Урок по математике на тему «Показательные уравнения» (11 класс)

Дисциплина – « Математика»

Тема: « Показательные уравнения »

Цели урока:

Образовательные: познакомить студентов с определением показательного уравнения и основными методами решения простейших показательных уравнений; формировать умения и навыки правильно определять и применять эти методы при решении конкретных показательных уравнений.

Развивающие: применять сформированные знания, умения и навыки в конкретных ситуациях; развивать логическое мышление, математическую речь, самостоятельную деятельность студентов, умения анализировать, обобщать, делать выводы, умозаключения.

Воспитательные: формировать познавательный интерес к дисциплине; воспитывать культуру общения, умение работать в коллективе, взаимопомощи, воспитывать навыки самостоятельности и саморазвития, взаимоконтроля.

Методическая цель открытого урока: показать методику проведения урока математики с помощью мультимедийных технологий.

Тип урока: комбинированный.

Методы обучения.

показательно - иллюстративные с применением мультимедийных технологий: словесный, практический, контролирующий.

Формы организации деятельности студентов: фронтальная, групповая, индивидуальная.

Междисциплинарные связи: физика, биология, химия, экономика, геодезия.

Оборудование и технические средства обучения:

ноутбук, мультимедийный проектор, экран, планшеты, электронная версия сборника задач по математике Н.В. Богомолова, презентации к уроку

«Показательные уравнения», «Применение показательной функции в других науках», листы с высказываниями ученых, раздаточный материал: карточки для лото, тестовые задания, карточки с домашним заданием.

Продолжительность урока: 90 мин.

План урока:

Организационный момент (2 мин.)

Актуализация знаний (20 мин.)

Формирование новых знаний ( 30 мин.)

Первичное закрепление (35 мин.)

Итог урока, выставление оценок ( 2 мин.)

Домашнее задание ( 1 мин.)

 

Ход урока

Организационный момент.

Приветствие. Проверка присутствующих и готовности группы к занятию. Информация об особенностях урока.

Актуализация опорных знаний.

Игра «Математическое лото», в ходе которой повторяются свойства степени. Решив задания, студенты зачеркивают те клетки в карточках, числа в которых являются, по их мнению, ответами на задания. В карточке для игры останутся три не зачеркнутых числа. Группа, первая выполнившая верно задания, объявляется победителем игры. Устно объясняют ход решения и какие свойства применяли.

 

Задания для математического лото:

Найти значение выражений

1. (30 - )- 1 ( ответ: 1,25)

2. ( 7 + 2-3)0 (ответ: 8)

3. (ответ: 1/3)

4. (ответ: 9)

5. (ответ: 1)

 

Карточка для лото
 

 

Не зачеркнутые числа: 2,-3,1/9.

Устный фронтальный опрос по теме: «Показательная функция и ее свойства».

Дайте определение показательной функции?( Ответ: функция вида у = ах, где а называется показательной)

•  

2.Какие из перечисленных ниже функций являются показательными?

3.Назовите основные свойства показательной функции?

(ответ: Область определения- множество действительных чисе; область значений- множество положительных чисел; при а функция возрастает, при 0 функция убывает.)

4.Выберите возрастающие функции:

1)у=4х 6) у=(2) -Х

2)у=()Х 7)у=(Х

3)у=3Х 8)у= 0,9Х

4)у=(0,1)Х 9) у=(Х

5)у=() - Х 10) у=()Х

(Ответ: 1,3,5,9)

5. Укажите область значений функции у= (ответ: (-1; )

6. Из предложенных функций выберите ту, график которой изображён на рисунке.

(Ответ: )

Укажите вид графика для функции у = и у =

 

 

 

(Ответ: у= – график в, у=- график а.)

8. Какая из функций будет ближе располагаться к оси ОУ?

1) у=3х 2) у=4х 3) у=5х 4) у=10х

(Ответ: у=10х)

Сообщение студентки: «Применение показательной функции в других науках» (презентация).

 

3. Формирование новых знаний.

Постановка проблемной ситуации.

Обратить внимание студентов на высказывания об уравнениях.

“Уравнения – это золотой ключ, открывающий все математические сезамы”. С.Коваль.

«Уравнения будут существовать вечно» А.Эйнштейн.

Уравнения для меня важнее, потому что политика - для настоящего, а уравнения - для вечности. А.Эйнштейн.

Вопросы студентам.

1) Что называется уравнением?

Равенство, содержащее неизвестную переменную, называют уравнением.

2) Что значит решить уравнение?

Решить уравнение - означает найти все его корни или установить, что их нет.

3) Какие из данных уравнений вы знаете? Назовите виды данных уравнений.

1) 2х+1=3х – 1

2) х2 = 9

3) 2х+2 = 64

4) х3 + х + 1 = 0

5) 3х +1 - 2 3х = 9

6) 2х4 + х2 – 1 = 0

7) 9х - 43х – 45 = 0

-Уравнение 1) – линейное

- Уравнение 2) – квадратное

- Уравнение 4) – кубическое

- Уравнение 6) - биквадратное

4) Где стоит неизвестная переменная в уравнениях 2),4), 6), а в уравнениях 3), 5), 7)?

Неизвестная переменная в уравнениях 2),4), 6) стоит в основании степени, а 3), 5), 7) – в показателе степени.

Отсюда, сделаем вывод, что 3), 5), 7) относятся к группе... - показательных уравнений.

Откройте тетради. Запишите число и тему урока.

Вместе со студентами сформулировать цели урока.

 

Мотивация изучаемой темы.

Тема «Показательные уравнения» является важной темой в математике. Научившись решать такие уравнения, вы смело будете решать показательные неравенства.

Показательные уравнения встречаются в заданиях ЕГЭ по математике.

Показательные уравнения широко используются при решении химических и физических задач. В химии показательные уравнения используются при решении задач по кинетической химии на применение правила Вант - Гоффа.

 

Основная часть.

Определение: уравнение, которое содержит неизвестное в показателе степени, называют показательным уравнением.

Простейшее показательное уравнение имеет вид

Если b < 0, то уравнение не имеет решения.

Рассмотрим основные методы решения показательных уравнений

На конкретных примерах рассмотрим суть каждого метода.

Решение показательных уравнений основывается на свойствах показательной функции.

 

1. Приведение обеих частей уравнений к одному и тому же основанию.

Этот метод основан на следующей теореме:

Если a>0 и a ≠ 1, то уравнения af(x)=ag(x) и f(x)=g(x) равносильны.

Равенство показателей степени при равных основаниях обусловлено свойством показательной функции, а именно ее монотонностью. Это означает, что каждое свое значение функция приобретает при единственном значении аргумента.

3х = 27

каждую часть уравнения представим в виде степени с основанием 3

3х =33 31/2

3х = 33,5

Т.к. основания равны, то приравниваем и показатели

х=

Ответ: х=3,5

 

2. Замена переменной.

9х - 4

Т.к 9х =(32)х, тогда получим уравнение вида:

(32)х - 4- 45=0

Замена: 3х=у, у

у2 – 4у – 45 =0

D=196

у1 = -5(не удовл. условию у

у2 = 9

3х = 9

3х = 32

х=2

Ответ: х=2

 

3. Вынесение общего множителя за скобки.

3х+1 - 2

3х - 2

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем 3х

3х( 3-2)=9

3х

3х = 9

3х = 32

х=2

Ответ: х=2.

Далее каждая группа выбирает один из методов, и составляет для него алгоритм решения.

 

Первичное закрепление изученного материала.

М. В. Ломоносов говорил «Теория без практики мертва и бесплодна, практика без теории невозможна и пагубна. Для теории нужны знания, для практики сверх того, и умения».

И вот теперь вы должны проявить свои умения при решении различных показательных уравнений.

1) Определить метод решения показательных уравнений и решить их на доске. К доске выходят студенты решать эти уравнения.

2.3х-1 -3х + 3х+1 = 63

3.7 2х – 67х –7 = 0

Решения:

Так как 31, то

х2 – 9х +20=0

х1 = 4, х2=5.

Ответ: х1 = 4, х2 = 5.

2. 3х-1 - 3х + 3х+1 = 72

Выносим общий множитель за скобки:

3х-1(
3х
3х = 9
3х = 32
х = 3
Ответ: х = 3.

3. 7 2х – 67х –7 = 0

Введем новую переменную у=7х

Получаем: у2 –6 у – 7=0

D=64

у1 = - 1 у2 = 7

Переходим к замене:

7х = -1 – не имеет решения

7х = 7

х=1

Ответ: х=1

2) Внимательно проанализируйте ход решения уравнения и найдите ошибки. (устно)

1. 64х – 8х – 56 = 0

(82)х– 8х – 56 = 0;

8х = у;

у2 – у – 56 = 0;

D = 1 - 4·(-56) = 1 + 224 = 225 = 152.

у1,2 = ;

у1 = -7; у2 = 8

= -7; = 81;

х = х= 1

Ответ: х = , х= 1.

5х-3 = - 5

х-3 = -1

х=3-1

х=2

Ответ: х=2

3) Заполните пропуски при решении данного уравнения.(на доске)

5

Решение:

2х+6

3 – 4х =

-6х =

х = 3:

х =

Ответ: - 0,5.

Решение:

;

;

=0;

х = 0 или ;

х = - 2;

Ответ: 0 и -2.

4) Выполнение теста по вариантам с взаимопроверкой.

 

1 вариант

Найдите корень уравнения: 27х = -27

а) нет корней б) – 1 в) 0

Найдите корень уравнения: 9 -9+х=729

а) -6 б) 12 в) -12

3. Найдите корень уравнения: = 64

а) 6 б) 9 в) 0

4. Найти сумму корней уравнения

а) 1 б) -1 в) 9

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

а) б) (5; 7) в)

 

2 вариант

Найдите корень уравнения: 125х = -125

а) нет корней б) 3 в) 5

Найдите корень уравнения: 5 3 - х=125

а) -3 б) 0 в) -1

3. Найдите корень уравнения: = 49

а) - 3 б) 5 в) 1

4. Найдите сумму корней уравнения

а) – 2 б) 3 в) - 3

5. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения

а) б) (0; 1) в)

ответы к тесту:

На обратной стороне имеется картинка, на которой вы отмечаете верные ответы. По горизонтали - номера вопросов, а по вертикали - ответы. Отметьте верные ответы и соедините все точки, начиная с 1 и до последней.

Получается улыбка, как показано на рисунке.

Самостоятельная работа обучающего характера:

Решить показательные уравнения из сборника Н.В. Богомолова (стр.20-21). Решения проверяются учителем дома.

Вариант 1: № 90(3), № 91(2), № 93(4)

Вариант 2: № 90( 2), № 93( 1),№ 93(2)

 

Рефлексия. Выставление оценок.

Продолжите фразу:

Сегодня на уроке я узнал….

Теперь я могу….

Было интересно….

Знания, полученные сегодня на уроке, пригодятся….

 

Домашнее задание.

Студентам предлагаются задания трех уровней сложности. Каждый определяет свой уровень самостоятельно.

Решить уравнения, выбрав один из трех уровней.

 

Литература:

1. Математика: Учебник / А.А. Дадаян. - 3-e изд. - М.: Форум: НИЦ ИНФРА-М, 2013. - 544 с.

2. Математика: Учебное пособие / Н.А. Березина, Е.Л. Максина. - М.:

ИЦРИОР: НИЦ Инфра-М, 2013. - 175 с.

3. Алгебра и начала математического анализа. А.Г. Мордкович. В 2-х ч.-М. Мнемозина, 2013.-400 с.

4. Богомолов Н.В. Сборник задач по математике.- М.: Дрофа, 2003

 

Интернет - ресурсы:

1. решу егэ.ру

2. www.urokimatematiki.ru

3. interneturok.ru