Урок по математике на тему «Расстояние между скрещивающимися прямыми» (10 класс)

МОУ «Рудногорская средняя общеобразовательная школа»

Урок в 10 классе по теме: «Расстояние между скрещивающимися прямыми»

Класс: 10 А

Учитель математики

Чибышева

Ирина Андреевна

2015

 

“Вдохновение нужно в геометрии не меньше, чем в поэзии”.

А. С. Пушкин

Тип урока: урок - семинар

Учебное пособие: Погорелов Геометрия 7-9. Учебник для 7-9 классов средней школы. М.: Просвещение, 2012

Цели урока:

• отработать применение теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния между скрещивающимися прямыми,
• формировать умения анализировать, выдвигать гипотезы и предположения, строить доказательства, переносить знания в новые ситуации при решении исследовательских задач и задач опережающего обучения;
• тренировать пространственное воображение;
• создать условия для развития уверенности в себе, самостоятельности мышления,
• готовность работать над чем-либо спорным и вызывающим беспокойство, способность принимать решения, способность слушать других людей и принимать во внимание то, что они говорят, воспитывать стремление к приобретению новых знаний, интерес к предмету.

Оборудование:

• оборудование для применения ИКТ (проектор, экран и компьютер и т.п.).

• презентация Power Point.

• Раздаточный материал в виде готовых чертежей , оценочного листа (для проведения самооценивания в конце урока).

Время урока: 2 урока по 45 минут.

Технологическая карта урока:

1.Организационный момент. Вступительное слово учителя (формирует тему семинара, объясняет цель и задачи семинара, значимость выносимых для обсуждения задач). 5 мин.

2. Актуализация опорных знаний по теме семинара

(разноуровневая работа) (10 минут)

3. Устная работа в группах по основным задачам «мозговой штурм» ( 15 минут)

4. Групповая работа по решению задач (30 минут)

4. Обсуждение итогов работы в группах (15 минут)

5. Обсуждение задач, предложенных в качестве домашнего задания (8 минут)

6. Подведение итогов урока, рефлексия (7 минут)

Ход урока:

1.Введение в урок

Учитель: Приветствую Вас на обобщающем уроке по теме «Расстояние между скрещивающимися прямыми». Запишите, пожалуйста, в тетради сегодняшнее число и тему занятия. Сегодня у вас на партах лежат листы самооценки. Вам необходимо оценить свои знания на каждом этапе урока. Желательно это сделать более объективнее, так как по данным листам я организую индивидуальные консультации.

Как вы считаете, для того, чтобы вы смогли решить на ЕГЭ задание №15 (геометрическая задача по стереометрии), что нам сегодня необходимо повторить? (учащиеся высказывают предположения и пожелания, но лучше бы все это учителю услышать на предыдущем уроке, чтобы приготовиться к данному уроку)

Учитель: Основная цель нашего урока – это отработка применения ваших теоретических знаний, связанных с нахождением расстояния между скрещивающимися прямыми различными методами

II. Актуализация теоретических знаний учащихся.

Устная работа по вопросам (слайд 2)

– Какие прямые называются скрещивающимися?

- Какие признаки скрещивающихся прямых вы знаете?

– Скажите , что называется расстоянием между скрещивающимися прямыми?

– Как можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми, не используя на прямую определение?

– Как, используя проекции, можно найти величину угла между скрещивающимися прямыми?

(слайд 3) Согласны ли вы, что скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях. Если «да», то как построить эти параллельные плоскости?

(слайд 4) Согласны ли вы, что через точку Р, не лежащую на данных параллельных плоскостях, проходит прямая, и притом, единственная, пересекающая обе скрещивающиеся прямые. Если «да», то как построить эту прямую?

(слайд 5) Согласны ли вы, что у всяких двух скрещивающихся прямых имеется один общий перпендикуляр. Если «да», то как построить этот перпендикуляр?

(слайд 6) Согласны ли вы если одна из двух скрещивающихся прямых лежит в некоторой плоскости, а другая прямая параллельна этой плоскости, то длина перпендикуляра, опущенного из любой точки второй прямой на эту плоскость есть расстояние между скрещивающимися прямыми. Если «да», то зависит ли расстояние между скрещивающимися прямыми от выбора точки А?

Учитель – Как можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми, не используя на прямую определение? (выслушиваем высказывания учащихся0 Далее учитель или наиболее хорошо подготовленный ученик делает вывод:

(слайд 6, 7, 8,9, 10, 11) Основные способы решения задач на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми

1. Нахождение длины общего перпендикуляра двух скрещивающихся прямых, т.е. отрезка с концами на этих прямых и перпендикулярного каждой из этих прямых.

2. Нахождение расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

3. Нахождение расстояния между двумя параллельными плоскостями, проходящими через заданные скрещивающиеся прямые.

4. метод проекций

III. Устная работа по решению «базовых» задач по готовым чертежам.

Учитель: А теперь примените-ка ваши теоретические знания на практике. В каждой задаче нужно найти расстояние между скрещивающимися прямыми..

Задача №1. (слайд 12)

Задача 2. (слайд 13)

В прямоугольном параллелепипеде с размерами a, b, h найти расстояние между боковым ребром и не пересекающейся с ним диагональю основания.

. Ответ:

Задача 3. (слайд 14)

В прямоугольном параллелепипеде с размерами a,b и h найти расстояние между боковым ребром и не пересекающейся с ним диагональю параллелепипеда.

Задача 4. (слайд 15) В правильной 4-угольной пирамиде с боковым ребром L и стороной основания a найти расстояние между апофемой и стороной основания, пересекающей боковую грань, содержащую эту апофему.

Ответ:

Решение уже указанной выше задачи данным способом особых трудностей не вызывает. Можно решить ее и способом нахождения расстояния от одной из скрещивающихся прямых до параллельной ей плоскости, проходящей через другую прямую.

Задача 5. (слайд 16) В прямой призме в основании лежит разносторонний треугольник со сторонами a, b, c. Найдите расстояние между боковым ребром призмы и скрещивающимся с ним ребром основания длины c.

Групповая работа. Учащимся предлагаются задачи для решения в группах.

Задача 6. (слайд 17) В правильной шестиугольной призме A:F1 c высотой h и стороной основания a найти расстояние между прямыми: (3 балла)

а) AA1 и ED1. . . Ответ:

б) AF1 и диагональю BE1 Ответ:

Задача 7. (слайд 18) В кубе с ребром а найти расстояние между двумя непересекающимися диагоналями двух смежных граней АD1 и DC1. (5 баллов)

Данная задача рассматривается как ключевая в некоторых пособиях, ее решение является необходимым при решении задач по подготовке к ГИА

Ответ:

Задача №8. (слайд 19) В единичном кубе ABCDA1B1C1D1 найдите расстояние между прямыми BA1 и DB1. (6 баллов)

(слайд 20) Решение. Через середину диагонали куба DB1 (точку O) проведем прямую, параллельную прямой A1B. Точки пересечения данной прямой с ребрами BC и A1D1 обозначаем соответственно N и M. Прямая MN лежит в плоскости MNB1 и параллельна прямой A1B, которая в этой плоскости не лежит. Это означает, что прямая A1B параллельна плоскости MNB1 по признаку параллельности прямой и плоскости (

Искомое расстояние между скрещивающимися прямыми равно расстоянию от любой точки выделенной прямой до изображенной плоскости

Ищем теперь расстояние от какой-нибудь точки прямой A1B до плоскости MNB1. Это расстояние по определению будет являться искомым расстоянием между скрещивающимися прямыми Ответ:

Задача №9. (слайд 21)

Найдите расстояние между апофемой и скрещивающейся с ней стороной основания правильного тетраэдра, все ребра которого равны а (5 баллов)

Ответ: а√2

√11

Задача №10. (слайд 22)

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник ACM, если точка M принадлежит прямой B1D1? (5 баллов)

Задача №11. (слайд 23)

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно a. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник BDT, если точка T принадлежит прямой A1C? Найдите эту площадь.

(5 баллов)

ТЕСТ (слайд 24)

Могут ли скрещивающиеся прямые пересекаться ?

Могут ли скрещивающиеся прямые лежать в одной плоскости ?

Скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях?

Геометрическим местом точек середин отрезков с концами на двух

скрещивающихся прямых является:

а) прямая? б) плоскость?

Через точку вне данной прямой в пространстве можно провести одну прямую,

скрещивающуюся с исходной прямой?

Через точку вне данной прямой в пространстве можно провести бесконечно много прямых, скрещивающихся с исходной прямой?

Можно ли построить общий перпендикуляр к двум скрещивающимся прямым?

Можно ли определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми?

Является ли длина общего перпендикуляра к двум скрещивающимся прямым

расстоянием между ними?

Можно ли определить расстояние между двумя скрещивающимися прямыми без построения их общего перпендикуляра?

 

V. Домашнее задание(слайд 25, 26) (необходимо дать время записать в дневник)

Уровень «А»

Дан куб

1.Докажите, что прямые АС и B1D1 скрещивающиеся.

2. Пусть дана точка М, не лежащая ни на одной из скрещивающихся прямых и лежащая в плоскости А1В1С1D1. Можно ли построить прямую, проходящую через эту точку и пересекающую обе скрещивающиеся прямые?

3.Постройте общий перпендикуляр для прямых АС и B1D1.

4. Каково расстояние между прямыми АС и В1D1 , если ребро куба равно а?

Уровень «В»

Задача №1.

Концы отрезка АВ лежат на окружностях оснований цилиндра. Радиус оснований цилиндра равен 5 см, его высота равна 8 см, найти расстояние между прямой АВ и осью цилиндра , если АВ = 10 см.

Задача №2

Найти расстояние между скрещивающимися высотами граней правильного тетраэдра.

VI. Подведение итогов. Рефлексия (слайд 27, 28)

Учитель (слайд 27 с основными моментами урока): Я рада, что вы все работали хорошо. А теперь вспомните основные моменты нашего урока.

– Каким образом можно находить расстояние между скрещивающимися прямыми?

– Чему равно расстояние между диагональю куба и скрещивающийся с ней диагональю грани куба?

– Чему равно расстояние между скрещивающимися диагоналями смежных граней куба?

– Чему еще вы научились во время занятия? (Учащиеся отвечают)

Учитель: Сегодня за работу на уроке получают оценки…, (сдайте листы самооценки)

Не забудьте про смайлик.

Карточка самоанализа по теме “Расстояние между скрещивающимися прямыми ”

ФИ___________________________________________________________