у обучающихся должны получится следующие данные – прямоугольные треугольники с катетами 12 см и 5 см, гипотенузой 13 см; 6 см и 8 см, гипотенузой 10 см; 9 см и 12 см, гипотенузой 15 см.

Таблица 2. Экспериментальная матрица (после проведения практической работы)

Учитель: ребята, посмотрите внимательно на таблицу. Видна ли связь между длинами катетов и гипотенузой в прямоугольных треугольниках. (обучающиеся выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются).

Учитель: Я выслушал ваши гипотезы, но для того, чтобы ответить есть ли среди них правильные давайте заполним таблицу 3. С этой целью, найдите квадраты катетов и гипотенузы.

Таблица 3. Матрица квадратов сторон прямоугольных треугольников

Учитель: а сейчас, кто желает сформулировать зависимость между длинами катетов и гипотенузы в прямоугольном треугольнике? (школьники выдвигают свои гипотезы, которые обсуждаются)

Учитель: поздравляю вас с открытием теоремы Пифагора!

Учитель: давайте запишем формулировку теоремы в тетрадь: «В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов его катетов».

Выполним чертеж и запишем равенство, выражающие теорему Пифагора.

Доказательство теоремы Пифагора

Учитель: А знаете, почему греки обогнали в математике все другие народы? Потому что греки умели спорить! Они не просто заучивали правила. А разыскивали причины. Давайте и мы с вами порассуждаем, поспорим и докажем теорему Пифагора в современной ее интерпретации. (Учитель с обучающимися фронтальным образом доказывают теорему) (рис 4.)

Доказательство:

1. Достроим прямоугольный треугольник до квадрата со стороной

2. Согласно признаку равенства прямоугольных треугольников, образовавшиеся в углах квадрата треугольники равны (по двум катетам).

3. Четырехугольник, лежащий на гипотенузе – квадрат (признак квадрата: если в четырехугольнике все стороны равны и один из углов 90 °, то это квадрат)

Рисунок 4. Иллюстрация к доказательству теоремы 1.

Воспользуемся свойством площади и формулами: (площади квадрата, сокращенного умножения):

Учитель: на данный момент в научной литературе зафиксировано более 200 доказательств теоремы Пифагора. Теорема Пифагора является единственной теоремой со столь внушительным числом доказательств. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии. Я советую вам обратиться к ресурсам Интернета и узнать очень много интересного и о теореме Пифагора, и о ее истории.

Закрепление материала

Учитель: Давайте вспомним задачу, которую мы не смогли решить в начале урока

Вспомогательные вопросы:

Как использовать теорему, для её вычисления?

Какие стороны треугольника были известны?

Какую сторону необходимо было найти?

Учитель: Как вы думаете, какую сторону можно ещё найти по теореме Пифагора? Какие типы задач решают с помощью теоремы Пифагора?

Ученики: с помощью теоремы можно находить длину катетов и гипотенузы.

Учитель: теорема Пифагора позволяет установить следующие соотношения, применяемые при решении задач:

a² = c² – b²

b² = c² – a²

c² = a² + b²

Учитель: запишите формулы в тетрадь.

Обратите внимание на алгоритм нахождения неизвестной стороны прямоугольного треугольника.

1. Указать прямоугольный треугольник;

2. Записать для него теорему Пифагора;

3. Выразить неизвестную сторону через две другие;

4. Подставить известные значения и вычислить неизвестную сторону

Учитель: для закрепления поработаем в группах (групповая работа). Каждой группе предлагается решить задачи в рабочих листах.

Учитель: интересно, как и где может применяться теорема Пифагора? Как Вы думаете? Давайте подумаем, поразмышляем …..

Прием: «Мозговой штурм»

Учащиеся обсуждают направления, ситуации. Высказывают предположения. Задача учителя незримо направлять размышления в нужный контекст. Если ученики затрудняются с ответами продолжить повествование самостоятельно..

Примерные варианты:

В спорте…

Когда биатлонист стреляет по мишени, он делает «поправку на ветер». Если ветер дует справа, а спортсмен стреляет по прямой, то пуля уйдёт влево. Чтобы попасть в цель, надо сдвинуть прицел вправо на расстояние смещения пули. Для них составлены специальные таблицы (на основе следствий из т. Пифагора). Биатлонист знает, на какой угол смещать прицел при известной скорости ветра.

2.) Сотовая телефонная связь..

Все понимают, что сейчас мобильный телефон очень важный атрибут жизни современного человека. Каждому абоненту важна качественная сотовая связь. А качество зависит от высоты антенны мобильного оператора. Чтобы рассчитать, в каком радиусе можно принимать передачу, задействуем теорему Пифагора.

3.) В астрономии..

Явление звёздной аберрации, открытое в 1729 году, заключается в том, что все звёзды на небесной сфере описывают эллипсы. Большая полуось этих эллипсов наблюдается с Земли под углом, равным 20,5 градуса. Такой угол связан с движением Земли вокруг Солнца со скоростью 29,8 км в час. Чтобы с движущейся Земли наблюдать звезду, необходимо наклонить трубу телескопа вперёд по движению звезды, так как пока свет проходит длину телескопа, окуляр вместе с землёй перемещается вперёд. Сложение скоростей света и Земли производится векторно, используя т. Пифагора U2=C2+V2

Рефлексия

Ну вот и подошел к концу наш урок. Мы сегодня познакомились с таким великим ученным как Пифагор. Познакомились с одним из его открытий (теоремой Пифагора). Изучили ее доказательство. Нашли о обсудили области ее практического применения в нашей жизни. Выразите свое мнение о сегодняшнем занятии в форме синквейна

Домашнее задание

К следующему уроку я предлагаю вам выполнить разноуровневое домашнее задание

Учитель: Я благодарю вас за работу! Желаю успехов!